1、第一章 集合与常用逻辑用语 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 主干知识梳理 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题其中的语句叫做真命题，的语句叫做假命题判断真假判断为真判断为假第一章 集合与常用逻辑用语 二、四种命题及其关系1四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题否命题逆否命题若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p第一章 集合与常用逻辑用语 2四种命题间的逆否关系第一章 集合与常用逻辑用语 3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性相同没有关系第一章 集合与
2、常用逻辑用语 三、充分条件与必要条件1如果pq，则p是q的，q是p的2如果pq，qp，则p是q的充分条件必要条件充要条件第一章 集合与常用逻辑用语 基础自测自评1(教材习题改编)下列命题是真命题的为()A若1x1y，则 xy B若 x21，则 x1C若 xy，则xyD若 xy，则 x20”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D即不充分也不必要条件B 由mx2ny21表示椭圆，可知m0，n0，mn，所以m0，n0且mnmn0而显然mn0/m0，n0且mn第一章 集合与常用逻辑用语 3(文)(2013福建高考)设点P(x，y)，则“x2且y1”是
3、“点P在直线l：xy10上”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A 点(2，1)在直线l：xy10上，而直线l上的点的坐标不一定为(2，1)，故“x2且y1”是“点P在直线l上”的充分而不必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 4“在ABC中，若C90，则A、B都是锐角”的否命题为：_解析 原命题的条件：在ABC中，C90，结论：A、B都是锐角否命题是否定条件和结论即“在ABC中，若C90，则A、B不都是锐角”答案“在ABC中，若C90，则A、B不都是锐角”第一章 集合与常用逻辑用语 5下列命题中所有真命题的序号是_“ab”是“a2b2”的充分条件；“|
4、a|b|”是“a2b2”的必要条件；“ab”是“acbc”的充要条件第一章 集合与常用逻辑用语 解析 由23/22(3)2知，该命题为假；由a2b2|a|2|b|2|a|b|知，该命题为真；abacbc，又acbcab，“ab”是“acbc”的充要条件为真命题答案 第一章 集合与常用逻辑用语 关键要点点拨1充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“pq”而后
5、者是“qp”第一章 集合与常用逻辑用语 2从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”第一章 集合与常用逻辑用语 典题导入下列命题中正确的是()“若 x2y20，则 x，y 不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题；“若 x312是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题四种命题的关系及真假判断第一章 集合与常用逻辑用语 A BCD听课记录 中否命题为“若x2y20，则xy0”，正确；中，14m，当m0时，0，原命题正确，故其逆否命
6、题正确；中逆命题不正确；中原命题正确故逆否命题正确答案 B第一章 集合与常用逻辑用语 规律方法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手第一章 集合与常用逻辑用语 跟踪训练1以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”
7、的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价第一章 集合与常用逻辑用语 解析 对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案 第一章 集合与常用逻辑用语 典题导入(
8、1)(2013山东高考)给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件充分必要条件的判定第一章 集合与常用逻辑用语 答案 A第一章 集合与常用逻辑用语(理)(2)(2013浙江高考)已知函数 f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 听课记录 若 f(x)是奇函数，则 k2，kZ；若 2，则 f(x)Acos(x)Asin x，显然是奇函数所以“f(x)是奇函数”是“2”的必要
9、不充分条件答案 B第一章 集合与常用逻辑用语(文)(2)(2013安徽高考)“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件听课记录 由(2x1)x0，得 x12或 x0.故(2x1)x0 是 x0 的必要不充分条件答案 B第一章 集合与常用逻辑用语 规律方法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分第一章 集合与常用逻辑用
10、语 跟踪训练2(2014赤峰一模)a3是直线ax2y3a0和直线3x(a1)ya7平行的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 C 当 a3 时，直线 3x2y90 和直线 3x2y4 平行；反之，若两直线平行，则它们的斜率相等，即a2 3a1，解得 a3 或 a2.经检验知，当 a2 时，直线2x2y60 和直线 3x3y9 重合，故a3 是这两条直线平行的充要条件第一章 集合与常用逻辑用语 典题导入(2014兰州调研)“x3，a”是不等式2x25x30成立的一个充分不必要条件，则实数a的取值范围是()充分必要条件的应用第一章 集合与常
11、用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 解析 由 2x25x30 得 x12或 x3.x3，a是不等式 2x25x30 成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性 a3，a12或 a3.答案 D第一章 集合与常用逻辑用语 互动探究本例条件若变为“xa”是“2x25x30 成立”的一个充分不必要条件则实数 a 的取值范围为_解析 由 2x25x30 得 x12或 x3.又“xa”是“2x25x30 成立”的一个充分不必要条件，a3.答案 3，)第一章 集合与常用逻辑用语 规律方法利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充
12、分不必要条件，则pq且q/p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p/q，且qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.第一章 集合与常用逻辑用语 跟踪训练3方程 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是()A0a1 Ba1Ca1 D0a1 或 a0C 解法一：当 a0 时，原方程变形为一元一次方程 2x10，有一个负实根；当 a0 时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是 44a0，即 a1.设两根分别为 x1，x2，则 x1x22a，x1x21a，第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 解法二：(排除法)当a0时，原方程有一个负实根，可以排除A、D；当a1时，原方程有两个
13、相等的负实根，可以排除B，所以选C.第一章 集合与常用逻辑用语【创新探究】等价转化思想在充要条件中的应用(2014济南模拟)设p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0.若綈p是綈q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是()第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语【高手支招】利用命题的等价性将问题转化是求解问题的一种常见思想，本例中将“綈p是綈q的必要不充分”先转化为“p是q的充分不必要条件”，再转化为命题p、q相应的集合间关系后，可得所求参数的不等关系这是处理已知充要性求参数范围问题时常用的思想与方法第一章 集合与常用逻辑用语 体验高考1(
14、理)(2013北京高考)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A，ysin(2x)sin 2x，曲线过坐标原点，故充分性成立；ysin(2x)过原点，sin 0，k，kZ.故必要性不成立故选A.第一章 集合与常用逻辑用语 1(文)(2013湖南高考)“1x2”是“x2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A“1x2”能推出“x2”成立，但“x2”不能推出“1x2”成立，故选A.第一章 集合与常用逻辑用语 2(理)(2013陕西高考)设a，b为向量，则“|ab|a|b|”是
15、“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 C 若a与b中有一个为零向量，则“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos，由|ab|a|b|得|cos|1，则两向量的夹角为0或，所以ab.若ab，则a与b同向或反向，故两向量的夹角为0或，则|cos|1，所以|ab|a|b|，故“|ab|a|b|”是“ab”的充分必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 2(文)(2013天津高考)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条
16、件D既不充分也不必要条件A 因为a20，而(ab)a20，所以ab0，即ab;由ab，a20，得到(ab)a20可以为0，所以“(ab)a20”是“ab”的充分而不必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 3(理)(2013安徽高考)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件第一章 集合与常用逻辑用语 C 函数f(x)的图象有以下三种情形：由图象可知f(x)在区间(0，)内单调递增时，a0，故选C.第一章 集合与常用逻辑用语 3(文)(2013浙江高考)若 R，则“0 是 sin cos ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A 当 0 时，sin cos 成立；若 sin cos，可取6 等值，所以“0”是“sin cos”的充分不必要条件，故选A.第一章 集合与常用逻辑用语 课时作业
