1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-1第二章 圆锥曲线与方程成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 圆锥曲线与方程 第二章 第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程第二章 第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课前自主预习第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导
2、 人教B版 数学 选修2-1 中新网西昌发表文章西昌卫星发射中心准备发射嫦娥二号，文章称中国西昌卫星发射中心负责人十七日表示，该中心有信心、有能力像“嫦娥一号”一样，圆满完成计划在 2010 年底发射“嫦娥二号”的任务第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1“嫦娥二号”卫星是探月二期工程的技术先导星，其主要目的是释放月球车为“嫦娥三号”任务实现月球软着陆进行部分关键技术试验，并对“嫦娥三号”着陆区进行高精度成像同“嫦娥一号”一样“嫦娥二号”进入太空轨道绕月球运转时，其轨道就是以月球为一个焦点的椭圆本节我们将学习椭圆的定义及标准方程.第二章 2.2
3、2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.用一个平面去截圆锥面，当平面与圆锥面的轴成不同角度时，会获得怎样的曲线？2求曲线方程的一般步骤是什么？3判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系()(2)化简方程“|x|y|”为“yx”是恒等变形()(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验()第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 答案：1.用一个垂直于圆锥轴线的平面截圆锥面，截线是一个圆；如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到不同的图
4、形，这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线2(1)建系、设点：建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写点集：写出适合条件p的点M的集合PM|P(M)(3)列方程：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化简：化方程f(x，y)0为最简形式；(5)说明：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3(1)(2)(3)第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 一、椭圆的定义1椭圆的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦
5、点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆定义的集合语言表示设椭圆上任一点 M 到两焦点距离之和为常数 2a，则点 M所满足的集合为 PM|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 3对椭圆定义的理解(1)要注意椭圆定义中的限制条件：到两定点距离之和大于两定点的距离|F1F2|.(2)两种特殊情况：当 2a|F1F2|时轨迹是线段 F1F2；当2a|F1F2|时无轨迹第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 到两定点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之和为6的点M的轨迹是()
6、A椭圆 B线段C椭圆或线段或不存在 D不存在答案 D解析|MF1|MF2|6b0)y2a2x2b21(ab0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c 的关系a2b2c2第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2.由标准方程判断焦点的位置的方法看 x2，y2 的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上3a，b，c 关系的再认识标准方程中涉及三个常数 a，b，c，它们是确定椭圆特征的重要元素，不随方程形式的改变而改变，它们之间的关系为a2b2c2.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人
7、教B版 数学 选修2-1 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和的一半，可借助下图帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以 ab，ac，且 a2b2c2，其中 c 是焦距的一半，叫做半焦距第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 4椭圆方程的一般形式方程 Ax2By2C(A，B，C 均不为零，且 AB)表示椭圆的条件为：方程 Ax2By2C 可化为Ax2C By2C 1，即x2CAy2CB1.所以只有 A，B，C 同号，且 AB 时，方程表示椭圆当CACB时，椭圆的焦点在 x 轴上；当CACB时
8、，椭圆的焦点在 y 轴上第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(1)焦点在x轴上，且过点(5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为_答案 x225y291导学号 64150274第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_答案 0k2k00kb0)或y2a2x2b21(ab0)在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2ny21(m0，n0 且 mn)(3)找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或 m，n 的方程组(4)得方程：解方
9、程组，代入所设方程即为所求第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 求经过 P(2 3，1)，Q(3，2)两点的椭圆的标准方程解析 依题意，设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0，mn)点 P(2 3，1)，Q(3，2)在椭圆上，12mn1，3m4n1，解得m 115，n15，故x215y251 即为所求导学号 64150275第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 四、椭圆定义的应用1利用定义求动点的轨迹如果平面上的动点 M(x，y)满足条件：|MF1|MF2|2a(定值)，且 2a|F1，F2|
10、(F1，F2 为定点)，那么 M 点的轨迹为以 F1，F2 为焦点的椭圆因此，只需选择恰当的坐标系，就可以直接写出椭圆的方程，这种方法称为定义法求椭圆方程第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 2利用定义解与焦点有关的三角形问题设 F1，F2 为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当 P，F1，F2 三点不在同一直线上时，P，F1，F2 构成了一个三角形焦点三角形(如图所示)第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 依椭圆的定义知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c.由三角形的边角关系、正弦定理、余
11、弦定理和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问题，如PF1F2 的面积问题、|PF1|PF2|的最值问题在解题中将|PF1|PF2|看成一个整体可简化运算第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知B，C是两个定点，|BC|4，且ABC的周长等于10，则三角形的顶点A的轨迹方程为_答案 x29y251(y0)解析 以过 B，C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直线角坐标系 xOy，如图所示，由|BC|4，可知 B(2,0)，C(2,0)，由|AB|AC|BC|10，可知|AB|AC|6|BC|4，导学号 64150
12、276第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 因此点 A 的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为 2a6，但 A 不在 x 轴上，由 a3，c2 得 b2a2c2945.所以点 A 的轨迹方程是x29y251(y0)第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课堂典例探究第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 ABC的三边abc且成等差数列，A、C两点的坐标分别是(1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程思路分析 由已知2ba
13、c，即|BA|BC|2b4，为定值，故考虑椭圆定义利用椭圆定义求标准方程解析 设 B(x，y)，因为 a，b，c 成等差数列，所以 ac2b4，即|BA|BC|4，且 42，导学号 64150277第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 故点 B 应在椭圆x24y231 上又 ac，即 x12y2 x12y2，所以 x0.当 x2 时，B、A、C 共线，故排除，所以顶点 B 的轨迹方程为x24y231(2xb0)由已知，c4,2a10，所以 a5，b2a2c29，故所求椭圆的标准方程为x225y291.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新
14、课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)由题意知，椭圆的焦点在 y 轴上，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由已知，椭圆过点(32，52)，则有 254a2 94b21，又 c2，所以 b2a24，代入得：254a294a241，解得 a210(a252舍去)，b26，故椭圆的标准方程为y210 x261.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 方法总结 对于求椭圆标准方程的题目，基本思路是先确定焦点所在的坐标轴，然后再设相应的标准方程，再根据题目中的其他条件求出变量 a 与 b 即可若焦点位置不好确定，方程可设为 mx2ny2
15、1(m0，n0，mn)，只需求出待定系数 m，n 即可第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 P(13，13)、Q(0，12)的椭圆的标准方程解析 解法 1：(1)当椭圆的焦点在 x 轴上时，设它的标准方程为x2a2y2b21(ab0)依题意有132a2 132b2 1，122b21，导学号 64150280第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解得 a215，b214.因为 ab，所以方程组无解(2)当椭圆的焦点在 y 轴上时，设它的标准方程为y2a2x
16、2b21(ab0)依题意有 132a2 132b2 1，122a21，解得a214，b215.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 所以所求椭圆的方程为y214x2151.解法 2：设所求椭圆的方程为 mx2ny21(m0，n0)依题意得19m19n1，14n1，解得m5，n4.所以所求椭圆的方程为 5x24y21，即y214x2151.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 椭圆中的焦点三角形已知 F1，F2 是椭圆 x2100y2641 的两个焦点，P是椭圆上任一点(1)若F1PF23，求F1
17、PF2 的面积；(2)求|PF1|PF2|的最大值导学号 64150281第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 思路分析(1)在F1PF2 中利用余弦定理及椭圆的定义整体求出|PF1|PF2|的值，然后利用 SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF2 即可得出结果(2)利用均值不等式结合椭圆的定义即可求出|PF1|PF2|的最大值解析(1)设|PF1|m，|PF2|n，由题意知 a2100，b264，则 c2a2b236，故 a10，c6.根据椭圆的定义，有 mn20，第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版
18、 数学 选修2-1 在F1PF2 中，由余弦定理，得m2n22mncos3144.m2n2mn144.(mn)23mn144.4003mn144.mn2563.SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF2122563 32 6433.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1(2)a10，根据椭圆的定义，有|PF1|PF2|20.|PF1|FP2|(|PF1|PF2|2)2(202)2100，当且仅当|PF1|PF2|时“”号成立|PF1|PF2|的最大值是 100.方法总结 有关焦半径(连结椭圆上一点与椭圆焦点的线段)、焦点弦(连结椭圆上两点
19、并过椭圆焦点的线段)的问题注意应用椭圆的定义注意整体思想在解决问题中的运用第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 已知椭圆x2a2y2b21 上一点 P，F1、F2 为椭圆的焦点，若F1PF2，求F1PF2 的面积解析 计算三角形的面积有多种公式可供选择，其中与已知条件联系最密切的应为 S12|PF1|PF2|sin，所以应围绕|PF1|PF2|进行计算导学号 64150282第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 如图所示，由椭圆定义，有|PF1|PF2|2a，而在F1PF2中，由余弦定理有|PF
20、1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos4c2，得|PF1|PF2|2b21cos.SPF1F212|PF1|PF2|sinb2sin1cos.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 与椭圆有关的轨迹问题已知点 M 在椭圆x236y291 上，MP垂直于椭圆两焦点所在的直线，垂足为 P，并且 M 为线段 PP的中点，求 P 点的轨迹方程思路分析 P 的运动是由 M 点的变化引起的，且 M 在椭圆上，只需找到 M、P 的关系式代入椭圆即可导学号 6415
21、0283第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 解析 设 P 点的坐标为(x，y)，M 点的坐标为(x0，y0)点 M 在椭圆x236y291 上，x2036y2091.M 是线段 PP的中点，x0 x，y0y2.把x0 x，y0y2，代入x2036y2091 得x236y2361，即 x2y236.方法总结 当一个动点在已知曲线上运动，而引起另一个动点的变化时，常运用代入法求另一个动点的轨迹第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 在ABC中，BC24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求ABC的
22、重心的轨迹方程解析 如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系导学号 64150284第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 设 M 是ABC 的重心，BD 是 AC 边上的中线，CE 是 AB边上的中线，由重心的性质知|BM|23|BD|，|CM|23|CE|，于是|MB|MC|23|BD|23|CE|23(|BD|CE|)233926，根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆2a|MB|MC|26，a13.又 2c|BC|24，c12，b2a2c213212225.故所求的轨迹方程为 x2169
23、y2251(y0).第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 1.忽视椭圆定义中的条件(2a|F1F2|)，从而导致概念性错误已知 F1，F2 为两定点，|F1F2|4，动点 M 满足|MF1|MF2|4，则动点 M 的轨迹是()A椭圆 B直线C圆D线段导学号 64150285第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 错解 A错因分析 该解法忽视了2a|F1F2|的条件而出错正解 D思路分析|MF1|MF2|4|F1F2|，M的轨迹是线段F1F2.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指
24、导 人教B版 数学 选修2-1 2在没有明确椭圆焦点位置的情况下，忘记分类讨论，考虑问题不全面已知一个椭圆中，ac10，ac4，求椭圆的标准方程错解 由 ac10，ac4，得 a7，c3，b2a2c2723240，故椭圆的标准方程为x249y2401.错因分析 由于题目中没有明确焦点的位置，故所求方程应有两种情况，本解忘了分类讨论导学号 64150286第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 正解 由 ac10，ac4 得 a7，c3，b2a2c2723240，当焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为x249y2401；当焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为y249x2401.思路分析 先求出 a2，b2 的值，再由焦点的位置进行分类讨论.第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 椭圆椭圆的定义掌握：|MF1|MF2|2a2a|F1F2|椭圆的标准方程掌握x2a2y2b21ab0y2a2x2b21ab0椭圆标准方程的求法掌握待定系数法定义法第二章 2.2 2.2.1 成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 选修2-1 课 时 作 业（点此链接）