1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第三节几何概型(文)第六节几何概型(理)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）主干知识梳理 一、几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(或)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为长度面积体积几何概型第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）二、几何概型的概率公式 在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下：P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）基础自测自评1(教材习题改编)设 A(
2、0，0)，B(4，0)，在线段 AB 上任投一点 P，则|PA|1 的概率为()A.12 B.13C.14D.15C 满足|PA|1 的区间长度为 1，故所求其概率为14.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2(2012衡阳模拟)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A 中奖的概率依次为 P(A)38，P(B)28，P(C)26，P(D)13.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3分别以正方形 ABCD 的四条边为直径
3、画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为()第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A.42B.22C.44D.24第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）B 设正方形边长为 2，阴影区域的面积的一半等于半径为 1 的圆减去圆内接正方形的面积，即为2，则阴影区域的面积为 24，所以所求概率为 P244 22.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）4有一杯2升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从水中取0.1升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是_解析 试验的全部结果构成的区域体积为2升，所求事件的区域体积为0
4、.1升，故P0.05.答案 0.05第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）5如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在30角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA落在yOT 内的概率为_解析 如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，则 OA 落在yOT 内的概率为 6036016.答案 16第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）关键要点点拨1几何概型的特点：几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关2几何概型中，线段
5、的端点、图形的边界是否包含在事件之内不影响所求结果第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为_；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为_与长度、角度有关的几何概型 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录(1)根据点到直线的距离公式得 d255 5；(2)设直线 4x3yc 到圆心的距离为 3，则|c|5 3，取 c15，则直线 4x3y15 把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是 2 3，则可得直线 4x3y15 截得的圆弧所对的
6、圆心角为 60，故所求的概率是16.答案(1)5(2)16第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）互动探究本例条件变为：“已知圆 C：x2y212，设 M 为此圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点 N，连接 MN.”求弦 MN 的长超过 2 6的概率解析 如图，在图上过圆心 O 作 OM直径 CD.则 MDMC2 6.当 N 点不在半圆弧 CMD 上时，MN2 6.所以 P(A)2 322 312.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解确定点的边界位置是解题的关
7、键第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练1(1)(2014福建四校联考)已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A，则AA的长度小于半径的概率为_(2)在RtABC中，BAC90，AB1，BC2.在BC边上任取一点M，则AMB90的概率为_第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析(1)如图，满足AA的长度小于半径的点A位于劣弧上，其中ABO 和ACO 为等边三角形，可知BOC23，故所求事件的概率 P23213.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)如图，在 RtABC 中，作 ADBC，D 为垂足，由题意可得 BD12，
8、且点 M 在 BD 上时，满足AMB90，故所求概率 PBDBC12214.答案(1)13(2)14第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(1)(2012湖北高考)如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()与面积有关的几何概型 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A1 2 B.12 1C.2 D.1第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 解法一：设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，OA 的中点为 D，如图，连接 OC，DC
9、.不妨令 OAOB2，则 ODDADC1.在以 OA 为直径的半圆中，空白部分面积 S14 12114 1211 1，第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）所以整体图形中空白部分面积 S22.又因为 S 扇形 OAB1422，所以阴影部分面积为 S32.所以 P2 1 2.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解法二：连接 AB，设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，令 OA2.由题意知 CAB 且 S 弓形 ACS 弓形 B CS 弓形 O C，所以 S 空白SOAB12222.又因为 S 扇形 OAB1422，所以 S 阴影2.所以 P S阴影S
10、扇形OAB2 1 2.答案 A第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)(2013四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是()A.14B.12C.34D.78第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x，y，则由题意可得，0 x4，0y4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过 2 秒”(x，y)|xy|2，由图示得，该
11、事件概率 P S阴影S正方形16416 34.答案 C第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法求解与面积有关的几何概型首先要确定试验的全部结果和构成事件的全部结果形成的平面图形，然后再利用面积的比值来计算事件发生的概率这类问题常与线性规划、定积分知识联系在一起第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练2(理)(2014石家庄质检)如图，已知函数 ysin x，x，与 x 轴围成的区域记为 M(图中阴影部分)，若随机向圆 O：x2y2 2 内投入一米粒，则该米粒落在区域 M 内的概率是()A.4 2B.4 3C.2 2D.2 3第十章 计数原理、概率、随
12、机变量及其分（理）概率（文）B 由题意得阴影部分面积 S120 sin xdx2(cos x)|0 224，圆 x2y22 面积为 S3，则所求事件的概率 P 43.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(文)已知不等式组xy0，xy0，xa（a0）表示平面区域 M，若点 P(x，y)在所给的平面区域M内，则点P落在M的内切圆内的概率为()A.214 B(32 2)C(2 22)D.212B 由题知平面区域 M 为一个三角形，且其面积为 Sa2.设 M 的内切圆的半径为 r，第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则12(2a2 2a)ra2，解得 r(21)a.
13、所以内切圆的面积 S 内切圆r2(21)a2(32 2)a2.故所求概率 PS内切圆S(32 2).第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(1)(2014烟台模拟)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为()A.12 B112C.6 D16与体积有关的几何概型 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以1 为半径的半球的外部记点 P 到点 O 的距
14、离大于 1 为事件 A，则 P(A)231243 13231 12.答案 B第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为()A.18B.116C.127D.38第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 由题意，可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为103303
15、 127.答案 C第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法与体积有关的几何概型是与面积有关的几何概型类似的，只是将题中的几何概型转化为立体模式，至此，我们可以总结如下：对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练3(1)(2014黑龙江五校联考)在体积为 V 的三棱锥 SABC 的棱AB 上任取一点 P，则三棱锥 SAPC 的体积大于V3
16、的概率是_第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析 如图，三棱锥 SABC 的高与三棱锥SAPC 的高相同作 PMAC 于 M，BNAC 于N，则 PM、BN 分别为APC 与ABC 的高，所以VSAPCVSABCSAPCSABCPMBN，又PMBNAPAB，所以APAB13时，满足条件 设ADAB13，则 P 在 BD 上，所求的概率 PBDBA23.答案 23第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)(2014广州模拟)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为_第十章 计
17、数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析 先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率，圆柱的体积V 圆柱1222，以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球12431323.则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为23213，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 11323.答案 23第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【创新探究】转化与化归思想在几何概型中的应用 (2012辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为()
18、A.16 B.13C.23D.45第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【思路导析】根据题意求出矩形面积为 20 cm2 时的各边长，再求概率【解析】设 ACx，则 BC12x，所以 x(12x)20，解得 x2 或 x10.故 P12221223.【答案】C第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【高手支招】本题主要考查通过结合题意，将所求事件的概率转化与化归为长度型的几何概型问题解决本题时，关键是找出矩形面积恰好为20 cm2时的分界点，进而转化为长度之比解决几何概型问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何
19、概型导致错误；(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；(3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）体验高考1(2013陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A14B.2 1C22D.4A 由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12122，矩形面积为 2，则所求概率为22214.
20、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2(2013湖南高考)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使APB 的最大边是 AB”发生的概率为12，则ADAB()A.12B.14C.32D.74第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）D 如图，设 AB2x，AD2y.由于 AB 为最大边的概率是12，则P 在 EF 上运动满足条件，且 DECF12x，即 ABEB 或 ABFA.2x（2y）232x 2，即 4x24y294x2，即74x24y2，y2x2 716，yx 74.又ADAB2y2xyx 74，故选 D.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3(理)(2013福建高考)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_解析 因为 0a1，由 3a10 得13a1，由几何概型的概率公式得，事件“3a10”发生的概率为1131 23.答案 23第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3(文)(2013福建高考)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_解析 由 3a10，得 a13.0a1，0a13.根据几何概型知所求概率为13113.答案 13第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）课时作业
