1、2017年高考分段测试(四) (测试范围：立体几何)时间：120分钟满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1下列推理不正确的是()AAb，A，Bb，BbBM，M，N，N直线MNC直线m不在内，AmADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线与重合答案C解析由空间中点线面的位置关系知选C.2对于任意的直线l和平面，在平面内必有直线m，使m和l()A平行 B相交C垂直 D异面答案C解析由于直线l是任意的，若l与相交，则在内不可能有与l平行的直线；若l与平行，则在内不可能有与l相交的直线；若l在平面内，则在内不可能有l异面的直线故选C.32015杭州质量检测设直线l平面，直线
2、m平面()A若m则lm B若则lmC若lm则 D若则lm答案B解析l，mlm，故选B.4如下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()答案B解析由三视图可知几何体为倒置的圆锥，所以匀速注水时，水面上升的高度越来越慢，故选B.52015课标全国卷九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出
3、堆放的米约有 ()A14斛 B22斛 C36斛 D66斛答案B解析设圆锥底面半径为r，2r8，即23r8，r.V35.设米堆共有x斛，则1.62x，解得x22(斛)，故选B.62016河南八市高三质检若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是()A36 cm3B48 cm3C60 cm3D72 cm3答案B解析由三视图可知，该几何体的上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，梯形的上、下底分别为2、6，高为2.长方体的体积为42216，四棱柱的体积为4232，所以该几何体的体积为321648(cm3)，选B.72016张掖高三诊断如
4、图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDCAEF的面积与BEF的面积相等D三棱锥ABEF的体积为定值答案C解析连接BD，因为AC平面BDD1B1，而BE平面BDD1B1，故ACBE，所以A项正确；根据线面平行的判定定理，知B项正确；因为三棱锥的底面BEF的面积是定值，且点A到平面BDD1B1的距离是定值，所以三棱锥ABEF的体积为定值，故D正确；很显然，点A和点B到EF的距离是不相等的，故C是错误的，所以选C.8已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能
5、为()答案B解析由三视图之间的关系，易知其侧视图是一个底边为，高为2的直角三角形故选B.9在棱长为1的正方体上，分别用过同一顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积为()A. B.C. D.答案D解析采用间接法，每个截去的小三棱锥体积为4，则剩余部分的体积为V1481.102015浙江高考如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD翻折成ACD，所成二面角ACDB的平面角为，则()AADBBADBCACBDACB答案B解析根据二面角的定义以及折叠过程可知，B正确11如右图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SDDAS
6、EEBCFFS21，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的()A. B.C. D.答案C解析最多可盛水的体积即为大棱锥去掉小棱锥后余下的几何体的体积VSDEFSSDEhhVSABC(h为F到平面SDE的距离，h为C到平面SAB的距离)，易知选C.122015洛阳调研设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C.a2 D5a2答案B解析据题意，作出直观图如图，O为球心，ABC是三棱柱的下底面，O是等边ABC的中心(也是平面ABC截球所得的截面圆的圆心)，则OO平面ABC，球的半径ROA.棱柱的所有棱长都为a，OO，AOaa，R22
7、2a2，该球的表面积为S4R2a2.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)132015山西太原一模如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为_答案解析过点F作HFCD，与BC交于点H，过A作EF的垂线AG，垂足为G.连接HG，HE，AH.设正方形ABCD的边长为2，平面AEF平面BCDFE，且AGEF，AG平面BCDFE.BEBHAEAF1，EHEF.G为EF的中点，EG，AG.又HF2，HEG90，在RtEHG中，HG.在RtAGH中，AH.HFBE，AF与BE所成的角即为AFH.在AHF中，AF1，HF
8、2，AH，HAF90.cosAFH.14如图，半径为R的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_答案2R2解析设圆柱的底面半径为r，高为h，则r22R2，所以h2，所以圆柱的侧面积S2rh2r24.当r2R2r2，即rR时，S取得最大值此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为4R22RR2R2.152015江南十校联考已知ABC的三边长分别为AB5，BC4，AC3，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点给出下列四个命题：若PA平面ABC，则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形；若PM平面ABC，且M是AB边的中点，则有PAPBPC；若PC5，PC平面ABC，则PCM
9、面积的最小值为；若PC5，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为.其中正确命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案解析由题知ACBC，对于，若PA平面ABC，则PABC，又知PAACA，BC平面PAC，BCPC，因此该三棱锥PABC的四个面均为直角三角形，正确；对于，由已知得M为ABC的外心，所以MAMBMC.因为PM平面ABC，则PMMA，PMMB，PMMC，由三角形全等可知PAPBPC，故正确；对于，要使PCM的面积最小，只需CM最短，在RtABC中，(CM)min，(SPCM)min56，故错误；对于，设P点在平面ABC内的射影为O，且O为ABC
10、的内心，由平面几何知识得内切圆半径为r1，且OC，在RtPOC中，PO，点P到平面ABC的距离为，故正确162015山西太原二模设，为互不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：设，则；若，且l，则l；若直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平面垂直；若内存在不共线的三点到的距离相等，则平面平行于平面.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)答案解析借助于正方体易知正确；对于，若平面内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面不垂直，所以错；中的不共线的三点有可能是在平面的两侧，所以两个平面可能相交或平行，所以错，故填.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字
11、说明，证明过程或演算步骤)172015徐州模拟(本小题10分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不与点C重合)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.证明(1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)连接DF，由(1)知AD平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，ADBC.又ABAC，D
12、为BC的中点，DF綊A1A，四边形ADFA1为平行四边形，A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE.182015课标全国卷(本小题12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE
13、平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.192015福建福州一模(本小题12分)如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD.(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积解(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，又CDBD，ABBDB，AB，BD面ABD，CD面ABD.(2)由AB面BCD，得ABBD，又ABBD1，所以SABD，因为M为AD中点，所以S
14、ABMSABD，由(1)知：CD面ABD，所以三棱锥CABM的高hCD1，因此VAMBCVCABMSABMh1.20(本小题12分)在长方体A1B1C1D1ABCD中，ABBC1，AA1，点M在AB1上移动，点N在BC1上移动，求点M和点N的最短距离解如图所示，在BB1上取动点P，作PMAB1于M，PNBC交BC1于N，连接MN，BC平面A1ABB1，BCAB1，又PNBC，PNAB1，又PMAB1，AB1平面PMN.AB1MN.设BPx，则PNBP x，B1Px.又RtB1PMRtB1AB，PMPB1(x)由作法可知PNPM.在RtPMN中，MN，当x时，|MN|min.点评两条异面直线上两
15、点间的最短距离，可通过构造函数，转化为求函数最小值问来解决21(本小题12分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，AB2BC，ACAA1BC.(1)求证：A1C平面AB1C1；(2)若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使得DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：AB2BC，ACBC，ABC为直角三角形且ACB，BCAC，又AA1平面ABC，BCAA1，又AA1ACA，BC平面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C.ACAA1，侧面ACC1A1为正方形，AC1A1C，又B1C1AC1C1，A1C平面AB1C1.(2)存在
16、点E，且E为AB的中点下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1.连接EF，E为AB的中点，EFAB1，B1C1与AB1是相交直线，平面DEF平面AB1C1.又DE平面DEF，DE平面AB1C1.222015山东烟台一模(本小题12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，ABBC.把BAC沿AC折起到PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点(1)求证：平面OEF平面APD；(2)求证：CD平面POF；(3)若AD3，CD4，AB5，求四棱锥ECFO的体积解(1)证明：因为点P在平面ADC上的正
17、投影O恰好落在线段AC上，所以PO平面ADC，所以POAC.因为ABBC，所以O是AC中点又点E是PC的中点，所以OEPA，PA平面PAD.所以OE平面PAD.同理OF平面PAD.又OEOFO，OE，OF平面OEF，所以平面OEF平面PAD.(2)证明：因为OFAD，ADCD，所以OFCD.又PO平面ADC，CD平面ADC，所以POCD.又OFPOO，所以CD平面POF.(3)因为ADC90，AD3，CD4，所以SACD346，而点O，F分别是AC，CD的中点，所以SCFOSACD，由题意可知ACP为边长为5的等边三角形，所以OP，即点P到平面ACD的距离为，又E为PC的中点，所以E到平面CFO的距离为，故VECFO.