1、永州市省重点中学2021届高三下学期5月联考数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知，复数的共扼复数在复平面内对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合，集合，则（ ）AB
2、CD3若圆被直线截得的弦长为6，则（ ）A26B31C39D434函数的图象大致为（ ）ABCD5三星堆古遗址是迄今在西南地区发现的范围最大，延续时间最长，文化内涵最丰富的古城、古国、古蜀文化遗址.三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”.考古学家在测定遗址年代的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量随时间（年）变化的数学模型：（表示碳14的初始量）.2020年考古学家对三星堆古遗址某文物样本进行碳14年代学检测，检测出碳14的含量约为初始量的68%，据此推测
3、三星堆古遗址存在的时期距今大约是（参考数据：，）（ ）A2796年B3152年C3952年D4480年6已知等差数列的前项和为，则（ ）A21B11C-21D07展开式中的系数为（ ）A-3B3C-15D158在三棱锥中，底面是面积为的正三角形，若三棱锥的每个顶点都在球的球面上，且点恰好在平面内，则三棱锥体积的最大值为（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9已知平面向量，且，则（ ）ABCD10若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（ ）A-2B-1C0D111已知，
4、且，则（ ）ABCD12设，同时为椭圆，与双曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，为坐标原点，若（ ）A，则B，则C，则的取值范围是D，则的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13若，则_.14沙漏是一种古代的计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，该圆锥的高为1，若上面的圆锥中装有高度为的液体，且液体能流入下面的圆锥，则液体流下去后的液面高度为_.15规
5、定记号“”表示一种运算，即，若，函数的图象关于直线对称，则_.16三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损一”“三分益一”两层含义.三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度生得长度；而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度生得长度.两种方法可以交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生.假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243，每次损益的概率为，则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）在，成等差数列；这三个条件中任选一个，补充在下面
6、问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在，它的内角，的对边分别为，且，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18（12分）在公比大于0的等比数列中，已知，依次组成公差为4的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19（12分）如图，在四棱锥中，.（1）证明：.（2）若平面平面，经过，的平面将四棱锥分成左、右两部分的体积之比为1:2，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，.（1）求抛物线的标准方程.（2）已知直线交抛物线于点，且，证明：直线过定点.21（12分）某企
7、业有甲、乙两条生产同种产品的生产线.据调查统计，100次生产该产品所用时间的频数分布表如下：所用的时间（单位：天）10111213甲生产线的频数10201010乙生产线的频数520205假设订单约定交货时间为11天，订单约定交货时间为12天.（将频率视为概率，当天完成即可交货）（1）为尽最大可能在约定时间交货，判断订单和订单应如何选择各自的生产线（订单，互不影响）；（2）已知甲、乙生产线的生产成本分别为3万元、2万元，订单，互不影响，若规定实际交货时间每超过一天就要付5000元的违约金，现订单，用（1）中所选的生产线生产产品，记订单，的总成本为（万元），求随机变量的期望值.22（12分）已知函
8、数.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.高三数学试卷参考答案1A 【解析】本题考查复数的除法运算和共轭复数，考查运算求解能力.，复数的共轭复数在复平面内对应的点是，在第一象限.2C 【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.集合，.3C 【解析】本题考查圆的方程，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力.可化为，所以圆心到直线的距离，所以，解得.4B 【解析】本题考查函数的图象，考查数形结合的数学思想.，为奇函数，排除A.，排除D.当时，当时，排除C.故选B.5B 【解析】本题考查对数的运算，考查逻辑推理能力.设三星堆古遗址存在的时期距今大约是年，则，即，所以，解得.6D 【
9、解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力.由，得，所以，则，所以.7D 【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力.，的系数为.8B 【解析】本题考查三棱锥的外接球，考查空间想象能力.由题可知底面的边长为，因为三棱锥外接球的球心恰好在平面内，所以球的半径为2，则三棱锥体积的最大值为.9AD 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力.由，得，所以，则，故选AD.10AC 【解析】本题考查三角函数的性质，考查数形结合的数学思想.化简可得，即，在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.又，则.当，即时，可得；当，即时，可得；当，即时，可得.要使得的图象和直线只有1个交点，结合的
10、图象（图略），可得或，解得或，故选AC.11BCD 【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理能力.对于A，令，则，故A不正确；对于B，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，由，所以，则，故D正确.故选BCD.12BD 【解析】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查数形结合的数学思想.如图，设，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，.当时，则，所以，即，由离心率的公式可得，故B正确.当时，可得，即，可得，由，可得，可得，即，则，可设，即，由在上单调递增，可得，则，故D正确.故选BD.13 【解析】本题主要考查二倍角公式，考查运算求解能力.因为，则.14 【解析】本题考查圆
11、锥的体积，考查空间想象能力.，当液体流下去后，所以液体流下去后的液面高度为.151 【解析】本题考查新定义与函数的性质，考查数形结合的数学思想.因为函数的图象关于直线对称，所以解得.16 【解析】本题考查概率，考查逻辑推理能力.设5次三分损益中有次三分损一，所以，解得.故所求概率为.17解：因为，由正弦定理得，即，所以，又，所以.选择因为，成等差数列，所以，即，解得.由，所以，故存在满足题意的.选择因为，所以，这与矛盾，所以不存在.选择因为，所以，得，所以，此时存在.又，所以，所以，所以.18解：（1）设的公比为，因为，成等差数列，所以，则，又，所以.又因为，所以，所以.（2）由题可知，则，-
12、得.故.19（1）证明：取的中点，连接，.因为，所以为平行四边形，又，所以.因为，所以，又，所以平面.因为平面，所以.（2）解：因为平面平面，平面平面，所以平面.因为，所以平面即为平面.以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，所以，.设平面的法向量为，则即令，则，所以.又平面的一个法向量为.设平面与平面所成的角（锐角）为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20（1）解：过向抛物线的准线作垂线，垂足为（图略），则，故.又在抛物线上，所以，则，解得，.故抛物线的标准方程为.（2）证明：设，直线的方程为，则，.因为，所以，即，将直线的方程与抛物线方程联
13、立可得，则，所以，直线的方程为，则直线过定点.21解：（1）频率分布表如下：所用的时间（单位：天）10111213甲生产线的频率0.20.40.20.2乙生产线的频率0.10.40.40.1设事件，分别表示订单选择甲、乙生产线在约定时间交货；事件，分别表示订单选择甲、乙生产线在约定时间交货.，所以订单选择甲生产线，订单选择乙生产线.（2）设表示订单实际交货时间超过约定时间的天数，表示订单实际交货时间超过约定时间的天数，的分布列分别如下：0120.60.20.2010.90.1设，则的分布列如下：01230.540.240.20.02，所以（万元），所以订单，的总成本的期望值为5.35万元.22解：（1）.若，则.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.若，令，解得，.当时，则在和上单调递增，在上单调递减.当时，则在上单调递增.当时，则在和上单调递增，在上单调递减.（2）由题可得，即.若，在的最小值为，而.所以当时，恒成立.若，在单调递增，而，所以当时，恒成立.若，则，所以当时，不可能恒成立综上所述，的取值范围为.
