1、石家庄五校联合体20202021学年度高三12月质量检测数学本卷命题范围：高考范围.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解不等式得或，解不等式得，再根据集合的运算求解即可得答案.【详解】解：解不等式得或，故或，解不等式得，故，所以故选：B2. 设复数z满足，则|z|（ ）A. B. C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【详解】复数z满足，则故选：A3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件利用诱导
2、公式进行化简所给的式子，可得结果.详解】，则，故选：C4. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当-1x0时，f（x）2x-a，若，则a（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】A【解析】【分析】先判断的范围，利用周期性和奇偶性转化得到，即可求值.【详解】，所以；又函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则可化为：当-1x0时，f（x）2x-a，则解得：a=1.故选：A【点睛】综合利用函数的奇偶性、周期性及对称性求函数值，需要利用性质适当的转化，把自变量转化到可求区间内.5. 在中，点满足，为上一点，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
3、】先由三点共线，利用向量的方法求出的关系式，再由基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，则，因为三点共线，所以，（当且仅当，即，时，等号成立），故.故选A【点睛】本题主要考查向量与基本不等式的结合，涉及向量中三点共线的充要条件，以及基本不等式的应用，属于中档试题.6. 已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 36B. 52C. 56D. 224【答案】C【解析】【分析】设三条侧棱长分别为，由已知列式求得的值，然后把三棱锥补形为长方体即可求解.【详解】设三条侧棱长分别为，则,解得把三棱锥补形为长方体，则长方体的体对角线长为.
4、所以三棱锥的外接球的半径为则三棱锥的外接球的表面积为故选：C.7. 用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可.【详解】由题意可知，填写的可能结果共有如下32种：00000，00001，00010，00011，00100，00101，00110，00111，01000，01001，01010，01011，01100，01101，01110，01111，10000，
5、10001，10010，10011，10100，10101，10110，10111，11000，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，其中满足题意的有10种：10101，10110，10111，11001，11010，11011，11100，11101，11110，11111，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.本题选择B选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及
6、计数原理的正确使用.8. 已知点为双曲线的右焦点，直线交于两点，若，则的虚轴长为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】左焦点，根据对称性得，设出，结合余弦定理即可求得，结合，即可求得，进而得到虚轴长【详解】设双曲线的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，所以，设，则，又，故，又，所以，则该双曲线的虚轴长为.故选C【点睛】本题考查了双曲线定义及性质的综合应用，余弦定理的基本应用，三角形面积的求法，属于中档题二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 若a20.01，clg3，且abc.则b可能是（ ）A. 2-0.5B. 2lg2
7、C. D. 30.02【答案】ABC【解析】【分析】对于A:用为增函数，比较利用过渡比较b、c大小；对于B: 利用过渡比较a、b大小；比较b、c大小；对于C：利用1过渡比较a、b大小；用为增函数，适当放缩，比较b、c的大小；对于D: 由，直接否定ab.【详解】对于A:当b=2-0.5时，为增函数，ab；由，而，所以bc，故A正确；对于B: 当b=2lg2时， a20.011=（为增函数），所以abc成立，故B正确；对于C：当b=时，所以ab；下面比较b、c的大小：，所以bc，故C正确；对于D: 当b= 30.02时，即ab,故 D错误.故选：ABC【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构
8、造函数，利用函数的单调性比较大小；（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.10. 下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（ ） A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D. 从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%【答案】ABC【解析】分析】根据统计图表分别对选项A、B、C、D验证即可.【详解】私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2016年，A错误；这5次统计
9、的公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，B错误；因为，故C项错误，D项显然正确故选：ABC.【点睛】本题考查统计图表与用样本估计总体，涉及到中位数、平均数等知识，是一道基础题.11. 已知函数的一条对称轴为，函数在区间上具有单调性，且，则下述四个结论正确的是（）A. 实数的值为1B. 和两点关于函数图象一条对称轴对称C. 的最大值为D. 的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据函数关于对称，可得，利用特殊值，代入即可求得的值；由辅助角公式化简三角函数式，即可由在区间上具有单调性确定周期最大值；由结合函数的对称性即可判断B，并由对称性判断的最值即可判断D.【详解】是函数的一条对称
10、轴，令，得，即，解得，将代入可得，又函数在区间上具有单调性，的最大值为，且，和两点关于函数图象的一条对称轴对称，（）（），当时，的最小值为.A，C，D项正确，B项错误.综上可知，正确的为ACD，故选：ACD.【点睛】本题考查了三角函数性质的综合应用，由对称轴求参数，辅助角公式化简三角函数式的应用，属于中档题.12. 已知抛物线的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为，由平行线的性质，结合抛物线的定义可求
11、得上各线段长，从而判断各选项【详解】如图，是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为，由抛物线方程知，即，即，设，则，在直角梯形中，即，解得，又，又，故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的定义，抛物线的焦点弦，涉及抛物线的焦点弦时，可作出在准线上的射影，得，轴，利用平行线的性质可求解线段长三、填空题：本题共4小题.13. 圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线相切的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】设圆心为坐标为 ，由直线与圆相切可得圆心到直线距离等于半径，列出方程，解出即可得到圆的方程.【详解】根据题意，设圆心为坐标为 因为圆的半径为4，且与直线
12、相切则圆心到直线的距离 解可得或13（舍），则圆的坐标为，所求圆的方程为故答案为：.14. 一批排球中正品有m个，次品有n个，mn10（mn），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数.若D（X）2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率p_.【答案】【解析】【分析】由题意知随机变量，根据方差求得的值，再计算所求的概率值【详解】由题意知，随机变量，则方差，又，则，解得，所求的概率为故答案为: .15. 数列满足，且对于任意的都有，则_.【答案】【解析】【分析】由题意可得+n+2，再由累加法求得an，结合等差数列的求和公式，以及裂项相消求和，计算可得所求和
13、【详解】由题+n+2，所以，上式个式子左右两边分别相加得，即，当n=1时，满足题意，所以，从而.故答案为【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题16. 若（且）恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】讨论，结合图象可得不可能恒成立；时，运用换底公式原不等式化为，令，求得导数和单调性、最大值，可得的范围.【详解】解：当时，由和的图象可得，此时两个函数图象有一个交点，不等式不可能恒成立；当时，不等式可化为，由，令，当时，递增，当时，递减，则，则，可得，故答案为：.【点睛】方法点睛：1、利用导数证
14、明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 在2ccosC-acosB-bcosA0，（ab）2abc2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求，并判断ABC的形状，请说明理由.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac2b，_，求的值并判断ABC的形状，请说明理由.【答案】
15、若选，是等边三角形；若选，是钝角三角形；若选，是钝角三角形.【解析】【分析】若选，利用正弦定理进行边角互化可得，结合已知可得，两边平方，结合余弦定理可求出，即可求出以及三角形的形状；若选，由，结合已知条件即可得，进而可求出，结合已知可得，两边平方，结合余弦定理可求出，即可得以及三角形的形状；若选，将括号展开，结合余弦定理即可得，结合已知可得，两边平方，结合余弦定理可求出，即可得以及三角形的形状.【详解】解：若选，由题意知，即，因为，所以，即，因为，所以，则，可得，则，所以，即，又，所以等边三角形；若选，由题意知，,所以，即，所以，则，因为，所以，则，可得，则，所以，则是钝角三角形；若选，则，所
16、以，则，所以，因为，所以，则，可得，则，所以，则是钝角三角形；【点睛】思路点睛:求三角形的问题时，若已知式子中既有边又有角，首先考虑正弦定理进行边角互化，如果不能做，则考虑余弦定理的变形形式进行边角互化；若已知式子中只有边无角，则一般考虑用余弦定理进行求解.18. 已知前项和为的等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题中条件求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）由（1）根据等比数列的求和公式，求出数列的前项和，即可证明结论成立.【详解】（1）设等比数列的公比为，首项为，由有，可得，又由，有，解得，有
17、.故数列的通项公式为.（2）证明：由，可得，又，所以；而显然随的增大而增大，所以，因此.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于熟记等比数列通项公式与求和公式进行基本量的运算，并注意利用数列的单调性，判断数列前项和的取值范围即可.19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，为线段的中点，为线段上的一点.（1）证明：平面平面.（2）若，二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由得平面PAE，进而可得证；（2）先证得平面，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为和，设与平面所成角为，则，代入计算即可得解.【详解】（1
18、）证明：连接，因为，为线段的中点，所以.又，所以为等边三角形，.因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：设，则，因为，所以，同理可证，所以平面.如图，设，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.易知为二面角的平面角，所以，从而.由，得.又由，知，.设平面的法向量为，由，得，不妨设，得.又，所以.设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 某工厂共有男女员工5
19、00人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：每月完成合格产品的件数（单位：百件）频数10453564男员工人数7231811（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？非“生产能手”“生产能手”合计男员工女员工合计（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为1.2元；超出件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4
20、段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.附：，.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）利用列联表求得的观测值，即可判断.（2）设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，,根据X、Y的相应取值求得Z的相应取值时的概率，列出分布列，利用期望公式求得期望.【详解】（1）非“生产能手”“生产能手”合计男员工48250女员工42850合计9010100因为的观测值 ，
21、所以有的把握认为“生产能手”与性别有关.（2）当员工每月完成合格产品的件数为3000件时，得计件工资为 元，由统计数据可知，男员工实得计件工资不少于3100元的概率为，女员工实得计件工资不少于3100元的概率为，设2名女员工中实得计件工资不少于3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资在3100元以及以上的人数为，则，的所有可能取值为， ， ， ， ，所以的分布列为0123故 .【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，考查了二项分布及期望的求法，考查转化思想以及计算能力21. 已知椭圆C：（ab0）过点，且它的焦距是短轴长的倍.（1）求椭圆C的方程.（2）若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B
22、两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，问是否存在非零常数，使k1k2时，的面积S为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由椭圆过的点及焦距是短轴长的倍和之间的关系即可求出椭圆的方程；（2）设的直线方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长，及O到直线的距离，由直线OA，OB的斜率之积的值, 得参数之间的关系，求出面积的表达式，由的面积S为定值，可得对应比成比例，即可求出的值.【详解】（1）因为椭圆过点所以又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以 从而 联立方程组 解得 所以 （2）设存在这样的常数使
23、的面积为定值.因为A，B两点不关于x轴对称，故斜率存在，设直线的方程为点点 则由知即即所以 联立方程组 消去得由韦达定理有代入得 化简得 点到直线的距离的面积将代入上式，再平方得要使上式为定值, 只需即需 从而 此时 所以存在这样的常数 此时为定值.【点睛】本题的结论是：若A，B是椭圆上的两个动点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，若，则的面积S为定值.22. 已知函数.（1）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线l过点（0，1-e），求实数a的值；（2）当a0时，若函数f（x）有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.【答案】(1) ;(2) 【解析】【分析】（1）求出，进而可
24、求出，求出与连线斜率，该斜率与相等，从而可求出；（2）结合导数，求出的单调性及存在，使得，由函数的零点情况可得，令，结合导数求出单调性，进而求出的取值范围，即可求出a的取值范围.【详解】解：（1）， ，则与连线斜率，则；（2）由,当时，由可得，此时；当时，令，则 ，则在上为增函数，因为，故存在，使得，当时，则；当时，则，则函数的增区间为，减区间为；令，有，则单调递增，有，又，可得，有，又由，故在上有且只有一个零点，因为有且只有三个零点，必有，即，令，有，可得为减函数，由，可得时，有，当且时，有，故当时，若有且只有三个零点，则实数的取值范围是.【点睛】关键点睛:本题的关键是第二问中，运用导数求函数的单调性后，得出函数极小值的正负情况.
