1、石家庄二中20192020学年度高二年级下学期线上期中考试数学试卷一选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.2.设复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则直接计算得到答案.【详解】，则.故选：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域和值域，以及函数的图象之间的关系，分别
2、进行判定，即可求解，得到答案【详解】由题意，对于A中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；对于B中，函数的定义域和值域都满足条件，所以是正确的；对于C中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；对于D中，当时，函数有意义，不满足函数的定义域为，所以不正确；【点睛】本题主要考查了函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，其中解答中熟记函数的定义域、值域，以及函数的表示方法，逐项进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4.设是可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数定义得到，得到答案.【详解
3、】，故在点处的切线的斜率为.故选：.【点睛】本题考查了导数的定义，切线斜率，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.的定义域为，则（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据定义域计算得到，得到答案.【详解】满足，即，故，故.故选：.【点睛】本题考查了函数定义域，指数对数函数的单调性比较大小，意在考查学生对于函数知识的综合应用.6.设函数在上有意义，对给定实数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算得到，分别计算分段函数值域得到答案.【详解】根据题意：，故当，当，故函数值域为.故选：.【点睛】本题考查了
4、分段函数的值域，意在考查学生的计算能力和转化能力.7.若函数的极大值为，极小值为，则的单调递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导得到，得到单调区间，故极大值为，极小值为，计算得到答案.【详解】，则，函数有极大值极小值，故.取得到，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故极大值为，极小值为，解得，.故单调区间为.故选：.【点睛】本题考查了函数的极值，函数单调性，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】利用排除法：由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时
5、，选项B错误，本题选择A选项.点睛：函数图象识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项9.定义在上的可导函数，其导函数为满足恒成立，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，判断函数单调递增，变换得到，根据单调性解得答案.【详解】设，则恒成立，函数单调递增.，即，故，即.故选：B.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数判断单调性是解题的关键.10.已知函
6、数是定义域为的奇函数，且满足，若函数有两个零点，其中，分别记为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算当时，画出函数图像，根据图像得到，根据函数的单调性得到答案.【详解】当时，故，即，即，根据图像知：，且，则，函数上单调递增，故.故选：B.【点睛】本题考查了求零点范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知函数，以下结论正确的是（ ）A. B. 在区间上是增函数C. 若方程恰有个实根，则D. 若函数在上有个零点，则=【答案】ABCD【解析】【分析】时，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，根据函数图像依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，故，当时
7、，函数为周期为的周期函数，画出函数图像，如图所示：，正确；函数在上单调递增，正确；函数过定点，根据图像知：直线与轴的交点在之间，故，正确；根据图像知，不妨设，则，故=，正确.故选：.【点睛】本题考查了函数的周期，分段函数，函数的零点问题，函数单调性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.12.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，下列命题为真命题的是（ ）A. 在内单调递减B. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为C. 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是D. 和之间存在唯一的“隔离直线”【答案】ABCD【解析】【分析】求
8、导得到得到单调区间得到正确，根据题意得到，计算得到正确，计算公切线为，再验证得到正确，得到答案.【详解】，则，解得，正确；，故，易知；，故，时成立，时，故，且，故，解得，故，同理可得，故正确；，故若存在，则一定为在处的公切线，故，故公切线方程为：，现证明满足：设，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故，故恒成立，设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，故正确.故选：.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二填空题13.若复数满足，其中为虚数单位，则_.【答案】【解析】【分析】计算，化简得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，
9、意在考查学生的计算能力.14.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】解方程组得到答案.【详解】，解得，或，故.故答案为：.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.15.已知是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】计算得到函数解析式为，画出函数图像，根据图像得到函数单调递增，故，解得答案.【详解】当时，故，画出函数图像，如图所示：根据图像知，函数单调递增，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数单调性，根据单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用.16.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围_.【答案】【解析】
10、【分析】，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点的斜率，根据图像得到答案.【详解】，故，画出图像，如图所示：当直线与函数相切时，设切点为，此时，故，解得，；当直线过点时，斜率为，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三解答题17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）计算，再计算交集得到答案.（2），故，讨论和，计算得到答案.【详解】（1），故.（2），故，当时，解得；当时，故，解得.综上所述：.【点睛】本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合
11、应用能力.18.已知函数(为常数)在点处的切线斜率为.（1）求实数的值以及此切线方程；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求导得到，解得，再计算切线方程得到答案.（2）求导得到单调区间，计算，得到答案.【详解】（1），则，故，故切线方程为：，即.（2），故，故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，故当或时函数有最大值为.【点睛】本题考查了函数的 切线和最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.19.已知函数f（x）=（log2x2）（log4x）（1）当x1，4时，求该函数的值域；（2）若f（x）mlog2x对于x4，16恒成立，求m得取值范围【答案
12、】（1），1；（2）m【解析】试题分析：（1）利用换元法令t=log2x，t0，2，得f（t）=（t2）（t），利用二次函数性质可得f（0）f（t）f（），进而求出值域；（2）由（1）可整理不等式为t+32m恒成立，只需求出左式的最大值即可，利用构造函数g（t）=t+，知在（，+）上递增，求出最大值解：令t=log2x，t0，2，f（t）=（t2）（t）=（t2）（t1），f（0）f（t）f（），f（t）1，故该函数的值域为，1；（2）x4，16，t2，4，（t2）（t1）mt，t+32m恒成立，令g（t）=t+，知在（，+）上递增，g（t）g（4）=，32m，m考点：函数恒成立问题20.已知
13、函数是定义域为的奇函数.（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据和，代入计算得到答案.（2），确定函数单调递减，故，解得答案.【详解】（1），函数为奇函数，故，则，故.（2），根据复合函数单调性知函数单调递减，即，故，即，故.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，利用单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，意在考查学生对于函数性质的综合应用.21.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上恒小于，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】【分析】（1）求导得
14、到，讨论和两种情况，计算得到答案.（2）讨论，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案.【详解】（1），则，当时，恒成立，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）当时，函数单调递减，故恒成立，故；当时，若，即，函数在上单调递减，故，成立，故；若，即，函数在上单调递增，在上单调递减，故，解得，故；若，即，函数在上单调递增，故，故，故无解.综上所述：.【点睛】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22.已知函数，其中.（1）若的图象与直线有唯一交点，求的值；（2）若对任意，且，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简得到，设，求导得到单调性，画出函数图像，根据图像得到答案.（2）单调递增，不妨设，化简得到，故函数上单调递减，计算得到答案.【详解】（1），即，当时不成立，故，设，则，故函数上单调递减，在上单调减，在上单调递增，且，画出函数图像，如图所示：根据图像知.（2）恒成立，故函数单调递增，不妨设，则，即，即，故函数在上单调递减.，故，在上单调递减.故，故.【点睛】本题考查了根据切线求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.