1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第三节二项式定理(理)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）主干知识梳理一、二项式定理 1展开式(ab)n C0nanC1nan1b1CknankbkCnnbn 所表示的定理叫做二项式定理2通项Tk1 Cknankbk 为第 k1 项第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）二、二项式系数 1定义式子 Ckn (k0，1，n)叫做二项式系数2性质(1)C0nC1nC2nCnn 2n(2)C0nC2nC1nC3n 2n1(3)对称性：CmnCnmn第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(4)二项式系
2、数最值问题：当 n 为偶数时，中间一项 Tn21 的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项 Tn12和 Tn12 1 的二项式系数相等且最大第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）三、项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号，与二项式系数一般不同第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）基础自测自评1(教材习题改编)x1x9的展开式中 x3 的系数为()A84 B84C168 D168A Tr1Cr9x9r1xrCr9(1)rx92r，令 92r3 得 r3.故 x3 的系数为 C39(1)384.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2
3、(教材习题改编)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4.则 a0a2a4 的值为()A9 B8C7 D6B 令 x1，则 a0a1a2a3a40，令 x1，则 a0a1a2a3a416，故 a0a2a48.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3(13x)n(其中 nN 且 n6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n()A6 B7C8 D9B Tr1Crn(3x)r3rCrnxr，由已知条件 35C5n36C6n，即 C5n3C6n，n！5！（n5）！3n！6！（n6）！n7.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）4设二项式x ax6(a0)的
4、展开式中 x3 的系数为 A，常数项为B.若 B4A，则 a 的值是_解析 由 Tr1Cr6x6raxrCr6(a)rx632r，得 BC46(a)4，AC26(a)2，由 B4A，a0，解得 a2.答案 2第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）5(2014石景山模拟)x2x4的展开式中的常数项为_，展开式中各项系数和为_(用数字作答)解析 Tr1Cr4x4r2xr2rCr4x42r，r2 时，可得常数项 22C2424，令 x1 即可得各项系数和为 3481.答案 24 81第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）关键要点点拨1运用二项式定理一定要牢记通项 Tr
5、1Crnanrbr.注意(ab)n 与(ba)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题2二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指 Crn，而后是字母外的部分，前者只与 n 和 r 有关，恒为正，后者还与字母的系数有关，可正可负第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3二项式系数的最大值、最小值要根据n的奇偶性确定，同时注意二项式系数最大时该项的系数不一定最大，还要取决于a、b的系数第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(1)(2012重庆高考)x 12 x8的展开式中常数项为()A.3516 B.3
6、58C.354D105求展开式中的特定项(或系数)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 二项展开式的通项 Tr1Cr8(x)8r12 xrCr812rx4r，当 4r0 时，r4，所以展开式中的常数项为 C48124358.答案 B第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)(2013安徽高考)若x a3 x8的展开式中 x4 的系数为 7，则实数a_听课记录 x a3 x8的通项为 Cr8x8rarx13rCr8arx8rxr3Cr8arx8rr3，第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）8rr34，解得 r3.C38a37，得 a12
7、.答案 12第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）互动探究本例(1)中条件不变试求展开式中是否存在无理项？展开式中的中间项是多少？解析 由 Tr112rCr8x4r 且 r0，1，2，8，验证知这九项均为有理项，故无理项是不存在的 由 r4，展开式的中间项为 T5124C48x0358，即常数项第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法1化简通项时注意通项公式表示的是第k1项而不是第k项2常数项是指通项中字母的指数为0的项，有理项是指通项中字母的指数为整数的项第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练1(1)(2014陕西五校一模)x21
8、xn的展开式中，常数项为 15，则n 的值可以为()A3 B4C5 D6D 二项展开式的通项 Tr1(1)rCrnx2n3r，当 r23n 时为常数项，即(1)23nC23nn15，得 n6.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)(2014山东济南)设 a0 sin xdx，则二项式a x 1x6的展开式的常数项是()A160 B160C240 D240B 因为 a(cos x)|0 2，所以二项式的通项是 Tr1Cr6(2 x)6r 1xr，可知当 r3 时是其常数项，故 T4C3623(1)3160.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(20
9、14宜宾二诊)若(2x 3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2 的值为()A1 B1C2 D2赋值法的应用 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 令 x1，则 a0a1a2a3a4(2 3)4；令 x1，则 a0a1a2a3a4(2 3)4.(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(2 3)4(2 3)4(34)41.答案 B第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法1二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立因此，可将a，b设定为一些特殊的值在使用赋值法时，
10、令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、1或0”，有时也取其他值第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)的展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0a2a4f（1）f（1）2，偶数项系数之和为 a1a3a5f（1）f（1）2.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练2(2014烟台诊断性测试)若x21xn的展开式中含 x 的项为第 6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则 a1a2an的值为_第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析 二项式x21
11、xn的展开式的第 6 项是 T51C5n(1)5x2n15，令 2n151 得 n8.在二项式(13x)8 的展开式中，令 x0 得 a01；令 x1 得 a0a1a828 256，所以 a1a2a8255.答案 255第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2013新课标全国高考)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5 B6C7D8项的系数最值问题 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）听课记录 根据二项式系数的性质知：(xy)2m 的二项式系数最大有一项，Cm
12、2ma，(xy)2m1 的二项式系数最大有两项，Cm2m1Cm12m1b.又 13a7b，所以 13Cm2m7Cm2m1，将各选项中 m 的取值逐个代入验证，知 m6 满足等式，所以选择 B.答案 B第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法1求二项式系数最大项：(1)如果 n 是偶数，则中间一项第n21 项 的二项式系数最大；(2)如果 n 是奇数，则中间两项第n12 项与第 n12 1 项 的二项式系数相等并最大 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2求展开式系数最大项：如求(abx)n(a，bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各
13、项系数分别为 A1，A2，An1，且第 k 项系数最大，应用AkAk1，AkAk1从而解出 k 来，即为所求 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练3(2014西安模拟)若 x(0，)，则(12x)15 的二项展开式中系数最大的项为()A第 8 项B第 9 项C第 8 项和第 9 项D第 11 项第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）D Tr1Cr152rxr，由 Cr115 2r1Cr152r，Cr115 2r1Cr152r293 r323，r10，所以第 11 项的系数最大第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【创新探究】搭配法解二项
14、式问题(2013新课标全国高考)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3C2D1【思路导析】分两类：一类是1ax中的常数项1与(1x)5展开式的x2相乘，另一类是1ax中的ax项与(1x)5展开式的x相乘第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【解析】因为(1x)5 的二项展开式的通项为 Cr5xr(0r5，rZ)，则含 x2 的项为 C25x2axC15x(105a)x2，所以 105a5，a1.【答案】D第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【高手支招】求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进
15、行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果此法易出现分类搭配不全，运算失误等错误第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）体验高考1(2013辽宁高考)使3x 1x xn(nN*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为()A4 B5C6 D7B 由二项式定理得：Tr1Crn(3x)nr1x xrCrn3nrxn52r，令 n52r0，当 r2 时，n5，此时 n 最小，故选 B.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2(2013陕西高考)设函数 f(x)x1x6，x0，x，x0，则当 x0 时，ff(x)表达式的展开式中常数
16、项为()A20 B20C15 D15第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）A 当 x0 时，f(x)x0，则 ff(x)x 1x6x 1x6.Tr1 Cr6(x)6r 1xr(1)rCr6x6r2 xr2(1)rCr6x3r.令 3r0，得 r3，此时 T4(1)3C3620.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3(2013大纲全国高考)(1x)8(1y)4 的展开式中 x2y2 的系数是()A56 B84C112 D168D 在(1x)8 展开式中 x2 项为 C28x228x2，(1y)4 展开式中y2 项为 C24y26y2，所以 x2y2 的系数为 286168.故选 D.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）课时作业