1、一、选择题1.(2016临沂模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(1，1)上单调递减的函数是()A.f(x)sin x B.f(x)2cos x1C.f(x)2x1 D.f(x)ln 解析由函数f(x)为奇函数排除B、C，又f(x)sin x在(1，1)上单调递增，排除A，故选D.答案D2.(2015湖南卷)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0，1)上是增函数B.奇函数，且在(0，1)上是减函数C.偶函数，且在(0，1)上是增函数D.偶函数，且在(0，1)上是减函数解析易知函数定义域为(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函数f(x)
2、为奇函数，又f(x)lnln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.答案A3.已知二次函数f(x)x2bxa的部分图象如图所示，则函数g(x)exf(x)的零点所在的区间是()A.(1，0) B.(0，1)C.(1，2) D.(2，3)解析由函数f(x)的图象可知，0f(0)a1，f(1)1ba0，所以1b2.又f(x)2xb，所以g(x)ex2xb，所以g(x)ex20，即g(x)在R上单调递增，又g(0)1b0，g(1)e2b0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.答案B4.(2016西安八校联考)函数y的图象大致是
3、()解析由3x10得x0，函数y的定义域为x|x0，可排除A；当x1时，y0，可排除B；当x2时，y1，当x4时，y，但从D中函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除D.故选C.答案C5.(2015全国卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析当点P沿着边BC运动，即0x时，在RtPOB中，|PB|OB|tanPOBtan x，在RtPAB中，|PA|，则f(x)|PA|PB|tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，
4、故排除A和C；当点P与点C重合，即x时，由以上得ftan1，又当点P与边CD的中点重合，即x时，PAO与PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f|PA|PB|2，知ff，故又可排除D.综上，选B.答案B二、填空题6.(2016浙江卷)已知ab1.若loga blogb a，abba，则a_，b_.解析设logbat，则t1，因为t，解得t2，所以ab2，因此ab(b2)bb2bba，a2b，b22b，又b1，解得b2，a4.答案427.已知函数f(x)其中x表示不超过x的最大整数.若直线yk(x1)(k0)与函数yf(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是_.解析根据x表示的意
5、义可知，当0x1时，f(x)x，当1x2时，f(x)x1，当2x3时，f(x)x2，以此类推，当kxk1时，f(x)xk，kZ，当1x0时，f(x)x1，作出函数f(x)的图象如图，直线yk(x1)过点(1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k.答案8.(2016海淀二模)设函数f(x)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_.解析(1)当a1时，f(x)当x1时，f(x)2x1(1，1)，当x1时，f(x)4(x23x2)41，f(x)min1.(2)由于f(x
6、)恰有2个零点，分两种情况讨论：当f(x)2xa，x1没有零点时，a2或a0.当a2时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时，有2个零点；当a0时，f(x)4(xa)(x2a)，x1时无零点.因此a2满足题意.当f(x)2xa，x1有一个零点时， 0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1有一个零点，此时a1, 2a1，因此a1.综上知实数a的取值范围是.答案(1)1(2)2，)三、解答题9.已知函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.解当m0时，f(x)2x1，它显然有一个为正实数的零点.当m0时，函数f(x)mx22x1的图象是抛物线，且与y轴的交点为(0，1
7、)，由f(x)有且仅有一个正实数的零点，则得：或x0，解，得m1；解，得m0.综上所述，m的取值范围是(，01.10.已知函数f(x)x22ln x，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数k(x)在1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，)，令f(x)2x0，得x1.当x(0，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，所以函数f(x)在x1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)f(x)h(x)x2ln xa(x0)，所以k(x)1，令k(x)0，得x2，所以k(x)在1，2)上单调递减，在(
8、2，3上单调递增，所以当x2时，函数k(x)取得最小值，k(2)22ln 2a，因为函数k(x)f(x)h(x)在区间1，3上恰有两个不同零点.即有k(x)在1，2)和(2，3内各有一个零点，所以即有解得22ln 2a32ln 3.所以实数a的取值范围为(22ln 2，32ln 3.11.已知函数f(x)exmx，其中m为常数.(1)若对任意xR有f(x)0成立，求m的取值范围；(2)当m1时，判断f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由.解(1)f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递减；当x(m，)时，exm1，f(x)0，f(x)单调递增.当xm时，f(m)为极小值，也是最小值.令f(m)1m0，得m1，即若对任意xR有f(x)0成立，则m的取值范围是(，1.(2)由(1)知f(x)在0，2m上至多有两个零点，当m1时，f(m)1m0.f(0)em0，f(0)f(m)0，f(x)在(0，m)上有一个零点.f(2m)em2m，令g(m)em2m，当m1时，g(m)em20，g(m)在(1，)上单调递增，g(m)g(1)e20，即f(2m)0.f(m)f(2m)0，f(x)在(m，2m)上有一个零点.故f(x)在0，2m上有两个零点.
