1、数列的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1在金秋的苹果节上，某商家将参展的苹果摆成16层，从上到下每层的苹果数是一个等差数列已知第8层和第9层共有苹果40个，则此商家参展的苹果共有()A300个B320个C340个D360个B由题意，在等差数列an中，n16，a8a940，则S168(a8a9)840320故选B2某工厂去年总产值为a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是()A1.14aB1.15 aC1.16 aD(11.15) aB去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a10%a，即a(10.1)，第二年又比第一年增加10%，所以第二
2、年是a(10.1)(10.1)，依此类推，第五年是a(10.1)(10.1)(10.1)(10.1)(10.1)1.15a，故选B3某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款()Aa(1x)5Ba(1x)6Ca(1x)4Da(1x5)A一年后，可取回款a(1x)，二年后，可取回款a(1x)2，三年后，可取回款a(1x)3，四年后，可取回款a(1x)4，五年后，可取回款a(1x)5，故选A4某县2020年12月末人口总数为57万，假如从2021年元月1日起，人口总数每月按相同数目增加，则到2021年12月末为止人口总数为57.24万，则2021
3、年10月末的人口总数为()A57.1万B57.2万C57.22万D57.23万B根据题意，某县2020年12月末人口总数为57万，从2021年元月1日起人口总数每月按相同数目增加，则每月月末的该县的总人口为等差数列，设这个数列为an，且a157，设其公差为d(单位为万)，又由到2021年12月末为止人口总数为57.24万，则有a157，a1357.24，则有d0.02， 2021年10月末的人口总数为即a11a110d57.2故选B5古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这
4、女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？()ABC9D10B根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，设该等比数列为an，又由她5天共织布5尺，则S55，解可得a1，则a2a1q2，故选B二、填空题6如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；，以此类推，设BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则a7_法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，则A5A6a7a1q62法二：求通项：等腰直角三角形AB
5、C中，斜边BC2，所以ABACa12，AA1a2，An1Anan1sinanan所以an是以a12为首项，为公比的等比数列，故a7a1q627有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要_秒钟71222232n1100，100，2n101，n7，即至少需7秒细菌将病毒全部杀死8某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部奖金的一半多一万元，第二名得余下的一半多一万元，以名次类推都得到余下的一半多一万元，到第十名恰好分完，则此单位共拿出_万元资金进行奖励2 046设第十名到第一名得到的奖金
6、分别是a1，a2，a10，则anSn1，a12，anan1an，an2an1则每人所得奖金数组成一个以2为首项，公比为2的等比数列，所以S102 046三、解答题9小张在2020年初向建行贷款50万元购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(14%)101.48)解50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(14%)10，每年还x万元的本息和：x(14%)9x(14%)8xx，从而有50(14%)10x，解得x6.17，即每年至少要还6.17万
7、元10用分期付款方法购买电器一件，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花多少钱？解 购买时付150元，欠1 000元，每月付50元，分20次付清，设每月付款数顺次成数列an，则a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(600.51)(元)，a350(1 000502)1%59(600.52)(元)，依次类推，a1050(1 000509)1%55.5(600.59)(
8、元)，an600.5(n1)0.5n60.5(1n20)所以an组成以60为首项，0.5为公差的等差数列，所以总数S2015020a11501 255(元)，所以第十个月该交55.5元，全部付清实际花1 255元1若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a的值约为(最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1)()A150B180C200D240C依题意可知aa50%a(50%)2a(50%)10400，解得a2002(多选题)在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一
9、半，如此六日过其关”，则下列说法正确的是()A此人第三天走了四十八里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第二天走的路程占全程的D此人前三天走的路程是后三天走的路程的8倍ABD根据题意知，此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则an是首项为a1，公比为q的等比数列S6378，解得a1192a3a1q219248，A正确由a1192，S6378，得a2a3a4a5a6S6a1378192186，又1921866，B正确a2a1q19296，S694.5，a2S6，C不正确a1a2a3a1192336，后3天走的路程为37833642，而且428336，D正确故选ABD
10、3某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为_74设B型健身器材这6个月投放量为bn，则bn是以b164为首项，q的等比数列，q1，其前6项和为S61 330，5a3001 3302 000，解得a74，故a的最小值为744今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分
11、钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是_4 039设每个30分钟进去的人数构成数列an，则a1220，a241，a382，a4163，a5324，an2n(n1)设数列an的前n项和为Sn，依题意，只需求S11(20)(221)(232)(21110)(22223211)(1210)212255212574 039流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市去年11月份曾发生流感据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20
12、人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8 670人问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数解 设从11月1日起第n(nN，1n30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn20n5025n25n从第n1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为20(n1)503050n60，公差为30，项数为(30n)，(30n)日的患者总人数为T30n(30n)(50n60)(30)(30n)(65n495)65n22 445n14 850依题意，SnT30n8 670，即(25n25n)(65n22 445n14 850)8 670化简得n261n5880，解得n12或n491n30n12第12日的新患者人数为20(121)5057011月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者人数为570人6