1、第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课时跟踪检测一、选择题1将8分成两个非负数之和，使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小，则这个最小值等于()A44B80C52 D.50解析：设其中一个数为x，则另一个数为8x，且0x8，则yx3(8x)2x3x216x64，y3x22x16，令y0.解得x2或x(舍)，且当0x2时，y0，当2x8时，y0，故当x2时，y取最小值44.答案：A2已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D.7万件解析：yx381x
2、234，yx281.令y0，得x9或x9(舍)又当0x9时，y0，当x9时，y0，x9时，y取得最大值故选C.答案：C3(2019清水六中高二月考)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为()A. cm B cmC. cm D. cm解析：设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm.其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)当0x0；当x20时，V0.所以当x时，V取最大值答案：D4做一个容积为256 cm3的方底无盖水箱，要使用料最省，水箱的底面边长为()A5 cm B6 cmC7 cm D.8 cm解析：设水箱的底面边长
3、为x cm，容积为256，水箱的高为，水箱的表面积f(x)4xx2x2，f(x)2x.令f(x)0，得x8，又当0x8时，f(x)0，当x8时，f(x)0，当x8时，f(x)取得最小值答案：D5如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为()A.3 B3C.3 D.3解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r30r0，r是其唯一的极值点当r时，V取得最大值，最大值为3.答案：A6某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为()A32米，16米 B30米，15米C40
4、米，20米 D.36米，18米解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x米，其他两边长为y米，则xy512，新建围墙的长lx2y2y(y0)，令l20，解得y16(另一负根舍去)，当0y16时，l0；当y16时，l0；所以当y16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x32.答案：A二、填空题7周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_cm3.解析：设矩形的长为x cm，则宽为(10x)cm(0x10)由题意可知圆柱体积为Vx2(10x)10x2x3.V20x3x2，令V(x)0，得x0(舍去)或x，且当x时，V(x)0，当x时，V(x)0)为反比例系数依题意，即所求
5、的a，b值使y值最小，根据题设，4b2ab2a60(a0，b0)，得b.于是y(0a1)，ACy m，则ABy.在ABC中，由余弦定理，得2y2x22xycos 60.所以y，定义域为x|x1(2)y.由y0，得x1.因为当1x1时，y1时，y0，所以当x1时，y有最小值2.故AC的最短长度为(2)m，此时BC的长度为m.11如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能
6、使水管费用最省？解：设C点距D点x km，则AC50x(km)，所以BC(km)又设总的水管费用为y元，依题意，得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0，解得x30.在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x30 km处取得最小值，此时AC50x20(km)故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省12在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)(1)如果C(x)106x30.003x25x1 000，那么生产多少单位产品时，边际成本C(x)
7、最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)(2)如果C(x)50x10 000，产品的单价P(x)1000.01x，那么怎样定价，可使利润最大？解：(1)C(x)106x30.003x25x1 000，C(x)3106x20.006x5，当x1 000时，边际成本C(x)最低(2)依题意，生产x单位产品时，总收益R(x)(1000.01x)x，利润P(x)R(x)C(x)(1000.01x)x(50x10 000)0.01x250x10 0000.01(x2 500)252 500.当x2 500时，可使利润最大，此时定价为75.因此，定价为75时，可使利润最大13某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为x(0x0.048)，则存款利率为_时，银行可获得最大收益()A0.012 B0.024C0.032 D. 0.036解析：由题意，存款量g(x)kx(k0)，银行应支付的利息h(x)xg(x)kx2，x(0,0.048)设银行可获得的收益为y，则y0.048kxkx2.于是y0.048k2kx，令y0，解得x0.024，依题意知y在x0.024处取得最大值故当存款利率为0.024时，银行可获得最大利益答案：B