1、函数y=Asin(x+)的图象(二) (20分钟35分)1.已知函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示,则的值为()A.-B.C.-D.【解析】选B.由题意,得=+=,所以T=,由T=,得=2,由题图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+).又f=sin=0,-0)的最小正周期为,则该函数的图象()A.关于直线x=对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于点对称【解析】选A.依题意得T=,=2,故f(x)=sin,所以f=sin=sin=1,f =sin=sin=,因此该函数的图象关于直线x=对称,不关于点和点对称,也不关于直线x=对称.3.已知函数y=Asin(x+)+b(A
2、0,0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2【解析】选D.由函数y=Asin(x+)+b的最大值为4,最小值为0,可知b=2,A=2.由函数的最小正周期为,可知=,得=4.由直线x=是其图象的一条对称轴,可知4+=k+,kZ,从而=k-,kZ,故满足题意的是y=2sin+2.4.已知函数f(x)=sin(x+)(0)的图象如图所示,则=.【解析】由题意设函数周期为T,则=-=,所以T=.所以=.答案:5.已知函数f(x)=2cos(x-)(0,0,)的
3、部分图象如图所示.若A,B,则f(0)=.【解析】由题干图可知函数f(x)的周期T=-=,=2.又f=2cos(-)=-2cos =,则cos =-.因为0,所以=,所以f(x)=2cos,则f(0)=-.答案:-6.如图为函数f(x)=Asin(x+)的一个周期内的图象,写出f(x)的解析式.【解析】由题图知A=2,T=7-(-1)=8,所以=,所以f(x)=2sin.将点(-1,0)代入,得0=2sin.因为|0,0)的定义域为R,周期为,初相为,值域为-1,3,则函数f(x)的解析式为()A.y=2sin+1B.y=2sin-1C.y=-2sin-1D.y=2sin+1【解析】选A.因为
4、-A+B=-1,A+B=3,所以A=2,B=1,因为T=,所以=3,又=,故f(x)=2sin+1.2.设函数f(x)=2sin.若对任意xR,都有f(x1)f(x)f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为()A.4B.2C.1D.【解析】选B.f(x)的周期T=4,|x1-x2|min=2.3.若函数y=3sin(2x+)(-0)的图象向左平移后得到的图象关于y轴对称,则|=()A.B.C.D.【解析】选D.函数y=3sin(2x+)(-0)的图象向左平移后得到:y=3sin=3sin,因为平移后图象关于y轴对称,所以+=-+k(kZ),因为-0,当k=0时,可得=-,故|=.4.已知函数
5、f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示,则函数f(x)在x上的值域为()A.B.C.D.【解析】选D.由题知,A=,周期T满足=-=T=,故=2.故f(x)=sin(2x+).代入有sin=1,又-,故=.故f(x)=sin,当x时,2x+,故f(x)=sin.5.把函数y=sin 2x的图象沿着x轴向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下判断:(1)该函数的解析式为y=2sin;(2)该函数图象关于点对称;(3)该函数在上是增函数;(4)若函数y=f(x)+a在上的最小值为,则a=2.其中正确的判断有()A.1个B
6、.2个C.3个D.4个【解析】选B.把函数y=sin 2x的图象沿着x轴向左平移个单位长度,可得y=sin的图象,再把纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数f(x)=2sin的图象,对于函数y=f(x)=2sin,故(1)错误;由于当x=时,f(x)=0,故该函数图象关于点对称,故(2)正确;在上,2x+,故函数y=f(x)在上不是增函数,故(3)错误;在上,2x+,故当2x+=时,函数y=f(x)+a在上取得最小值为-+a=,所以a=2,故(4)正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若f(x)=2sin(x+)+m,对任意实数t都有f=f,且f=-3,则实数m的值等于.【解析】
7、因为f=f,所以f(x)的对称轴为x=,所以f=2+m=-3,解得m=-5或m=-1.答案:-5或-17.把函数y=cos的图象向右平移个单位长度,所得到的图象正好关于y轴对称,则的最小正值是.【解析】将y=cos的图象向右平移个单位长度,得y=cos的图象.因为y=cos的图象关于y轴对称,所以cos=1,所以-=k,kZ.当k=-1时,取得最小正值.答案:8.已知函数f(x)=2sin(x+)的图象如图所示,则其所有的对称中心的坐标为.【解析】由题干图象可得=x0+-x0=,则T=,所以=2,又函数图象过点,所以f=2sin =,且|0,0,-)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式
8、.(2)写出f(x)的递增区间.【解析】(1)易知A=,T=42-(-2)=16,所以=,所以f(x)=sin,将点(-2,0)代入得sin=0,-+=k,kZ,所以=+k,kZ,因为-,所以=,所以f(x)=sin.(2)由-+2kx+2k,kZ,解得16k-6x16k+2,kZ,所以f(x)的递增区间为16k-6,16k+2,kZ.10.已知函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为,它的一个对称中心为.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)当x时,方程f(x)=2a-3有两个不等的实根,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为T=,所以=1,又因为f(x)的一个对称中心为,所以sin=
9、0,所以+=k,=k-,kZ,又因为|,所以=-,所以f(x)=sin.(2)方法一:当x时,2x-,“当x时,方程f(x)=2a-3有两个不等的实根”,等价于“当x时,方程sin x=2a-3有两个不等的实根”,即“y=sin x与y=2a-3的图象在内有两个不同的交点”,如图可知02a-31,所以a2,即实数a的取值范围为.方法二:作f(x)=sin,x与y=2a-3的图象,如图,可知02a-31,所以a0,0,0)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,EFG是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为()A.-B.-C.D.-【解析】选D.由函数f(x)是奇函数,且00,0,|在一个周期内的图
10、象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数.【解析】(1)由题图,知A=2,由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin =,又|,所以=.易知点是五点作图法中的第五点,所以+=2,所以=2.因此所求函数的解析式为f(x)=2sin.(2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示.因为f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100,令+k100,且+30+100,所以在区间(0,100内有31个形如(kZ,0k30)的区间.在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有231=62(个)交点.另外,两函数的图象在上还有一个交点,所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解.