1、2015-2016学年河北省石家庄一中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=0，1，2，集合B=x|x=2a，aA，则AB=（）A0B2C0，2D1，42若复数z=对应的点在直线x+2y+5=0上，则实数a的值为（）A1B2C3D43命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da54对任意非零实数a，b，若ab的运算规则如图的程序框图所示，则（32）4的值是（）A0BCD95已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（）ABCD6参数方程为（t为
2、参数）表示的曲线是（）A两条射线B两条直线C一条射线D一条直线7把函数y=sin（x+）（0，|）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是y=sinx，则（）A=2，=B=2，=C=，=D=，=8已知a，b都是正实数，且满足log4（2a+b）=log2，则2a+b的最小值为（）A12B10C8D69函数，当0x1时，下列式子大小关系正确的是（）Af2（x）f（x2）f（x）Bf（x2）f2（x）f（x）Cf（x）f（x2）f2（x）Df（x2）f（x）f2（x）10已知不等式|y+4|y|2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（
3、）A1B2C3D411某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A4B21+C3+12D +1212设函数f（x）=（xa）2+（lnx22a）2，其中x0，aR，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）ABCD1一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知P是ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是14在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=15若A为抛物线的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则等于16已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，ASC
4、=BSC=45，则棱锥SABC的体积为三、解答题：本大题共6小题，共70分请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2cos（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值18已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x2数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设，Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有的（
5、nN*）都成立的最小正整数m19某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670ab药品无效8050c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b425，c68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）20在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAAC，PBBC（1）证明：ABPC；（2）若PC=2，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积21已知椭圆的离心率
6、直线x=t（t0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求ABC的面积的最大值22已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2bx（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）g（x2）的最小值2015-2016学年河北省石家庄一中高二（下）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的
7、四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A=0，1，2，集合B=x|x=2a，aA，则AB=（）A0B2C0，2D1，4【考点】交集及其运算【分析】写出集合B，在求交集即可【解答】解：B=0，2，4，AB=0，2，故选C【点评】本题考查集合的列举法和描述法、集合的交集，属容易题2若复数z=对应的点在直线x+2y+5=0上，则实数a的值为（）A1B2C3D4【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的几何意义，求出对应点的坐标，利用点与直线的关系建立方程即可得到结论【解答】解：z=，对应的点的坐标为A（a，1），点A（a，1）在直线x+2y+5=0，a2+
8、5=0，即a=3，故选：C【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算是解决本题的关键，比较基础3命题“x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Aa4Ba4Ca5Da5【考点】命题的真假判断与应用【专题】函数的性质及应用【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件a|a4，从集合的角度充分不必要条件应为a|a4的真子集，由选择项不难得出答案【解答】解：命题“x1，2，x2a0”为真命题，可化为x1，2，ax2，恒成立即只需a（x2）max=4，即“x1，2，x2a0”为真命题的充要条件为a4，而要找的一个充分不必要条件即为集合a|a4的真子集，由选择项可知C符合题意故选C
9、【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题4对任意非零实数a，b，若ab的运算规则如图的程序框图所示，则（32）4的值是（）A0BCD9【考点】选择结构【专题】计算题；图表型【分析】由框图知，ab的运算规则是若ab成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（32）4的值【解答】解：由图ab的运算规则是若ab成立，则输出，否则输出，故32=2，（32）4=24=故选C【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式5已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为（）ABCD
10、【考点】终边相同的角【专题】三角函数的图像与性质【分析】先确定此点的坐标，判断此点的终边所在的象限，并求出此角的正切值，从而得到此角的最小值【解答】解：角的终边上一点的坐标为，即（，），此点到原点的距离为1，此点在第四象限，tan=，故角的最小值为，故选：C【点评】本题考查特殊角的三角函数值，正切函数的定义以及各个象限内点的坐标的符号规律6参数方程为（t为参数）表示的曲线是（）A两条射线B两条直线C一条射线D一条直线【考点】参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程【分析】分t大于0和t小于0两种情况，利用基本不等式确定出x的取值范围，则答案可求【解答】解：由，当t0时，x=t+2=2当t0
11、时，x=t+=（t+）2=2方程表示的曲线是y=2（x2或x2）为两条射线，故选：A【点评】本题考查了曲线与方程，考查了利用基本不等式求函数最值，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题7把函数y=sin（x+）（0，|）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是y=sinx，则（）A=2，=B=2，=C=，=D=，=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意得，利用y=Asin（x+）的图象变换规律，求得和的值【解答】解：由题意得 把y=sinx的图象所有点的横坐标变为原来的倍得到y=sin2x的图象
12、，把y=sin2x的图象向右平移个单位可得y=sin2（x）=sin（2x）的图象，故y=sin（x+）即y=sin（2x），=2，=，故选 B【点评】本题主要考查了y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题8已知a，b都是正实数，且满足log4（2a+b）=log2，则2a+b的最小值为（）A12B10C8D6【考点】对数的运算性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据对数的基本运算法则，得到2a+b=ab，然后根据基本不等式即可求出2a+b的最小值【解答】解：，log4（2a+b）=log4（ab），2a+b=ab0，2a+b=ab=（）2=，2a+b8，当且仅当2a=b时，取等号2a+
13、b的最小值为8，故选：C【点评】本题主要考查式子的最值，利用对数的运算法则和基本不等式是解决本题的关键9函数，当0x1时，下列式子大小关系正确的是（）Af2（x）f（x2）f（x）Bf（x2）f2（x）f（x）Cf（x）f（x2）f2（x）Df（x2）f（x）f2（x）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；不等式比较大小【分析】由0x1得到x2x，要比较f（x）与f（x2）的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出f（x）利用导函数的正负决定函数的增减性即可比较出f（x）与f（x2）大小【解答】解：根据0x1得到x2x，而f（x）=，因为（lnx）20，所以根据对数函数的单调
14、性得到在0x1时，lnx10，所以f（x）0，函数单调递减所以f（x2）f（x），根据排除法A、B、D错，C正确故选C【点评】考查学生利用导数研究函数的单调性，以及会利用函数的单调性判断函数值的大小，在做选择题时，可采用排除法得到正确答案10已知不等式|y+4|y|2x+对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（）A1B2C3D4【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】令f（y）=|y+4|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|y|y+4y|=4，从而将问题转化为2x+f（y）max=4，令g（x）=（2x）2+42x，则ag（x）max=4，从而可得答案【解答】解：令f（
15、y）=|y+4|y|，则f（y）|y+4y|=4，即f（y）max=4不等式|y+4|y|2x+对任意实数x，y都成立，2x+f（y）max=4，a（2x）2+42x=（2x2）2+4恒成立；令g（x）=（2x）2+42x，则ag（x）max=4，常数a的最小值为4，故选：D【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A4B21+C3+12D +12【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据题意得出该几何体是 如图红色的正6边形截得的正方体下方的几何体，利用几何
16、体的对性求解部分表面积，再运用正6边形面积公式求解即可【解答】解：根据三视图得出该几何体是 如图红色的正6边形截得的正方体下方的几何体，可得出正方体的棱长为2，根据分割的正方体的2个几何体的对称性，得出S1=12，红色的正6边形的面积为：6=3该几何体的表面积为12+3故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，根据该几何体的性质求解面积公式12设函数f（x）=（xa）2+（lnx22a）2，其中x0，aR，存在x0使得f（x0）成立，则实数a值是（）ABCD1【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【专题】数形结合；导数的综合应用【分析】把函
17、数看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，利用导数求出曲线y=2lnx上与直线y=2x平行的切线的切点，得到曲线上点到直线距离的最小值，结合题意可得只有切点到直线距离的平方等于，然后由两直线斜率的关系列式求得实数a的值【解答】解：函数f（x）可以看作是动点M（x，lnx2）与动点N（a，2a）之间距离的平方，动点M在函数y=2lnx的图象上，N在直线y=2x的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由y=2lnx得，y=2，解得x=1，曲线上点M（1，0）到直线y=2x的距离最小，最小距离d=，则f（x），根据题意，要使f（x0），则f（x0）=，此时N恰好为
18、垂足，由kMN=，解得a=故选：A【点评】本题考查利用导数求曲线上过某点切线的斜率，考查了数形结合和数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知P是ABC所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是【考点】几何概型【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是ABC边BC上的中线AO的中点再根据几何概型公式，将PBC的面积与ABC的面积相除可得本题的答案【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，得：，由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等
19、于A到BC的距离的SPBC=SABC将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为P=故答案为：【点评】本题给出点P满足的条件，求P点落在PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题14在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=30【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得
20、a2b2=bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosA=，A为三角形的内角，A=30故答案为：30【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键15若A为抛物线的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则等于3【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】题意可得，A（0，0），抛物线的焦点（0，1），则可得直线BC的方程为：y=kx+1联立方程可得设A（x1，y1）B（x1，y1），根据方程的根与系数的关系可求【解答】解：题意可得，A（0，0），抛物线的焦点（0，1）则可得直线BC的方程为：y=kx+1联立方程可得设A（x1，y1）B（x1
21、，y1），则x1+x2=4k，x1x2=4，y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=4（1+k2）+k4k+1=3故答案为：3【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，处理的一般思路是联立方程，根据方程的根与系数的关系进行求解16已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥SABC的体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体【专题】计算题【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，SAC=SBC=90，说明过O，A，B的平面与SC垂直，求出三角形OAB的
22、面积，即可求出棱锥SABC的体积【解答】解：如图，由题意ASC，BSC均为等腰直角三角形，求出SA=AC=SB=BC=2，SOA=SOB=90，所以SC平面ABO又AB=2，ABO为正三角形，则SABO=22=，进而可得：V SABC=V CAOB+V SAOB=故答案为：【点评】本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，得出SC平面ABO是本题的解题关键，且用了体积分割法三、解答题：本大题共6小题，共70分请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知直线l：（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为=2
23、cos（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【专题】选作题；坐标系和参数方程【分析】（1）曲线的极坐标方程即2=2cos，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论【解答】解：（1）=2cos，2=2cos，x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（51）
24、2+31=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|MB|=18【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题18已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x2数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设，Tn是数列bn的前n项和，求使得对所有的（nN*）都成立的最小正整数m【考点】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式【专题】综合题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a0），求出导数，可得a=3，b=
25、2，可得Sn=3n22n，再由数列的通项与求和关系，即可得到所求通项公式；（2）求得=（），运用裂项相消求和可得Tn，再由恒成立思想即可解得m的范围，进而得到最小正整数【解答】解：（1）依题意可设二次函数f（x）=ax2+bx（a0），则f（x）=2ax+b，由f（x）=6x2，可得a=3，b=2，则f（x）=3x22x点（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上即有Sn=3n22n，当n2时，an=SnSn1=3n22n3（n1）2+2（n1）=6n5；当n=1时，a1=S1=1也适合，则an=6n5；（）由（）知=（）故Tn= （1）+（）+（）=（1）因此，要使（1）成立，m必须
26、且仅需满足，即m1008，故满足要求的最小正整数m为1008【点评】本题考查二次函数的性质，以及解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式恒成立其它的解法，注意运用不等式的性质，属于中档题19某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670ab药品无效8050c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b425，c68，求该药
27、品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b425，c68，情况，利用古典概型概率公式计算即可【解答】解：（1），a=700b+c=20006708070050=500应在C组抽取样本个数是个（2）b+c=500，b425，c68，（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），
28、（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b200090%=1800b430（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）通过测试的概率为【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题20在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAAC，PBBC（1）证明：ABPC；（2）若PC=2，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）求出AC和BC，取AB中点M，连结PM，CM，说明ABPM，ABMC，证明AB平面PMC，然
29、后证明ABPC（2）在平面PAC内作ADPC，垂足为D，连结BD，证明ABD为等腰直角三角形，设AB=PA=PB=a，求解a，然后求解底面面积以及体积即可【解答】解：（1）证明：在RtPAC和RtPBC中取AB中点M，连结PM，CM，则ABPM，ABMC，AB平面PMC，而PC平面PMC，ABPC（2）在平面PAC内作ADPC，垂足为D，连结BD平面PAC平面PBC，AD平面PBC，又BD平面PBC，ADBD，又RtPACRtPBC，AD=BD，ABD为等腰直角三角形 设AB=PA=PB=a，则在RtPAC中：由PAAC=PCAD，得，解得，【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的
30、判定与性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力21已知椭圆的离心率直线x=t（t0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求ABC的面积的最大值【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】综合题【分析】（1）由椭圆的离心率，知由此能求出椭圆E的方程（2）依题意，圆心为C（t，0），（0t2）由得所以圆C的半径为由圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，知，所以弦长，由此能求出ABC的面积的最大值【解答】（1）解：椭圆的离心率，解得a=2椭圆E的方程为（2）解：依题意，圆心为C（t，0），（0t2
31、）由得圆C的半径为圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，即弦长ABC的面积=当且仅当，即时，等号成立ABC的面积的最大值为【点评】本题考查椭圆的方程和三解开有的面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化22已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2bx（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x1）g（x2）的最小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值
32、【专题】综合题；导数的概念及应用【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值（2）由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，由此能求出实数b的取值范围（3）g（x1）g（x2）=ln（），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）g（x2）的最小值【解答】解：（1）f（x）=x+alnx，f（x）=1+，f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，k=f（x）|x=1=1+a=2，解得a=1（2）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=，x0，由题意知g（x）0在（0，+）上有解，即x+1b0有解，定义域x0，x+2，x+b1有解，只需要x+的最小值小于b1，2b1，解得实数b的取值范围是b|b3（3）g（x）=lnx+（b1）x，g（x）=0，x1+x2=b1，x1x2=1g（x1）g（x2）=ln（）0x1x2，设t=，0t1，令h（t）=lnt（t），0t1，则h（t）=0，h（t）在（0，1）上单调递减，又b，（b1）2，0t1，4t217t+40，0t，h（t）h（）=2ln2，故所求的最小值为2ln2【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用