1、选修4-4 坐标系与参数方程第二节参数方程选修4-4 坐标系与参数方程主干知识梳理几种常见曲线的参数方程1直线经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)选修4-4 坐标系与参数方程2圆以 O(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是xarcos，ybrsin，其中 是参数当圆心在(0,0)时，方程为xrcos，yrsin.选修4-4 坐标系与参数方程3椭圆(1)椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程是xacos，ybsin，其中 是参数(2)椭圆x2b2y2a21(ab0)的参数方程是xbcos，yasin，其中 是参数选修4-4
2、 坐标系与参数方程基础自测自评1(教材习题改编)参数方程x3t2，yt1(t 为参数)的普通方程为_解析 由 yt1，得 ty1，代入 x3t2，得 x3y5.即 x3y50.答案 x3y50选修4-4 坐标系与参数方程2(2013陕西高考)圆锥曲线xt2，y2t(t 为参数)的焦点坐标是_解析 代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y24x，则焦点坐标为(1,0)答案(1,0)选修4-4 坐标系与参数方程3(2012湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线 4与曲线xt1，yt12(t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直
3、角坐标为_选修4-4 坐标系与参数方程解析 记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 4，转化为直角坐标方程为 yx(x0)，曲线为 y(x2)2，联立上述两个方程得 x25x40，所以 x1x25，故线段 AB 的中点坐标为52，52.答案 52，52选修4-4 坐标系与参数方程4在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为xt，yt1(参数 tR)，圆 C 的参数方程为xcos 1，ysin(参数 0,2)，则圆心 C 到直线 l 的距离是_选修4-4 坐标系与参数方程解析 直线方程可化为 xy10，圆的方程可化为(x1)2y21.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直
4、线 l 的距离为|2|1212 2.答案 2选修4-4 坐标系与参数方程5(2013广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos.以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参数方程为_解析 极坐标方程化为直角坐标方程为(x1)2y21，令cos x1sin y，即xcos 1ysin(为参数)答案 xcos 1，ysin(为参数)选修4-4 坐标系与参数方程关键要点点拨1在直线的参数方程xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)中 t 的几何意义是表示在直线上过定点 P0(x0，y0)与直线上的任一点 P(x，y)构成的有向线段 P0P 的长度且在直线上任意两点
5、P1、P2 的距离为|P1P2|t1t2|t1t224t1t2.2参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视选修4-4 坐标系与参数方程典题导入(2012广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2的参数方程分别为xt，y t(t 为参数)和x 2cos，y 2sin(为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为_参数方程与普通方程互化 选修4-4 坐标系与参数方程听课记录 C1 的普通方程为 y2x(x0，y0)，C2 的普通方程为 x2y22.由y2x，x0，y0，x2y22，得x1，y1，故 C1
6、 与 C2 的交点坐标为(1,1)答案(1,1)选修4-4 坐标系与参数方程互动探究本例 1 中“曲线 C1 的参数方程xt，y t(t 为参数)”若变为“x12t，y12t(t 为参数)”，试判断曲线 C1 与 C2 的位置关系解析 由x12t，y12t，得 xy2，又 C2 化为 x2y22，圆心到直线 xy20 的距离，d|2|2 2r，C1 与 C2 相切选修4-4 坐标系与参数方程规律方法1消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数2将参数方程化
7、为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围选修4-4 坐标系与参数方程跟踪训练1 (1)(2014 东 莞 模 拟)在 平 面 直 角 坐 标 系 下，曲 线 C1：x2t2a，yt(t 为参数)，曲线 C2：x2cos，y22sin (为参数)若曲线C1，C2有公共点，则实数a 的取值范围是_选修4-4 坐标系与参数方程解析 将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程，得 C1：x2y2a0，C2：x2(y2)24.因为曲线 C1 与 C2 有公共点，所以圆心到直线的距离|42a|52，解得 2 5a2
8、 5.答案 2 5，2 5选修4-4 坐标系与参数方程(2)(2013陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_选修4-4 坐标系与参数方程解析 由题意得圆的方程为x122y214，圆心12，0 在 x 轴上，半径为12，则其圆的参数方程为x1212cos y12sin(为参数)，注意 为圆心角，为同弧所对的圆周角，则有 2，有x1212cos 2y12sin 2选修4-4 坐标系与参数方程，即xcos2ysin cos (为参数)答案 xcos2ysin cos (为参数)选修4-4 坐标系与参数方程典题导入(2014东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 x
9、Oy 中，已知点 P(0，3)，曲线 C 的参数方程为x 5cos，y 15sin(为参数)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 32cos6.直线的参数方程 选修4-4 坐标系与参数方程听课记录(1)直线 l 的极坐标方程为2cos6 3，即 3cos sin 3，直线 l 的直角坐标方程为 3xy 3，点 P(0，3)在直线 l 上(1)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；(2)设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|PB|的值选修4-4 坐标系与参数方程(2)设直线 l 的参数方程为x12t，y 3 32 t(t 为参数)，曲线 C 的直角坐标
10、方程为x25y2151，l 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得312t 23 32 t 215，t22t80，选修4-4 坐标系与参数方程360，设方程的两根为t1，t2，|PA|PB|t1|t2|t1t2|8|8.选修4-4 坐标系与参数方程规律方法经 过 点 P(x0，y0)，倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1，t2.线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0.注意以下几个常用的结论：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|t1t2|2；(
11、3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.选修4-4 坐标系与参数方程跟踪训练2(2014河南模拟)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为x3 22 t，y 5 22 t(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆 C 的方程为 2 5sin.选修4-4 坐标系与参数方程(1)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离；(2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3，5)，求|PA|PB|.解析(1)由 2 5sin，得 x2y22 5y0，即圆 C 的直角坐标方程为 x2(y 5)
12、25.由x3 22 t，y 5 22 t，可得直线 l 的普通方程为 xy 530.选修4-4 坐标系与参数方程所以圆 C 的圆心(0，5)到直线 l 的距离为|0 5 53|23 22.(2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得3 22 t 222 t 25，即 t23 2t40.由于(3 2)24420，故可设 t1，t2 是上述方程的两个实根，选修4-4 坐标系与参数方程所以t1t23 2，t1t24.又直线 l 过点 P(3，5)，故由上式及 t 的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23 2.选修4-4 坐标系与参数方程典题导入(2012湖南高考)在直角坐标系 xO
13、y 中，已知曲线 C1：xt1，y12t，(t 为参数)与曲线 C2：xasin，y3cos，(为参数，a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a_.圆与圆锥曲线的参数方程及应用 选修4-4 坐标系与参数方程听课记录 曲线 C1 的普通方程为 2xy3，曲线 C2 的普通方程为x2a2y291，直线 2xy3 与 x 轴的交点坐标为32，0，故曲线x2a2y291 也经过这个点，代入解得 a32舍去32.答案 32选修4-4 坐标系与参数方程规律方法已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等选修4-4 坐标系与
14、参数方程跟踪训练3(2013湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为xacos，ybsin(为参数，ab0)在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 sin4 22 m(m为非零常数)与 b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆 C 的离心率为_选修4-4 坐标系与参数方程解析 由题意知，椭圆 C 的普通方程为x2a2y2b21，直线 l 的直角坐标方程为 xym，圆 O 的直角坐标方程为 x2y2b2，设椭圆 C 的半焦距为 c，则根据题意可知，|m|c，
15、|m|2b，所以有 c 2b，所以椭圆 C 的离心率 ecacb2c2 63.答案 63选修4-4 坐标系与参数方程【创新探究】坐标系与参数方程的综合应用(2013辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆 C1，直线 C2的极坐标方程分别为 4sin，cos4 2 2.(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标；(2)设 P 为 C1 的圆心，Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点已知直线 PQ 的参数方程为xt3a，yb2t31(tR 为参数)，求 a，b 值选修4-4 坐标系与参数方程【思路导析】先将极坐标方程化为普通方程确定交点的直角坐标，进而再转
16、化为极坐标；确定P，Q的直角坐标，进而确定PQ的直角坐标方程，与参数方程给出的关系式联立，解得a，b.选修4-4 坐标系与参数方程【解析】(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x2(y2)24，直线 C2 的直角坐标方程为 xy40.解x2y224，xy40得x10，y14，x22，y22.所以 C1 与 C2 交点的极坐标为4，2，2 2，4.注：极坐标系下点的表示不唯一选修4-4 坐标系与参数方程(2)由(1)可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy20，由参数方程可得 yb2xab2 1.所以b21，ab2 12.解得 a1，b2.选修
17、4-4 坐标系与参数方程体验高考(2013新课标全国高考)已知动点P，Q都在曲线C：x2cos t，y2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为 t 与 t2a(02)，M 为 PQ的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点选修4-4 坐标系与参数方程解析(1)依题意有 P(2cos，2sin)，Q(2cos 2，2sin 2)，因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为xcos cos 2ysin sin 2(为参数，02)(2)M 点到坐标原点的距离d x2y2 22cos(02)当 时，d0，故 M 的轨迹过坐标原点