1、椭圆标准方程及性质的应用A组学业达标1若直线l：2xby30过椭圆C：10x2y210的一个焦点，则b的值是()A1B.C1或1 D或解析：由题意得椭圆的焦点为(0，3)，若l过一个焦点，则b1.故选C.答案：C2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析：由题知，M的轨迹为以两焦点的连线为直径的圆，cbc2b2a2c2e2b0)相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得，0.又M(1,1)是线段AB的中点，所以x1x22，y1y22，所以0，所以a
2、22b2，所以e.答案：7焦点分别为(0,5)和(0，5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，则此椭圆方程是_解析：设此椭圆的标准方程为1(ab0)，且a2b2(5)250，由得(a29b2)x212b2x4b2a2b20.，a23b2，此时0，由得a275，b225，椭圆方程为1.答案：18过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，lAB：y2x2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x25x0，x0或x，A(0，2)，B，SAOB|OF|(|yB|yA|)1.答案：9已知椭圆x28y28
3、，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy40的距离最短，并求出最短距离解析：设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线为xya0，联立方程得9y22aya280，4a236(a28)0，解得a3或a3，与直线l距离较近的切线方程为xy30，所求最小距离为d.10若椭圆1(ab0)与直线yx交于A，B两点，且|AB|，求的值解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x1y1，x2y2，故|AB|2(x1x2)2(y1y2)22(x1x2)222，即，所以5.B组能力提升11已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是()A6,10 B6,8C8,10 D16,20
4、解析：由题意知a10，b8，不妨设椭圆为1，椭圆上的点M(x0，y0)，由椭圆的范围知，|x0|a10，|y0|b8，点M到椭圆中心的距离d，又因为1，所以y6464x，则d，因为0x100，所以64x64100，所以8d10.故选C.答案：C12已知c是椭圆1(ab0)的半焦距，则的取值范围是()A(1，) B(，)C(1， D(1，)解析：2112，当且仅当bc时取等号，a、b、c都大于0，所以211.122，1b0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A、B两点，若3，求k的值解析：由椭圆C的离心率为，得ca，b2，椭圆C：1.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，F
5、.3，3，axA3，yA3yB，即xA3xB2a，yA3yB0.将A、B代入椭圆C方程相减得8，8，3xBxAa，xAa，xBa，yAa，yBa，k.16椭圆C：1(ab0)过点，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点(1)求椭圆C的方程；(2)当F2AB的面积为时，求直线的方程解析：(1)因为椭圆C：1(ab0)过点，所以1.又因为离心率为，所以，所以.解得a24，b23.所以椭圆C的方程为1.(2)当直线的倾斜角为时，A，B，SABF2|AB|F1F2|323，不符合题意当直线的倾斜角不为时，设直线方程为yk(x1)，代入1得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以SABF2|y1y2|F1F2|k|k|，所以17k4k2180，解得k21，所以k1，所以所求直线的方程为xy10或xy10.