1、西城区数学抽样测试(理科)1997.5一、选择题：本大题共15小题；第110题每小题4分,第1115题每小题5分,共65分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的题号123456789101112131415答案(1)非空集合P、Q、R,满足关系PQ=Q,QR=Q,则P、R的关系是 (A)P=R (B)PR (C)PR (D)PR=(2)如果(x3+1/x3)n的展开式中,只有第6项的系数最大,那么不含x的项是 (A)462 (B)252 (C)210 (D)10(3)一个圆台的母线长是上下底面半径的等差中项,且侧面积为18cm2,那么母线长是 (A)9cm (B)2 3cm (C)
2、3cm (D) 3cm(4)已知复数z=(aR),且z=2/3,则a等于 (A) 3 (B)- 3 (C) 3或- 3 (D)3(5)y=2cos(/4-2x)的单调递减区间是(kZ) (A)k/8,k5/8 (B)k-3/8,k+/8 (C)2k+/8,2k+5/8 (D)2k-3/8,2k+/8(6)圆锥曲线3x2-y2-6x-4y+2=0的焦点坐标是 (A)(1,0),(1,-4) (B)(3,-2),(-1,-2) (C)(1+ 2,-2),(1- 2,-2) (D)(1,-2+ 2),(1,-2- 2)(7)下面四个命题经过两两相交的三条直线可以确定一个平面过平面外一点,有且仅有一个
3、平面和这个平面垂直平面内不共线的三点,到平面的距离相等,则两个平面垂直,过其中一个平面内一点作它们交线的垂线,则此垂线垂直于另一个平面 其中真命题的个数是 (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个(8)直线l:(t是参数)与圆C:(是参数)相切,则直线l的倾斜角为(A)/6或5/6 (B)/4或3/4 (C)/3或-2/3 (D)-/6或5/6(9)若an是等差数列,公差为1/2,且S100=145,则a1+a3+a5+a99的值是 (A)60 (B)85 (C)145/2 (D)70(10)设zn=,nN.记Sn=|z2-z1|+|z3-z2|+|zn+1-zn|,则Sn的值是 (A)
4、-1- 2 (B)1+ 2/2 (C)-1+ 2 (D)1- 2/2(11)用0,1,2,3,4五个数字,可以组成比2000大,且百位数字不是3的四位数共有 (A)24个 (B)36个 (C)72个 (D)60个(12)过双曲线2x2-y2-8x+6=0的右焦点,作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l存在 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条(13)设是第二象限的角,tg=-4/3,且sin(/2)cos(/2),则cos(/2)等于 (A)-3/5 (B) 5/5 (C)- 5/5 (D)-3/5或- 5/5(14)如果函数f(x)在(0,2)上是增函数,且关
5、于x的函数y=f(x+2)是偶函数,那么下列结论中正确的是 (A)f(1)f(5/2)f(7/2) (B)f(7/2)f(1)f(5/2) D1 C1 (C)f(7/2)f(5/2)f(1) (D)f(5/2)f(1)0,且a1)()求f(x)的定义域；()判断f(x)的奇偶性；()若f(x)loga2x,求x的取值范围(21)(满分10分)已知:sin+sin=sinsin,tg,求:sin的值.(22)(满分12分)在三棱锥A-BCD中,若BAC=CAD=DAB=60,AB=3,AC=AD=2,()求证:ABCD; ()求AB与平面BCD所成的角.(23)(本小题满分10分)某工厂生产某种
6、产品共m件,分若干批生产,每生产一批产品需用原料费为15000万元；每批生产需直接消耗管理费与该批生产产品的件数的立方成正比.当生产的一批产品为5件时,需消耗管理费为1000万元()求每批生产需直接消耗的管理费与该批生产产品的件数的函数解析式；()每批生产多少件时,一年生产的总费用最低？(精确到1件)(其中3 7.5=1.957,3 75=4.217)(24)(满分12分)数列an的前n项和Sn=npan(nN),且a1a2,()求常数p的值; ()证明数列an是等差数列.(25)(满分13分)椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)与直线x+y-1=0相交于两点P,Q,且OPOQ(O为原点)
7、.()求1/a2+1/b2的值.()若椭圆的离心率在 3/3, 2/2上变化时,求椭圆长轴的取值范围.西城区数学(理)答案一、BBCCA AAAAB DCCBA二、16.2 5 17.-1/2 18.3+4i 19.5 19/2三、(20)解：()由(3+x)/(3-x)0 (1分) 解得 -3x1时,原不等式等价于不等式组: (3+x)/(3-x)2x 且 2x0 (7分) 解此不等式组,得0x1或3/2x3 (9分) 当0a0 (10分) 解此不等式组,得1x3/2 (12分)(21)解：由sin+sin=sinsin得 2sin(+)/2cos(-)/2=-(1/2)cos(+)-cos
8、(-) (1分)2sin(+)/2cos(-)/2=-(1/2)1-2sin2(+)/2-(2cos2(-)/2-1) =sin2(+)/2+cos2(-)/2-1 (3分) sin(+)/2 - cos(-)/22=1 sin(+)/2 - cos(-)/2=1 (5分) 又由tg(-)/4 = 1/3 cos(-)/2=1-tg2(-)/41+tg2(-)/4=(1-1/9)(1+1/9) = 4/5 (7分) 由、得 sin(+)/2 = -1/5, sin(+)/2 = 9/5(舍) (9分) sin(+)/2 = -1/5 (10分)(22)解：()证 BAC=CAB=DAB=60,
9、 AC=AD ABCABD, BC=BD (2分) 取CD的中点M,连AM、BM,则CDAM、CDBM (3分) 又AMBM=M,CD平面ABM (4分) 又AB平面ABM,ABCD (5分)()由(I)知CD平面ABM,又CD平面BCD 平面ABM平面BCD (6分) 在ABC中,AB=3,AC=2,BAC=60 BC2=32+22-232cos60=7 (7分) 在ACD中AC=AD=2,CAD=60 故ACD为正三角形,AM=( 3/2)AC= 3 (8分) 在BCM中,BMC=90,BC= 7,CM=1BM= 6 (9分) 在AMB中,AB=3,BM= 6,AM= 3 AB2=BM2+
10、AM2 AMBM,AMB=90 (10分) ABM是AB与平面BCD所成的角 tgAMB=AM/BM= 2/2,即ABM=arctg( 2/2) (12分)(23)解：()设每批生产直接消耗管理费为S元,该批生产产品的件数为x件 依题意,得 S=kx3 (1分) 由x=5时,S=1000 有1000=k53 k=8 (2分) 所求函数解析式为S=8x3(xN) (3分) ()设每批生产x件时,一年生产的总费用为y万元 每生产一批产品的总费用为15000+8x3 (4分) 一年生产的总费用为y=m(15000/x+8x3) (5分) y=m(15000/x+8x2)=m(7500/x+7500/
11、x+8x2) 3m 3 (7500/x)(7500/x)8x2 (7分) 当且仅当7500/x=8x2,x3=7500/8 (8分) 即x=(1/2) 3 7500=5 3 7.551.9610 每批生产10件时,一年生产的总费用最低. (10分)(24)解：()由nN时,Sn=npan 当n=1时,有a1=pa1 若p=1,则S2=2a2,即a1+a2=2a2 a1=a2,与a1a2矛盾,p1 (2分) 由p1,且a1=pa1,(p-1)a1=0, a1=0 (3分) 由a1+a2=2pa2,a2=2pa2, 由a1=0,a1a2,a20,p=1/2 (4分)()由a1+a2+a3=3(1/
12、2)a3 a3=2a2 ; 由a1+a2+a3+a4=4(1/2)a4 a4=3a2; 由a1+a2+a3+a4+a5=5(1/2)a5 a5=4a2 猜想：an=(n-1)a2 (6分)证明：当n=1时,a1=(1-1)a2=0,故n=1时,等式成立 假设n=k时,等式成立,即ak=(k-1)a2 (7分) 又Sk+1=Sk+ak+1, (k+1)(1/2)ak+1=k(1/2)ak+ak+1, (k-1)ak+1/2=kak+1/2=(k/2)(k-1)a2 ak+1=ka2 (10分) 当n=k+1时,等式an=(n-1)an仍成立 (11分)综上所述,an=(n-1)a2对nN都成立.
13、an是以首项为0,公差为a2的等差数列 (12分)(25)解：()由b2x2+a2y2=a2b2 及 x+y-1=0 消y,得b2x2+a2(1-x)2=a2b2 整理得,(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0 (2分) 有两个交点,0, 即 =4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)0 即b2(a2+b2-1)0 b0,b20,a2+b21 (4分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2), OPOQ,x1x2+y1y2=0 (5分) 又y1= 1 - x1,y2= 1 - x2 x1x2+(1-x1)(1-x2)=0 即2x1x2-(x1+x2)+1=0 (6分) 由方程可知,x
14、1+x2=2a2/(a2+b2),x1x2=a2(1-b2)/(a2+b2) 代入得:2a2(1-b2)/(a2+b2) - 2a2/(a2+b2)+1=0 即 2a2-2a2b2-2a2+a2+b2=0 a2+b2=2a2b2,1/a2+1/b2=2 (8分)() e=c/a,e2=(a2-b2)/a2,a2e2=a2-b2,b2=a2-a2e2, 代入a2+b2=2a2b2,得a2+a2-a2e2=2a2(a2-a2e2) 化简得2-e2=2a2(1-e2) (9分)a2=(2-e2)/2(1-e2)=1+(1-e2)/2(1-e2)=1/2+1/(1-e2) (11分) 3/3e1/2, 5/4a23/2, (12分)a0, 5/2a 6/2,长轴取值为 52a 6 (13分)