1、海淀区数学抽样测试(文科)1997.5一、选择题：本大题共15小题；第110题每小题4分,第1115题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的题号123456789101112131415答案(1)函数y=x-3,y=log2x,y=(1/2)x的定义域分别是P,Q,W,则它们之间的关系是 (A)QP (B) P=Q (C)QP,Q,P (D) PQ(2)不等式 x+12的解集为 (A)x-1x3 (B)xx-1 (C)xx3 (D)xx3(3)函数f(x)=lg(x+ x2+1)是 (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)
2、非奇函数又非偶函数(4)双曲线=1上一点P到一个焦点的距离为4,P到相应准线的距离为 (A)2 6 (B)4 6/3 (C)4 6/3+4 (D)2 6+4(5)数列an对任意自然数n都满足a2n+1=anan+2,且a2=2,a4=4,则a6的值是 (A)4 2 (B)16 (C)8 (D)不确定(6)已知平面与平面相交,直线m,则 (A)内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直 (B)内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直 (C)内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 (D)内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直(7)若zC,且z+是实数,则z (A)是实数 (B)
3、是模等于 2的复数 (C)可能是模不等于 2的虚数 (D)是实数或者是模等于 2的虚数(8)等于 (A)0.5 (B)2 (C)1 (D)0(9)椭圆C的方程为=1,直线l的方程为+y=1,点P的坐标为(2,-1),那么 (A)点P在C的内部,l与C相交 (B)点P在C的外部,l与C相交 (C)点P在C的内部,l与C相离 (D)点P在C的外部,l与C相离(10)(a+b)10的展开式中,系数最大的项是 (A)第4项 (B)第5项 (C)第6项 (D)第7项(11)圆锥的中截面将圆锥分成两部分的体积之比为 (A)1:2 (B)1:3 (C)1:7 (D)1:8(12)函数y= x-2(x2)的反
4、函数是 (A)y=x2+2 (xR) (B)y=x2+2 (x0) (C)y=x2+2 (x2) (D)y=x2-2 (x0)(13)若=arg(2+i),=arg(-3+i),则-等于 (A)-3/4 (B)-/4 (C)7/4 (D)3/4(14)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,百位数字最大,万位数字比千位数字小,个位数字比十位数字小,这样的五位数的个数为 (A) 12 (B) 6 (C) 8 (D) 4(15)函数f(x)=2sin(3x+)是偶函数的充要条件是 (A)=2k+/2 (kZ) (B)=k (kZ) (C)=k+/2 (kZ) (D)=2k/3+/2 (kZ)
5、二、填空题：本大题共4小题,共16分.把答案填在题中横线上(16)光线从(-1,2)点出发,射到直线x+y=0上,反射线的斜率为2,则反射光线所在直线方程为 .(17)满足tg= - 3,且在区间0,2上的x的值为 .(18)函数y=log(x2-4x+3)的单调减区间为 .(19)圆锥底面半径为1,高为2 2,它的侧面展开所得扇形的圆心角的大小为 .三、解答题：本大题共6小题,共69分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(20)(满分11分)求函数y=2sinxcos(3/2+x)+ 3cosxsin(+x)+sin(/2+x)cosx的周期和值域,并求出使y取得最大值时的x的集合(21)
6、(满分12分)已知函数f(x)=loga(x2-x+1)在区间0,2上的最大值为2,求a的值(22)(满分12分)如图长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2, D1 C1BB1=1,BD1与底面ABCD所成角的正切值为 5/5 A1 B1(I)求BC的长 D C(II)求证BD1B1C A B(23)(满分10分)某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图,某卡车空车时,能通过 3米此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高 4.5米,此车能否通过此隧道？说明理由 6米 2米(24)(满分12分)若等差数列an的公差为d,且a1=d,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN),bn
7、的前n项和用Sn表示,证明对于任意自然数n都有：Sn=bnan+3/4d.(25)(满分12分)已知抛物线y2=2x,直线l:y=x-4, y是否存在矩形ABCD,它的一条对角线AC在直线l上,顶点B,D在抛物线上,且AC与BD的夹角满足 o xtg=3？若存在,求出这个矩形的对角线BD;若不存在,说明理由海淀区数学(文科)参考答案一、ADABC ADCAC CBDBC二、(16) 2x-y+5=0； (17)(4,3)； (18)(3,+)； (19) 2/3三、(20)解：y=2sinxcos(3/2+x)+ 3cosxsin(+x)+sin(/2+x)cosx =2sinxsinx- 3
8、cosxsinx+cos2x 3分 =1-cos2x-( 3/2)sin2x+(1+cos2x)/2 6分 =3/2-( 3/2)sin2x-(1/2)cos2x =3/2-sin(2x+/6) 8分 周期T= 9分 值域1/2,5/2 10分 y取得最大值时,x的集合为xx=k-/3,kZ 11分(21)解：当a1时,在0,2上x2-x+1=(x-1/2)2+3/4取得最大值时,f(x)=loga(x2-x+1)也取得最大值依题意,若f(x)在0,2上有最大值为2,则f(2)=2即loga3=2解得a= 3 6分当0a1时,在0,2上,x2-x+1=(x-1/2)2+3/4取得最小值时f(x
9、)=loga(x2-x+1)取得最大值依题意,若f(x)在0,2上有最大值为2,则应f(1/2)=2即loga(3/4)=2 解得a= 3/2综上,a1= 3,a2= 3/2 12分(22)解：(I)连BDD1D面ABCD,D1BD是BD1与底面ABCD所成的角tgD1BD=D1D/BD= 5/5.即1/BD= 5/5 故BD= 5又在RtBCD中,C=90BC2=BD2-DC2 即BC= 5-22=1BC=1 6分(II)由BC=1知侧面BCC1B1为正方形 连BC1,则B1CBC1 又D1C1面BCC1B BC1是BD1在面BCC1B1上的射影 y 由三垂线定理知B1CBD1 12分 o(
10、23)解：如图建立坐标系, A点的坐标为(3,-3) 设抛物线方程为x2=-2py 则9=6p,p=3/2 A 抛物线方程为x2=-3y 5分 如果此车能过隧道,集装箱应处于对称位置 将x=1.5代入方程,得y=-0.75,此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25(米) 不及车与箱总高4.5米 即4.254.5(若要通过,车与箱总高应不超过4.25米) 此车不能通过此隧道. 10分注: 其他解法, 相应给分.(24)证：当n=1时 S1=b1 b1a4/4d=b1(a1+3d)/4d=b14d/4d=b1原式成立.2分假设n=K时,Sk=bkak+3/4d成立则Sk+1=Sk+bk+1
11、=bkak+1/4d+bk+1 =(akak+1ak+2ak+3+bk+14d)/4d 6分 =(akbk+1+bk+14d)/4d=bk+1(ak+4d)/4d =bk+1ak+4/4d 11分n=K+1时,等式也成立对任意nN,有Sn=bnan+3/4d 12分(25)解：AC方程y=x-4斜率为1设BD斜率为k,由AC与BD的夹角有tg=3得|(k-1)/(1+k)|=tg=3解出k=-2或k=-1/2 2分(i)当k=-2时,设BD方程为 y=-2x+b 由y=-2x+b y2=2x 消y,得4x2-2(2b+1)x+b2=0 设AC与BD交于M,则 xM=2(2b+1)/(24)=(
12、2b+1)/4 yM=-2(2b+1)/4+b=-1/2M(2b+1)/4,-1/2)且在y=x-4上,-1/2=(2b+1)/4-4, b=13/2 即M(7/2,-1/2),代入,整理,得16x2-112x+169=0|BD|= 1+k2|x2-x1|= 5(x1+x2)2-4x1x2 = 5(112/16)2-4169/16=3 15/2 7分(ii)当k=-1/2时,BD方程为y=-x/2+b代入y2=2x整理,得x2-4(b+2)x+4b2=0类似地可求出：xM=2b+4 yM=-2 代入y=x-4 可求出b=-1进而代入 x2-4(b+2)x+4b2=0,得 x2-4x+4=0x1=x2=2,即BD与抛物线只有一个公共点k=-1/2时,不存在满足题设的矩形ABCD 12分注：也可由b=-1,求出M(2,-2)恰在y2=2x上,而M为中点,故不存在满足题设的矩形ABCD