1、正态分布基础全面练(20分钟35分)1在某项测试中，测量结果服从正态分布N(0)，若P0.4，则P()A0.8 B0.6 C0.4 D0.2【解析】选C.因为服从正态分布N(0)，所以PP0.42(2021洛阳高二检测)(两个正态曲线的比较)已知两个正态分布密度函数ie的图象如图所示，则()A.12，12，12C12 D12，12【解析】选A.正态曲线是关于x对称，且在x处取得峰值，由图易得12，故1的图象更“瘦高”，2的图象更“矮胖”，则12.3若随机变量XN(1，22)，则D等于()A4 B2 C D1【解析】选D.因为XN(1，22)，所以D(X)4，所以DD(X)1.4若随机变量XN(
2、，2)，则P(X)_【解析】由于随机变量XN(，2)，其正态密度曲线关于直线x对称，故P(X).答案：【补偿训练】 已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，则P(X2)_【解析】由题意知曲线关于x2对称，因此P(X2).答案： 5在正态分布N中，数据落在(2，2)内的概率为_【解析】由题可得0，P(2X2)P(3X0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0，4)内取值的概率(2)P(X4).【解析】(1)由XN(2，2)，对称轴x2，画出示意图，因为P(0X2)P(2X4)，所以P(0X4)2P(0X4)1P(0X120)0.2，则P(40120)P(40)0.2，所以P(
3、4080)0.5P(40)0.3.2已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，P(X4)0.84，则P(X0)()A0.16 B0.32 C0.68 D0.84【解析】选A.由XN(2，2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x2，则P(X0)P(X4)1P(X4)10.840.16.3随机变量N(2，10)，若落在区间(，k)和(k，)的概率相等，则k等于()A1 B10 C2 D【解析】选C.因为区间(，k)和(k，)关于xk对称，所以xk为正态曲线的对称轴，所以k2.4已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩XN(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()A(90，
4、110 B(95，125C(100，120 D(105，115【解析】选C.由于XN(110，52)，所以110，5，因此考试成绩在区间(105，115，(100，120，(95，125上的概率分别应是0.682 7，0.954 5，0.997 3，由于一共有60人参加考试，所以成绩位于上述三个区间的人数分别是：600.682 741人，600.954 557人，600.997 360人5在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A.2 387 B2 718 C3 414 D4 777(附：若XN(，2)，则P
5、(X)0.682 7，P(2X2)0.954 5)【解析】选C.由P(1X1)0.682 7，得P(02)0.023，则P(22)_【解析】因为随机变量服从正态分布N(0，2)，所以正态曲线关于直线x0对称，又P(2)0.023，所以P(3)P(1)成立，则_.【解析】因为N(，2)，故正态密度函数关于直线x对称，又P(3)，从而2，即的值为2.答案：28在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布N，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在之外的人数，则P_，X的数学期望E(X)_附：若随机变量ZN(，2)，则P(2Z2)0.954 4，P(3Z3)0.997 4，取0
6、.954 4100.627 1，0.997 4100.974 3.【解析】由题意，数学成绩X服从正态分布N(100，100)，则100，10，因为802，1202，则PP(22)0.954 4，从而数学成绩在之外的概率为10.954 40.045 6，故XB，因此P1P10.954 41010.627 10.372 9，所以，X的数学期望为E(X)100.045 60.456.答案：0.372 90.456三、解答题(每小题10分，共20分)9随机变量服从正态分布N(0，1)，如果P(1)0.841 3，求P(10).【解析】如图所示，因为P(1)0.841 3，所以P(1)10.841 30
7、.158 7，所以P(1)0.158 7，所以P(10)0.50.158 70.341 3.10某学校的功能室统一使用某品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命(单位：月)服从正态分布N(，2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2.(1)求这种灯管的平均使用寿命(2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率【解析】(1)因为N(，2)，P(12)0.8，P(24)0.2，所以P(12)0.2，显然P(12)P(24)，由正态分布密度函数的对称性可知18，即这种灯管的
8、平均使用寿命是18个月(2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2，假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为支，则B(4，0.2)，故至少两支灯管需要更换的概率P1P(0)P(1)1C0.84C0.830.2.【补偿训练】 生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)N(0，22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率(精确到0.001)【解析】由题意XN(0，22)，求得P(|X|4)P(4X4)0.954 5.设Y表示5件产品中合格品个数，则YB(5，0.954 5)，所以P(Y50.8)P(Y4)C(0.9
9、54 5)40.045 5C(0.954 5)50.188 80.792 30.981.故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0.981. 创新迁移练1陕西洛川苹果享誉国内外，据统计：陕西洛川苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N，则直径在(80，85内的概率为()附：若XN，则P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4A0.021 5 B0.043 0C0.818 5 D0.682 6【解析】选A.由题可知：直径在(80，85内的概率为P，则P，所以P0.021 5.2已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在80，)上是减函数，且f(80).(1)求概率密度函数(2)估计尺寸在72 88 mm间的零件大约占总数的百分之几？【解析】(1)由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，且在x80处取得最大值，因此得80，因为，所以8.故概率密度函数解析式是，(x)e .(2)由80，8，得80872，80888，所以零件尺寸X位于区间(72，88)内的概率是0.682 7，因此尺寸在7288 mm间的零件大约占总数的68.27%.