1、三台中学高2021级高三上期数学（理科）一诊模拟试题（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得，即可求交集.【详解】由解得，所以，所以，故选:C.2. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据反例可判断AC，根据不等式的性质，结合函数的单调性即可判断BD.【详解】对于A，若，显然满足，但不能得到，故A错误，对于B，由于，所以，又为单调递增函数，所以，故B错误，对于C，若，显然满足，故C错误，对于D，
2、若，则，函数在上单调递增，所以，当，则，函数在上单调递增，所以，当，则，综上可知D正确 ，故选：D3. 已知等差数列，其前n项和满足，则（ ）A. 4B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】由等差数列的前项和公式，与等差中项易得，由等差中项易得.【详解】是等差数列，其前n项为，.故选：A.4. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】.故选：B5. 纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献
3、是对数的发明，著有奇妙的对数定律说明书，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（），空气的温度是（），经过t分钟后物体的温度T（）可由公式得出；现有一杯温度为70的温水，放在空气温度为零下10的冷藏室中，则当水温下降到10时，经过的时间约为（ ）参考数据：，.A. 3.048分钟B. 4.048分钟C. 5.048分钟D. 6.048分钟【答案】C【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，代入公式得：（分钟），故选：C.6. 已知命题p：函数在
4、上单调递减；命题，都有若为真命题，为假，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求出 为真命题时的范围，进而根据 中一真一假分两类情况讨论即可求解.【详解】若命题p为真，则 ，若为真，则 ，由于为真命题，为假，则 中一真一假若 真 假，则满足： ；若 真 假，则满足： ，此时 无解，综上 故选：A7. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】从图像利用排除法进行求解：先分析奇偶性，排除B；计算排除C；根据时，；排除D.即可得到答案.【详解】对于，定义域为关于原点对称.因为，所以是偶函数，排除B.当时，排除C；当时，；排
5、除D.故选：A.8. 已知函数在处取得极小值10，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】题意说明，由此可求得的比值然后代入检验1是极小值点【详解】，由题意，解得或，若，不是极值点，舍去时，时，或时，是极大值点，是极小值点，满足题意故选：C【点睛】本题考查用导数研究函数的极值掌握导数与单调性的关键是解题关键有已知极值求出参数时需要进行检验，检验该参数值时题中极值点是否满足9. 计算（ ）A. 1B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值【详解】故选：B10. 若曲线的一条切线为，其中，
6、为正实数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出，再利用基本不等式求解.【详解】设切点为，则有，（当且仅当时取等）故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 若函数满足，且时，已知函数，则函数在区间内零点个数为（ ）A. 14B. 13C. 12D. 11【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数的部分图象，借助图形求出在内两个图象交点个数作答.【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数，函数在上递增，且，在上递减，且，在上递增，且，在同
7、一坐标系内作出函数的部分图象，如图，由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在内的交点个数，观察图象知，函数的图象在内有12个交点，所以函数在内有12个零点，C正确.故选：C12. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题目条件可构造函数，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成，即在上恒成立，求出函数在上的最大值即可得的取值范围.【详解】设，所以函数在上为增函数由的定义域为可知，得，将不等式整理得，即，可得在上恒成立，即在上恒成立；令，其中，所以，令，得当时，所以在上单调递增；当时，所以
8、在上单调递减；所以，即故选：B二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 若实数满足，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最大，此时最小值，故答案为：.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对
9、应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14 已知向量，且，则_【答案】#【解析】【分析】由向量垂直的坐标运算，得到，再利用模的坐标公式求【详解】已知向量，解得，故答案为：15. 设函数，则使得 的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论【详解】因为，则，所以，即为偶函数，当时，单调递增，根据偶函数的对称性可知在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，由可得，两边同时平方可得，解得，所以的取值范围是故答案为：16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_【答
10、案】2【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以.因，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求
11、作答（一）必考题：共60分17 设函数（1）求函数的单调递增区间及对称中心；（2）当时，求的值【答案】（1）单调递增区间是；， （2）【解析】【分析】（1）由二倍角公式，诱导公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性与对称中心求解；（2）由两角差的余弦公式计算【小问1详解】由题意得：，由，可得；所以的单调递增区间是；令，解得：，此时函数值为，所以对称中心为，【小问2详解】 ，18. 在各项均为正数的等比数列中，成等差数列等差数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和为【答案】（1），； （2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可;（2）用裂
12、项相消法进行求解即可【小问1详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，等差数列的公差为d，因为，成等差数列，所以 即，因为，所以，解得或（舍去），所以，由可得，解得，所以；【小问2详解】因为，所以，所以 19. 在中，角的对边分别为，其中，且.（1）求角的大小；（2）求周长的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，再由正弦定理得到，即可得到，即可得解；（2）利用余弦定理及基本不等式得到，再根据求出的取值范围，即可得解；【小问1详解】解：因为，即，所以，即，所以，又，所以，所以，因为，所以；【小问2详解】解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等
13、号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为20. 已知函数，其中a是正数（1）讨论的单调性；（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）求导后，利用导数分类讨论确定单调性；（2）由（1）的结论分类讨论确定最大值点，从而得参数范围【小问1详解】因为，所以当时，在上严格递增；当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；当时，由得或，由得，所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增；【小问2详解】由（1）可知当时，在上严格递增，此时在上的最大值为；当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值只有可
14、能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时；当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增；在上的最大值可能是或，因为在上的最大值为，所以，解得，此时，由得，满足条件的a的取值范围是21. 已知函数（为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）有两个零点，通过参变分立，转换成两个函数图像的交点问题.（2）先利用参数放缩转变成恒成立，再通过参变分离转化成最小值问题.【小问1详解】有两个零点，关于的方程有两个相异实根，有两个零点即有两个相异实根.令，则，得，得在单调递增，在单调递减，又当时，当时，当
15、时，有两个零点时，实数的取值范围为；【小问2详解】，所以原命题等价于对一切恒成立，对一切恒成立，令，令，则上单增，又，使，即，当时，即在递减当时，即在递增，由知，函数在单调递增，即实数的取值范围为.【点睛】(1)零点问题常用方法为直接讨论法和参变分离两种方法.(2)恒成立问题一般有三种方法：直接讨论法，参变分离法，端点效应.（二）选考题：共10分考生在第22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直
16、线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线（）与直线和曲线分别交于，两点，求的值.【答案】（1）（），；（2）.【解析】【分析】（1）将直线的参数方程消参，即可得直线的普通方程，要注意；将曲线的极坐标方程两边同乘，再将，代入，即可得曲线的直角坐标方程；（2）先将直线的直角坐标方程化为极坐标方程，再将（）代入直线和曲线的极坐标方程中，可得点，对应的极径，利用计算，即可求解.【详解】（1）由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为（）.由得，将，代入上式，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）可知直线的普通方程为（），化为极坐标方程得（），当（）时，设，两点的极坐标分别为，则，所以.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为m，正实数a，b满足，试求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）化简函数，分段求解不等式，即可求出答案.（2）利用绝对值三角不等式求出最小值，再利用基本不等式，即可求出最小值.【详解】（1）依题意得，因为，所以，或，或，解得，或，或.所以，即不等式的解集为.（2），当且仅当，即时取等号.则，因为，所以，当且仅当，且，即，时取等号，所以的最小值为.
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