1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 主干知识梳理 一、平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数 1，2，使a其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组不共线有且只有1e1 2e2 基底第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解3平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量
2、a，有且只有一对实数x，y，使ax iyj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标互相垂直(x，y)(x，y)xy第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立(O是坐标原点)终点A(x，y)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 二、平面向量坐标运算 1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，ab，a2向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A
3、B，|AB|（x2x1）2（y2y1）2(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 三、平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.若 ab x1y2x2y10第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 基础自测自评1(2013大纲全国)ABC 中，AB 边的高为 CD，若CBa，CAb，ab0，|a|1，|b|2，则AD()A.13a13b B.23a23bC.35a35bD.45a45b第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 D ab0，ab.又|a|1，|b|2，|AB|5，|C
4、D|125 2 55.|AD|22（2 55）24 55.AD 4 555 AB45AB45(ab)45a45b.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2已知向量a(2，1)，b(x，2)，若ab，则ab等于()A(2，1)B(2，1)C(3，1)D(3，1)A 由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(教材习题改编)已知两点 A(4，1)，B(7，3)，则与AB同向的单位向量是()A.35，45B.35，45C.45，35D.45，35第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 A A(4，1)，B(7，3)，AB(3，4)，与AB同
5、向的单位向量为 AB|AB|35，45.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4在平行四边形 ABCD 中，若AB(1，3)，AC(2，5)，则AD _，BD _解析 AD BCACAB(2，5)(1，3)(1，2)，BD ADAB(1，2)(1，3)(0，1)答案(1，2)(0，1)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分别是 CD，AB 的中点，设ABa，AD b.若MN manb，则nm_解析 MN MD DA AN14ab12a14ab，m14，n1.nm4.答案 4第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 关键要点点拨1基底
6、的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入(2014厦门质检)如图，ABC 中，AD2DB，AE12EC，BE 与 CD 相交于点P，若APxAByAC(x，yR)，则 xy_平面向量基本定理及其应用 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 由题可知APADDP ADDC
7、AD(BCBD)23AB(ACAB13BA)2323 ABAC，又APAEEPAEEBAE(CBCE)13ACABAC23CAAB1313 AC，第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 所以可得23（1），13（1），解得 17，故AP47AB17AC，所以 xy57.答案 57第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 互动探究本例条件若变为“AD2DB，CD 13CACB”，求.解析 由图知CD CAAD，CD CBBD，第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 且AD 2BD0.2 得 3CD CA2CB，CD 13CA23CB，23.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方法用
8、向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练1(2013广东中山一模)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 CD和 BC 的中点，若ACAEAF，其中，R，则 _第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 如图，设ABa，AD b，则ACABAD ab，AFABBFa12b，AEAD DE 12ab，第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 AEAF32(ab)32AC，即AC23AE23AF.23，43.答案
9、 43第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 典题导入(1)已知向量 a(3，1)，b(0，2)若实数 k 与向量 c满足 a2bkc，则 c 可以是()A(3，1)B(1，3)C(3，1)D(1,3)平面向量的坐标运算第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 a(3，1)，b(0，2)，a2b(3，3)3(1，3)答案 D第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设ABa，BCb，CAc.求 3ab3c；求满足 ambnc 的实数 m，n.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c
10、(1，8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)mbnc(6mn，3m8n)，6mn5，3m8n5，解得m1，n1.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 互动探究本例中第(2)题增加条件CM 3c，ON 2b，求 M，N 的坐标及向量MN 的坐标第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 CM OM OC 3c，OM 3cOC(3，24)(3，4)(0，20)M(0，20)又CN ON OC 2b，ON 2bOC(12，6)(3，4)(9，2)，N(9，2)MN(9，18)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 规律方法1向量的坐标运算实现了
11、向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用注意 向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练2已知向量 a(6，4)，b(0，2)，OC ab，O 为坐标原点，若点 C 在函数 ysin12x 的图象上，则实数 的值为_第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 解析 由题意得OC(6，4)(0，2)(6，42)，故点 C 的坐标为(6，42)，根据条件得 42sin612 1，解得 32.答案 32第四章 平面向量、
12、数系的扩充与复数的引入 典题导入 已知向量 a(1，2)，b(1，0)，c(3，4)若 为实数，(ab)c，则()A.14 B.12C1 D2平面向量共线的坐标表示第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 听课记录 可得 ab(1，2)，由(ab)c 得(1)4320，所以 12.答案 B第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 互动探究在本例条件下，问是否存在非零常数，使ab和ac平行？若平行，是同向还是反向？解析 ab(1，2)，ac(13，24)，若(ab)(ac)，(1)(24)2(13)0.1.ab(2，2)与ac(2，2)反向即存在1使ab与ac平行且反向第四章 平面向量、数系的扩
13、充与复数的引入 规律方法ab 的充要条件有两种表达方式(1)ab(b0)ab(R)；(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0，而第(2)种无b0限制第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 跟踪训练3(1)已知 a，b 是不共线的向量，ABab，ACab，R，那么 A，B，C 三点共线的充要条件为()A 2 B 1C 1 D 1第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 D A，B，C 三点共线，存在实数 t，满足ABtAC，即 abtatb
14、，又 a，b 是不共线的向量，t，1t，即 1.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入(2)(2014湖南长沙一模)已知向量 a(2，3)，b(1，2)，若(manb)(a2b)，则mn等于_解析 manb(2m，3m)(n，2n)(2mn，3m2n)，a2b(2，3)(2，4)(4，1)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 由(manb)(a2b)(2mn)4(3m2n)，整理得 14m7n，则mn12.答案 12第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【创新探究】平面向量基本定理的创新应用(2014石家庄模拟)在ABC 中，AC6，BC7，cos A15，O 是ABC 的内心，若OP
15、 xOAyOB，其中 0 x1，0y1，动点 P 的轨迹所覆盖的面积为()A.1036 B.53 6C.103D.203第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【思路导析】利用平面向量基本定理，由OP xOA yOB 分析得出动点 P 的轨迹并确定覆盖的区域，然后求出面积【解析】OP xOA yOB，其中 0 x1，0y1，动点 P的轨迹所覆盖的区域是以 OA，OB 为邻边的平行四边形，则动点P 的轨迹所覆盖的面积 SABr，r 为ABC 的内切圆的半径 在ABC 中，由余弦定理可知 cos A62AB27226AB 15，5AB212AB650，AB5.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引
16、入 SABC1265sin A6 6，又 O 为ABC 的内心，故 O 到ABC 各边的距离均为 r，此时ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和，SABC12(657)r，即12(657)r6 6，r2 63，所求的面积 SABr523 61036.【答案】A第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入【高手支招】利用平面向量基本定理确定动点轨迹图形或建立系数间的等量关系，是平面向量基本定理创新命题的一大亮点，常与面积轨迹图形的判断、最值的求法相交汇第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 体验高考1(2012广东高考)若向量AB(1，2)，BC(3，4)，则AC()A(4，6)B(4，6
17、)C(2，2)D(2，2)A ACABBC(1，2)(3，4)(4，6)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 2(2013陕西高考)已知向量 a(1，m)，b(m，2)，若 ab，则实数 m 等于()A 2B.2C 2或 2D0C 由 ab 知 12m20，即 m 2或 2.第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 3(2013重庆高考)在 OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA(3，1)，OB(2，k)，则实数 k_解析 OA(3，1)，OB(2，k)，ABOB OA(2，k)(3，1)(1，k1)又OA，AB为矩形相邻两边所对应的向量 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 OA AB，即OA AB311(k1)4k0，即 k4.答案 4第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4(2013山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知OA(1，t)，OB(2，2)若ABO90，则实数 t 的值为_解析 OA(1，t)，OB(2，2)，BAOAOB(3，t2)又ABO90，BAOB 0，即(3，t2)(2，2)0，62t40，t5.答案 5第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业
