1、2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数 学（文史类）【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第卷（选择题，共50分） 【题文】一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.【题文】1. 已知全集,集合，则 (A) (B) (C) (D) 【知识点】补集
2、及其运算 A1【答案】【解析】A 解析：根据补集的定义，UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有0，4符合元素的条件UA=0，4，故选A【思路点拨】根据补集的定义直接求解：UA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合【题文】2.抛物线的焦点坐标是 (A) (0,1) (B) (0，-1) (C) (-1,0) (D) (1,0)【知识点】抛物线的简单性质H7【答案】【解析】D 解析：抛物线方程，焦点在x轴，p=2，焦点坐标为（1，0），故选D【思路点拨】先根据抛物线的标准方程，可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标【题文】3. 函数的图象 (A) 关于轴对
3、称 (B) 关于轴对称 (C) 关于原点对称 (D) 关于直线对称【知识点】余弦函数的对称性.C3【答案】【解析】B 解析：为偶函数，其图象关于y轴对称，故选B【思路点拨】利用诱导公式与余弦函数的对称性即可得到答案【题文】4.给出下列三个命题：命题：,使得， 则：，使得 是“”的充要条件.若为真命题，则为真命题. 其中正确命题的个数为(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【知识点】命题的真假判断与应用A2【答案】【解析】C 解析：若命题：,使得，则：，使得，故正确；“”，故是“”的充要条件正确若为真命题，则p，q中至少存在一个真命题，若此时两个命题一真一假，则为假命题，故错误；故正确的
4、命题个数为：2个，故选：C【思路点拨】写出原命题的否定形式，可判断；根据充要条件的定义，可判断；根据充要条件的定义，可判断.【题文】5执行如图所示的程序框图，输出的S值是(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16【知识点】循环结构L1【答案】【解析】C 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加的值，并输出【题文】6.已知则的取值范围是(A) (B) (C) (D) 【知识点】对数函数的性质.B7【答案】【解析】D 解析：由可转化为，当
5、时，解不等式得；当时，解不等式得，综上所述：的取值范围是，故选D.【思路点拨】利用对数函数的性质，对a进行分类讨论即可。【题文】7.已知单位向量和的夹角为,记 , , 则向量与的夹角为(A) (B) (C) (D) 【知识点】平面向量数量积的运算F3【答案】【解析】C 解析：由于单位向量和的夹角为，则，则，即有则由于0，180，则向量与的夹角为120故选C【思路点拨】运用向量的数量积的定义，求得单位向量和的数量积，再求向量与的数量积和模，运用向量的夹角公式计算即可得到夹角【题文】8.一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是(A) (B) (C) (D) 【知识点】由三视图求面积、
6、体积G2【答案】【解析】A 解析：由正视图知：几何体是以底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的正三棱柱，所以底面积为222=4，侧面积为3（2+2+2）=，所以其表面积为故选：A【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱，分别求出棱柱的底面面积、周长及高，代入棱柱表面积公式，可得答案【题文】9.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两条切线互相垂直，则离心率为 (A) (B) (C) (D) 【知识点】椭圆的简单性质H5【答案】【解析】A 解析：椭圆的方程为：，以为圆心，为半径作圆，过点作圆的两条切线互相垂直，根据圆和椭圆的对称性求得
7、OAB=45，所以：，解得：，即椭圆的离心率，故选：A【思路点拨】首先根据已知条件和圆与椭圆的对称性求出OAB=45，进一步求出进一步求出椭圆的离心率的值【题文】10.设函数，若存在唯一的，满足，则正实数的最小值是(A) (B) (C) (D)【知识点】函数解析式的求解及常用方法B1【答案】【解析】B 解析：由f（f（x）=8a2+2a可化为2x=8a2+2a或log2x=8a2+2a；则由02x1；log2xR知，8a2+2a0或8a2+2a1；又a0；故解8a2+2a1得，a；故正实数a的最小值是；故选B【思路点拨】分析题意可知8a2+2a0或8a2+2a1；从而解得【题文】第卷（非选择题
8、，共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.已知是虚数单位，则.【知识点】复数的基本运算.L4【答案】【解析】 解析：,故答案为。【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以即可。【题文】12.函数的图像在点处的切线方程为. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程B11【答案】【解析】3x-y-2=0 解析：；故f（1）=2+1=3；故函数的图象在点A（1，1）处的切线方程为：y1=3（x1）；即3xy2=0；故答案为：3xy2=0【思路点拨】由题意求导，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程【题文】13.在中，内角所对的边分别为，且满足，则角B的大小为.【知
9、识点】正弦定理C8【答案】【解析】 解析：在ABC中，利用正弦定理化简得：sinBsinA=sinAcosB，sinA0，sinB=cosB，即tanB=1，则B=，故答案为：【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出tanB的值，即可确定出B的度数【题文】14.如图是一容量为的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为. 【知识点】频率分布直方图.I2【答案】【解析】12 解析：根据频率分布直方图，得；0.065=0.30.5，0.3+0.150.5；令0.3+0.1x=0.5，解得x=2；中位数是10+2=12故答案为：12【思路点拨】根据频率分布直方图，计
10、算数据的中位数即可【题文】15. 对于函数，有下列4个结论：任取，都有恒成立；，对于一切恒成立；函数有3个零点；对任意，不等式恒成立 则其中所有正确结论的序号是.【知识点】分段函数的应用B10【答案】【解析】 解析：的图象如图所示：的最大值为1，最小值为1，任取，都有恒成立，正确；f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）8f（+8），故不正确；如图所示，函数有3个零点；对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，结合图象，可得正确故答案为：【思路点拨】作出的图象，利用图象可得结论【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤不能答试卷上，请答在答题卡
11、相应的方框内.【题文】16（本题满分12分）已知函数，且周期为.（I）求的值；（II）当时，求的最大值及取得最大值时的值.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象C3 C4 C7【答案】【解析】（I）;（II），取得最大值为解析：（I）.（2分） =.（4分）且， 故.（6分）由(1)知 .（7分）.（9分）当时，即，取得最大值为.（12分）【思路点拨】（I）化简解析式可得，由且，即可求的值;（II）由已知先求得，可求得，从而可求最大值及取得最大值时的值【题文】17.（本题满分12分） 某校从高中部年满16周岁的学生中随机抽取来自高二和高三学生各10名，测量
12、他们的身高，数据如下（单位：cm）高二：166,158,170,169,180,171,176,175,162,163高三：157,183,166,179,173,169,163,171,175,178（I）若将样本频率视为总体的概率，从样本中来自高二且身高不低于170的学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率；（II）根据抽测结果补充完整下列茎叶图，并根据茎叶图对来自高二和高三学生的身高作比较，写出两个统计结论.【知识点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率I2【答案】【解析】（）;（） 见解析解析：（）高二学生身高不低于170的有170，180，175，17
13、1，176有5人，从中抽取3个共有10种抽法；“恰有两名同学的身高低于175”的情况有3种（3分） 故P（“恰有两名同学的身高低于175”）= （6分）（）茎叶图：（9分）统计结论：（考生只要答对其中两个即给3分，给出其他合理答案可酌情给分）高三学生的平均身高大于高二学生的平均身高；高二学生的身高比高三学生的身高更整齐；高二学生的身高的中位数为169.5cm，高三学生的身高的中位数为172cm；高二学生的身高基本上是对称的，且大体上集中在均值附近，高三学生的身高的高度较为分散； （12分）【思路点拨】（）求出高二学生身高不低于170的人数，用列举法求出基本事件数以及对应的概率；（）根据数据，补
14、全茎叶图，得出统计结论【题文】18.（本题满分12分）如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O, G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC.求证: /平面；（II）若AB=2，BC=1，,试求该几何体的V.【知识点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。G4 G7【答案】【解析】（）见解析;（）1 解析：(1)证明：连结GO,OH GO/AD,OH/AC.（2分）GO/平面ACD,OH/平面ACD,又GO交HO于O.（4分）平面GOH/平面ACD.（5分）GH/平面ACD.（6分）(2)法一：.（8分）AB=2,BC=1.（11分）
15、.（12分）法二：DC平面ABC DCAC 又ACBC AC平面BCDE.（8分） AB=2,BC=1. .（10分） .（12分）【思路点拨】（1）取AD的中点F，易证四边形CHGF为平行四边形，由线面平行的判断可得；（2）把几何体化为两个三棱锥来求即可的答案【题文】19.（本题满分12分）已知数列是等差数列，首项，公差为，且成等比数列.（I）求数列的通项公式； （II）令，求数列的前项和. 【知识点】数列的求和；等比数列的性质D2 D4【答案】【解析】（）;（） 解析：（），设公差为，则由成等比数列， 得， . （2分 ） 解得（舍去）或， . （4分） 所以数列的通项公式为 . （6分）
16、（） ， -得 -（9分） . （12分 ）【思路点拨】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出【题文】20（本题满分13分）已知函数在处取得极值.（I）求实数的值；（）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值B11 B12【答案】【解析】（）;（） 解析：（）由题设可知（1分）当时，取得极值0解得 （4分）经检验符合题意 （5分）（）由（1）知，则方程即为令则方程在区间恰有两个不同实数根. （8分）当时，于是在上单调递
17、减；当时，于是在上单调递增；（10分）依题意有【思路点拨】（）求导，从而由题意得，从而解得；（）由（1）知，故方程可化为，令，从而求导；从而根据单调性求解【题文】21.（本题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆，焦距为，长轴长为. （I）求椭圆的标准方程；（）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于两点.证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值； （ii）求.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质H5 H8【答案】【解析】（）;（） （）见解析；（） 解析：（） . （2分 ） 所以椭圆的标准方程为 . （4分）（）（）设, 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA： 将代入，解得 所以点O到直线AB的距离为； . （6分 ） 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，代入椭圆 联立消去得： ， .（ 7分） 因为，所以， 即 所以，整理得， 所以点O到直线AB的距离 综上可知点O到直线AB的距离为定值 .（10分） （）在Rt中，因为又因为，所以所以，当时取等号，即的最小值是（14分）【思路点拨】（）首先根据条件求出椭圆的方程，（）（1）用分类讨论的方法先设直线的特殊形式，再设一般式，建立直线和椭圆的方程组，再利用韦达定理的应用求出关系量，（2）用三角形的面积相等，则利用点到直线的距离求出定值，最后利用不等式求出最小值