1、第三章 导数应用 A组基础巩固1函数yx33x2的极大值为m，极小值为n，则mn为()A0B1C2 D4解析：令y3x230x1或x1，经分析知f(1)为函数yx33x2的极大值，f(1)为函数yx33x2的极小值，故mnf(1)f(1)4.答案：D2.已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()AabcB8a4bcC3a2bDc解析：由f(x)的图像可知x(，0)(2，)时，f(x)0.f(x)在(，0)和(2，)上为减函数，在(0,2)上为增函数x0时，f(x)取到极小值为f(0)c.答案：D3函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极值，则()A
2、0b1 Bb0Cb0 Db解析：f(x)3x23b.因f(x)在(0,1)内有极值，所以f(x)0有解，x，01，0b1.答案：A4设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图像的一部分如图所示，则正确的是()Af(x)的极大值为f()，极小值为f()Bf(x)的极大值为f()，极小值为f()Cf(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)Df(x)的极大值为f(3)，极小值为f(3)解析：由题图可知，当x(，3)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(3,0)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(0,3)时，xf(x)0，即f(x)0；当x(3，)时，xf(x)0，即f(x)0.故
3、函数f(x)在x3处取得极小值，在x3处取得极大值答案：D5若函数f(x)在x1处取得极值，则a_.解析：f(x)，由题意得f(1)0，解得a3.经检验，a3符合题意答案：36关于函数f(x)x33x2有下列命题，其中正确命题的序号是_f(x)是增函数；f(x)是减函数，无极值；f(x)的增区间是(，0)和(2，)，减区间为(0,2)；f(0)0是极大值，f(2)4是极小值解析：f(x)3x26x，令f(x)0，则x0或x2.利用极值的求法可求得x0是极大值点，x2是极小值点答案：7已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1时有极值0，则m_，n_.解析：f(x)3x26mxn，由题意，f(1
4、)36mn0，f(1)13mnm20，解得或但m1，n3时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立，此时x1不是f(x)的极值点，应舍去经检验m2，n9符合题意答案：298设函数f(x)x3bx2cx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求b、c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值解析：(1)f(x)3x22bxc，从而g(x)f(x)f(x)x3(b3)x2(c2b)xc.又g(x)是R上的奇函数，g(x)g(x)，即(x)3(b3)x2(c2b)xcx3(b3)x2(c2b)xc，化简得(b3)x2c0，b3，c0.(2)由(1)知g(x)x36x，g(x)3x263(x
5、)(x)由此可知x(，)(，)(，)g(x)00g(x)44由表可知g(x)的单调递增区间为(，)和(，)，单调递减区间为(，)，且g(x)在x处取得极大值4，在x处取得极小值4.9设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解析：(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1.由题意可知f(1)f(2)0，解得a，b.f(x)ln xx2x.(2)f(x)x1x1，且原函数定义域为(0，)，当x(0,1)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)3 Ba Da0得a0的解集为x|1
6、x0，所以y0有两个相异实根，故函数yxf(x)有两个极值点答案：B3已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_当x时函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值解析：从图像上可以看到：当x(，1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值，只有不正确答案：4已知函数f(x)x3ax2axb，当x1时，函数f(x)的极值为，则f(2)_.解析：f(x)x22axa.
7、由题意知f(1)0，f(1)，即，解得.所以f(x)x3x2x.所以f(2).答案：5设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)令f(x)3x230，得x11，x21.又因为当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)a2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2；当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f
8、(x)0恰好有两个实数根，所以a20，a2.综上，当a2或a2时方程恰有两个实数根6已知f(x)x3bx2cx2.(1)若f(x)在x1时有极值1，求b、c的值；(2)若函数yf(x)的图像与函数yk的图像恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围解析：(1)f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由已知得f(1)0，f(1)1，解得b1，c5.(2)由(1)知f(x)x3x25x2，f(x)3x22x5.由f(x)0得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值根据上表，x1是函数的极大值点且极大值为f()，x21是函数的极小值点且极小值为f(1)1.如图，可知k的取值范围为(1，)