1、第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）第七节离散型随机变量及其分布列(理)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）主干知识梳理 一、离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X、Y、.表示所有取值可以的随机变量称为离散型随机变量一一列出第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）二、离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi.则表Xx1x2xixnPp1p2pipn第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）称为离散型随机变量X
2、的概率分布列，简称为X的分布列有时为了表达简单，也用等式表示X的分布列P(Xxi)pi，i1,2，n第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）三、离散型随机变量分布列的性质 10，i1,2，n；2.i1npi.pi1第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）四、常见离散型随机变量的分布列1两点分布X01P这样的分布列叫做两点分布列.像1pp第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从分布，而称p为成功概率两点P(X1)第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2超几何分布列一般地，在含有 M 件次品的
3、N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)CkMCnkNMCnN，k0,1,2，m，X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN即第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*.称上面的分布列为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X12345P112161316p基础自测自评1(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则 p
4、为()A.16 B.13C.14D.112C 由 112161316p1，得 p14.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2(教材习题改编)已知随机变量 X 的分布列为：P(Xk)12k，k1,2，则 P(2X4)等于()A.316B.14C.116D.516A P(2X4)P(X3)P(X4)123 124 316.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）3袋中装有 10 个红球、5 个黑球每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是()AX4 BX5CX6 DX5C 由
5、条件知“放回 5 个红球”事件对应的 X 为 6.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）4设随机变量 X 等可能取值 1,2,3，n，如果 P(X4)0.3，那么 n_.解析 1n30.3，则 n10.答案 10第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）5(教材习题改编)从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，随机变量X的概率分布为：X012Pabc第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则 a_，b_，c_.解析 P(X0)1C25 110；P(X1)C13C12C25 35；P(X2)C23C25 310.答案 110 35
6、 310第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）关键要点点拨1在试验之前不能断言随机变量取什么值，即其具有随机性，但可确定其所有可能的取值2随机变量的分布列指出了随机变量X所有可能的取值以及取这些值的概率，注意根据分布列的两条性质来检验求得的分布列的正确性.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2014岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X101P1212qq2离散型随机变量分布列的性质 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则 q 等于()A1 B1 22C1 22 D1 22第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率
7、（文）听课记录 由分布列的性质知12q0，q20，1212qq21，所以 q1 22.答案 C第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法要充分注意到分布列的两条重要性质：(1)pi0，i1,2，n；(2)p1p2pn1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X 1 2 3 nP knknkn kn跟踪训练1(2014广州模拟)已知离散型随机变量X的分布列为：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）则 k 的值为()A.12 B1C2 D3B 由knknkn1，解得 k1.第十章 计数原理、概率、
8、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2013江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队分布列的求法第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求 X 的分布列和数学期望听课记录(1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C2828 种，X0 时，两向量夹角为直角共有 8 种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X0)8
9、2827.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为2，1,0,1，X2 时，有 2 种情形；X1 时，有 8 种情形；X1 时，有 10 种情形，所以 X 的分布列为：X2101P1145142727E(X)(2)114(1)514027127 314.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后通过概率知识求出X取各个值对应的概率值，注意利用分布列的性质验证第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练2(2014北京东城)某中学选派40名
10、同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：培训次数123参加人数51520第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；(2)从40人中任选2名学生，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析(1)依题意得，这 3 名同学中至少有 2 名同学参加培训次数恰好相等的概率为 P1C15C115C120C340419494.(2)由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2.P(X0)C25
11、C215C220C240 61156；P(X1)C15C115C115C120C240 75156；P(X2)C15C120C240 539.则随机变量 X 的分布列为：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X012P6115675156539第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）典题导入(2012浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)超几何分布 第十章 计数原理、概率、随机变
12、量及其分（理）概率（文）听课记录(1)由题意得 X 可取 3,4,5,6，且 P(X3)C35C39 542；P(X4)C14C25C39 1021；P(X5)C24C15C39 514；P(X6)C34C39 121，所以 X 的分布列为：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）X 3456P 5421021514121(2)由(1)知 E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6)133.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）互动探究在本例条件下，记取出的 3 个球中白球的个数为 Y，求 Y 的分布列解析 由条件知 Y0,1,2,3，则 P(Y0)C
13、35C39 542；P(Y1)C14C25C39 1021；P(Y2)C24C15C39 514；P(Y3)C34C05C39 121.所以 Y 的分布列为：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）Y0123P5421021514121第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）规律方法对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）跟踪训练3.(2014乌鲁木齐)某航空公司进行空乘人员的招聘，记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高，数据用
14、茎叶图表示如下(单位：cm)应聘者获知：男性身高在区间174,182，女性身高在区间164,172的才能进入招聘的下一环节第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)求 6 名男生的平均身高和 9 名女生身高的中位数；(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取 2 人，记 X 为抽取到的男生人数，求 X 的分布列及期望 E(X)解析(1)6 名男应征者的平均身高是1761731781861801936181 cm，9 名女应征者身高的中位数为 168 cm.(2)能进入下一环节的男生有 3 人，女生有 4 人故 X 的所有可能取值是 0,1,2.则 P(X0)C24C2727；第十
15、章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）P(X1)C14C13C27 47；P(X2)C23C2717.所以 X 的分布列为：X 0 1 2P 274717故 X 的期望 E(X)02714721767.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【创新探究】函数与方程思想在概率中的应用(2012广州模拟)某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制若设“社区服务”得分为X分，“居民素质”得分为Y分，统计结果如下表：第十章 计数原理、概率、随
16、机变量及其分（理）概率（文）居民素质1分2分 3分4分5分社区服务1分131012分107513分210934分ab6015分00113第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(1)若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分(即X3，且 Y3)的社区可以进入第二轮评比，现从 50 个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；(2)若在 50 个社区中随机选取一个社区，求这个社区的“居民素质”得分 Y 的均值(即数学期望)为16750，求 a，b 的值第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【思路导析】本例第(2)问可建立关于 a，b 的方程
17、组求解【解析】(1)从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于 3 分(即 X3，且 Y3)的社区数量为 24 个设“这个社区能进入第二轮评比”为事件 A，则 P(A)24501225，所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)由表可知“居民素质”得分 Y 的所有可能取值为 1、2、3、4、5，其对应的社区个数分别为(a4)、(b4)、15、15、9，所以 P(Y1)a450；P(Y2)b450；P(Y3)1550；P(Y4)1550；P(Y5)950.所以“居民素质”得分 Y 的分布列为：第十章 计数原理、概率、
18、随机变量及其分（理）概率（文）Y12345Pa450b450310310950第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）因为“居民素质”得分 Y 的均值(数学期望)为16750，所以 1a450 2b450 31550415505 95016750，即 a2b5.因为社区总数为 50 个，所以 ab4750，联立解得 a1，b2.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）【高手支招】1.根据分布列及期望值构建方程，从而求出a、b的值，体现了方程思想的运用2本题的易误点：一是Y的分布列不准确；二是由期望值建立方程错误第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）体
19、验高考(2013浙江高考)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E()53，D()59，求 abc.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）解析(1)由题意得 2,3,4,5,6.故 P(2)336614，P(3)23266 13，P(4)2312266 518，P(5)22166 19，P(6)1166 136.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）2 3456P 141351819136所以的分布列为第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）(2)由题意知 的分布列为123Paabcbabccabc所以 E()aabc2babc3cabc53，D()1532aabc2532babc3532cabc59.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）化简得2ab4c0，a4b11c0，解得 a3c，b2c，故 abc321.第十章 计数原理、概率、随机变量及其分（理）概率（文）课时作业