1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 概率 第二章 第二章 章末归纳总结知 识 梳 理 2知 识 结 构 1专 题 探 究 3随 堂 练 习 4知 识 结 构知 识 梳 理一、互斥事件、相互独立事件的概率1互斥事件、相互独立事件一般综合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上运用相应公式求解2特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成立(2)若A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B)，反之成立二、条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，作为教材新增内容之一，在学习知识上起到了完备性的作
2、用，在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择合适的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算三、离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中，对该知识点的融合性考查相对较灵活，考查相对频繁1对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能性事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等2对于离散型随机变量分布列的考查常与期望、方差融合在一起，对知识进行横向联系，纵向加深考查四、期望、方差在实际问题中的应用离散型随机变量的期望与
3、方差是概率统计知识的延伸，二者联系密切，在现实生活中特别是风险决策中有着重要意义，是当前高考的一个热点专 题 探 究相互独立事件的概率与条件概率国家射击队为备 2016 年奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为 50 m 远处命中的概率为23.(1)如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一枪至少有一次击中的概率；导学号98570413(2)如果队员甲射击飞行距离为50 m远处的飞碟，如果第一次未命中，则
4、进行第二次射击，第二次射击时飞碟飞行距离变为100 m；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150 m(此后飞碟不在射程之内)已知，命中的概率与飞碟飞行距离的平方成反比，求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率解析(1)记“队员甲在三次游戏中，第一枪至少有一次命中”为事件 AP(A)1P(A)2627.(2)记在一次游戏中“第 i 次击中飞碟”为事件Bi(i1,2,3)P(B1)23，P(B2)2312216，P(B3)23132 227.又 Bi 是相互独立事件，P(B)P(B1)P(B 1B2)P(B 1 B 2B3)P(B1)P(B 1)P(B2)P(B 1)P(B
5、 2)P(B3)2313161356 227361486.坛子里放着 5 个相同大小、相同形状的鸭蛋，其中有 3 个是绿皮的，2 个是白皮的如果不放回地依次拿出 2个鸭蛋，求：(1)第 1 次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第 1 次和第 2 次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率导学号98570414解析 设第 1 次拿出绿皮鸭蛋为事件 A，第 2 次拿出绿皮鸭蛋为事件 B，则第 1 次和第 2 次都拿出绿皮鸭蛋为事件 AB.(1)从 5 个鸭蛋中不放回地依次拿 2 个的事件数为 A2520.根据分步乘法计数原理，事件 A 发生的可能数为A13
6、A1412.于是 P(A)122035.(2)因为事件 AB 发生的可能数为 A236，所以P(AB)620 310.(3)解法 1：由(1)(2)可得，在第 1 次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第 2 次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)PABPA 3103512.解法 2：因为事件 AB 发生的可能数为 6，事件 A 发生的可能数为 12，所以 P(B|A)61212.离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是解决两个问题：一是随机变量的可能取值；二是随机变量取每一个值时的概率针对于不同的题目，应认真分析题意，明确随机变量，正确计算随机变量取每一个值时的概率求概率主要有两种类型：(1)古
7、典概型，利用排列组合知识求解；(2)独立重复试验，即 XB(n，p)，由 P(Xk)Cknpk(1p)nk 计算一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和，利用这一性质可以由概率的分布列求出随机变量在所给区间的概率一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优
8、质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立导学号98570415(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望解析(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 C，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D，这批产品通过检验为事件 E，依题意有 E(AB)(CD)，且 AB 与 CD 互斥，P(E)P(AB)P(CD)P(A)P(B|A)P(C)P(D|C)C
9、 34(12)312(12)4(12)412 364.(2)由题意知，需检验产品的件数分别为 4(n2)，5 件(n4)，8 件(n3)，故 X 的可能取值为 400、500、800，并且 P(X400)1C34(12)312(12)41116，P(X500)116，P(X800)C34(12)31214，X 的分布列为X400500800P111611614E(X)4001116500 11680014506.25.方法总结(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)(3)注意期望与
10、方差的性质(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达.期望和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在期望这一概念之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的期望的集合与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中应用广泛求离散型随机变量X的期望与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率或求出P(Xk)；(3)写出X的分布列；离散型随机变量的期望与方差(4)由分布列和期望的定义求出 E(X)；(5)由方差的定义求 D(X)若 XB(n，p)，则可直接利用公式求：E(X)np，D(X)np(1p)某家电商场准备在“五一”期间举行促销活动，根据市场
11、调查，该商场决定：从 4 种冰箱、3 种空调、2 种彩电共 9 种商品中选出 3 种进行促销活动(1)试求选出的 3 种商品中有空调的概率；(2)商场对选出的促销商品进行有奖销售，其方案是：在每件商品现价的基础上提高 180 元，顾客每购一件促销商品均有3 次抽奖机会，每次中奖均可获得奖金 a 元假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率相等，试问商场将奖金数额 a 最高定为多少元时，才能使促销方案对商场有利？导学号98570416解析(1)所求概率 P1C36C391621.(2)由题设知，顾客每次抽奖时，获奖概率都是12，设商场将奖金数额定为 x 元，某顾客在 3 次抽奖中所获得的奖金总额为 X 元
12、，则 X 的分布列为：所以 E(X)32x，由题意得：32x180，x120.即商场将奖金数额最高定为 120 元时，才能使促销方案对商场有利.X0 x2x3xP18383818(1)注意“3原则”的适用记住正态总体在三个区间内取值的概率(2)注意数形结合由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题正态分布的概率某 市 去 年 高 考 考 生 成 绩 服 从 正 态 分 布N(500,502)，现有 25000 名考生，试确定考生成绩在 550600分的人数解析 考生成绩 XN(500,502)，500，50，P(5
13、50 x600)12P(500250 x500250)P(50050 x50050)12(0.95440.682 6)0.135 9.故考生成绩在 550600 分的人数约为 25 0000.135 93 397 人导学号98570417随 堂 练 习答案 B一、选择题1某校 A 班有学生 40 名，其中男生 24 名，B 班有学生50 名，其中女生 30 名，现从 A，B 两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为()A1225 B.1325 C1625 D.925导学号98570418解析 所找学生为 A 班男生 B 班女生的概率为3535，为B 班男生 A 班女生的概率
14、为2525.故所求概率为353525251325.故选 B.2如图是正态分布 N(0,1)的正态曲线图，下面 4 个式子中，能表示图中阴影部分面积的个数为()12(a)；(a)；(a)12；12(a)(a)，其中(a)P(xa)A1 B2 C3 D4答案 C解析 利用正态曲线的对称性知，都能表示阴影部分面积故选 C导学号985704193在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是()A23B34C37D1320答案 B导学号98570420解析 从六个点中任选 3 个点的方法有 C362
15、0 种，能构成三角形的三点需满足三点不共线的条件，不能是 A、C、E、F 四点中的三点，也不能是 B、C、D 三点，所以不符合要求的共有 C341415 种方法，则能构成三角形的取法共有 15种，所以能构成三角形的概率是 P152034，故选 B.答案(4,9二、填空题4已知随机变量 的分布列为210123P112312412112212112若 P(2x)1112，则实数 x 的取值范围是_导学号98570421解析 由 的分布列得 2 的分布列为20149P131314112P(29)P(20)P(21)P(24)1112.又 2N，欲使 P(2x)1112，只需且必须 4x9，故 x(4
16、,95 甲、乙、丙 三 人 打 算 趁 目 前 股 市 低 迷 之 际“入市”若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同)(1)甲、乙、丙 三 人 恰 好 买 到 同 一 支 股 票 的 概 率 为_；(2)甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率为_答案 1100 725导学号98570422解析(1)三人恰好买到同一支股票的概率 P110 110 110 110 1100.(2)解法 1：三人中恰好有两人买到同一支股票的概率 P210C231102 910 27100.由(1)知，三人恰好买到同一支股票的概率为 P1 1100，所以三人中至少有两
17、人买到同一支股票的概率 PP1P2 1100 27100 725.解法 2：至少有两人买到同一支股票的概率 P21A310C110C110C110 725.三、解答题6(2015四川理，17)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望导学号98570423解析(1)由题意，参加集训的男女生各有 6 名参赛学生全从 B 中抽取(等价于 A 中没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36 1100.因此，A 中学至少 1 名学生入选的概率为 1 1100 99100.(2)根据题意，X 的可能取值为 1,2,3.P(X1)C13C33C46 15，P(X2)C23C23C46 35，P(X3)C33C13C46 15，所以 X 的分布列为：X123P153515因此，X 的期望为 E(X)1152353152.
