1、四川泸州老窖天府中学高2023届高三第一学期第四次模拟考试数学文科一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合Ax|x25x60，Bx|x20，则AB（）Ax|3x2Bx|2x2Cx|6x2Dx|1x22设，则复数的模等于ABCD3若点是角的终边上一点，则（）ABCD4若 满足， 则目标函数的最大值为（）A5B4C3D25将某家庭一年的支出情况统计如下图所示，主要分为房贷、饮食等六个方面；若该家庭一年的总支出为12万元，且花费在A方面的金额比B方面的金额多4800元，则B为（）A交通B饮食C其他D育儿6设函数，则，的大致图象大致是
2、的ABCD7阿基米德（公元前287年公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为ABCD8已知等差数列，则数列的前100项和（）ABCD9设是两条不同的直线，是两个不同的平面， 下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则10将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是（）A是奇函数B的周期是C的图象关于直线对称D的图象关于点对称11如图所示，三棱锥的底面
3、是等腰直角三角形，且，则点到面的距离等于ABCD12已知定义在R上的奇函数，满足，当时，若函数，在区间上有10个零点，则m的取值范围是（）ABCD二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为_.14已知，则与夹角的余弦值为_.15已知是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集用区间表示为_16已知不等式对恒成立，则实数m的最小值为_.三.解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17已知数列的
4、前项和为, ，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和18在斜三角形中，.（）求的值；（）若，求的周长.19为配合创建文明城市，某市交警支队全面启动路口秩序综合治理，重点整治机动车不礼让行人的行为.经过一段时间的治理，从市交警队数据库中调取了个路口的车辆违章数据，根据这个路口的违章车次的数量绘制如下的频率分布直方图，统计数据中凡违章车次超过次的路口设为“重点关注路口”(1)根据直方图估计这个路口的违章车次的平均数；(2)现从“重点关注路口”中随机抽取两个路口安排交警去执勤，求抽出来的路口中有且仅有一个违章车次在的概率.20如图所示，在三棱锥中，点，分别为，的中点.（1）求证：平
5、面平面；（2）求四面体的体积.21设函数，.（）时，求的最小值；（）若在恒成立，求的取值范围.选做题（第22题，23题，选做一题，多做或做错，均按照第一题计分） 22在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.(1)写出曲线C与直线l的普通方程；(2)设当时l上的点为M点N在曲线C上.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求线段中点P的轨迹的极坐标方程.23已知（1）若，求不等式的解集；（2），求实数a的取值范围1D【解析】首先解二次不等式得到，再求即可.【详解】，.所以.故选：D2C【解析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解
6、即可.【详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.3D【分析】根据三角函数的定义可知，将数值代入计算可得结果.【详解】由题意可知，将代入得，即.故选：D.4A【分析】画出可行域，分析的几何意义，然后数形结合求解.【详解】由变量满足约束条件，作出可行域如图由得，表示的是直线在轴上截距的负值，当直线上下移动的过程中，当直线过点时轴上的截距最大，当直线过点时轴上的截距最小，所当直线过点时最小，最小为，当直线过点时最大，最大为故选：A5D【分析】设A方面占比m，B方面占比n，由数量关系可列方程解得，再结合图判断即可.【详解
7、】设A方面占比m，B方面占比n，则有，由图可知，只有其它方面比育儿方面多4%.故选：D6B【解析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A；通过判断特殊点的函数值符号排除选项D和选项C即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数的定义域为，其关于原点对称，因为,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称，故选A排除；对于选项D:因为,故选项D排除;对于选项C:因为,故选项C排除;故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7D【解析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为
8、,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.8A【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求前100项和.【详解】因为为等差数列且，故，故，故数列的前100项和为，故选：A.9B【分析】由线线、线面、面面垂直和平行的相关定理依次判断各个选项即可.
9、【详解】对于A，若，则可能平行或相交或异面，A错误；对于B，若，则，又，B正确；对于C，若，则可能平行或相交，C错误；对于D，若，则可能平行或异面，D错误.故选：B.10D【分析】由给定的变换求出函数的解析式，然后逐一验证各选项即可得解.【详解】由已知得：，选项A：，是偶函数，A不正确；选项B：由得的周期是，B不正确；选项C：由知，的图象关于直线不对称，C不正确；选项D：由知，的图象关于点对称，D正确.故选：D11C【分析】取的中点,连接,作,垂足为,利用线面垂直的判定定理证明平面,由线面垂直的性质可得,进而证得平面,在中,利用余弦定理和同角三角函数的基本关系求出,在中求出即可.【详解】取的中
10、点,连接,作,垂足为,如图所示：因为,所以为等边三角形,因为为中点,所以,又为等腰直角三角形,所以,又,所以平面,又平面,所以,因为，,所以平面,即即为点到面的距离,因为在等边中,在为等腰直角三角形中,在中,由余弦定理可得,所以,在中,所以点到面的距离为.故选:C【点睛】本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理求点到面的距离;考查数形结合思想和逻辑推理能力;灵活运用线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.12A【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点
11、和第11个零点之间.【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，因此，因为是奇函数，所以 ，且的周期为，且，求的零点，即是与的交点，如图：为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，第11个零点坐标为，因此故选：A1390【解析】利用分层抽样方法：利用频率、频数与样本容量的关系按比例抽取即可.【详解】由题意知,全校共有学生人数为人,其中高二年级有450人,设高二年级抽取的人数为人，根据分层抽样按比例抽取可得,.故答案为: 90【点睛】本题考查利用分层抽样按比例抽取样本;考查运算求解能力;属于基础题.
12、14【解析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出的坐标,分别求出,代入夹角公式求解即可.【详解】由题意知,因为，所以,由向量模的定义知,由平面向量数量积的夹角公式可得,.故答案为:【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.15【详解】设 ，则 ，由题意可得 故当 时， 由不等式 ，可得 ，或 求得 ，或 故答案为（ 16【分析】先将不等式变形为，再构造函数，利用函数单调性可得，再分离参数转化为，然后求出函数的最大值，即解出【详解】可变为， 再变形可得，设，原不等式等价于，
13、因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，而，当时，所以由可得，因为，所以设，所以函数在上递增，在上递减，所以，即当时，不等式在恒成立；当时，无论是否存在，使得在上恒成立，都可判断实数m的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查构造函数法的应用，利用函数的单调性解不等式，分离参数法的应用，导数在研究函数中的应用，解题关键是构造合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，转化能力和数学运算能力，属于难题17（1）；（2）【分析】（1）由条件得到，结合已知两式相减得到，再验证，得到数列是等比数列，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可知，利用分组转化为等差数列和等比数列求和.【详解】（1）. .-
14、 得 ，即 又,是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（）得【点睛】本题考查已知求，以及分组转化法求和，重点考查基本方法，计算能力，属于基础题型，本题容易忽略验证，一般求和的方法包含1.公式法求和；2.裂项相消法求和；3.分组转化法求和；4.错位相减法求和，这些常用方法需熟练掌握.18() ；() .【分析】（）利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值即可得C值（）在中，利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得ABC的周长【详解】（），即，又在斜三角形中，所以，即，亦即，因为，所以.（）在中，则，由正弦定理，得，故 ，.所以的周长为 .【点睛】本题考查两角和差的正切、正弦
15、公式，诱导公式，正弦定理的应用，考查转化思想，属于中档题19(1)(2)【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可计算得到违章车次在和的路口数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，利用古典概型概率公式可计算得到结果.【详解】（1）根据频率分布直方图可估计平均数为：.（2）由频率分布直方图可知：违章车次在的路口有个，记为；违章车次在的路口有个，记为；从“重点关注路口”中随机抽取两个路口，则有，共种情况；其中有且仅有一个违章车次在的情况有，共种情况；所求概率.20（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证得平面，
16、即可得到平面平面；（2）由（1）可得为三棱锥的高，在中，结合余弦定理和面积公式，求得，利用棱锥的体积公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以，又因为，平面，所以平面，又由平面，所以，因为，为的中点，所以，又由，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）可得为三棱锥的高，因为点，分别为，的中点，所以，由余弦定理可得，因为，所以，可得，所以，即四面体的体积为.21（）2；（）.【解析】（）对函数进行求导，利用导数判断函数的单调性求最值即可；（）由题知，对任意恒成立，当时，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立，令，对函数进行求导判断其单调性求上的最小值即可.【详解】（）时，则
17、 ， 令，得， 当时，在单调递减；当，在单调递增； 所以；（）由题意知，对任意恒成立， 当时，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以当时函数有最小值为，所以此时的取值范围为，综上可知所求的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求最值、利用构造函数法求解不等式的恒成立问题;考查运算求解能力、转化与化归的能力、逻辑推理能力；灵活运用函数的单调性与导数之间的关系是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.22(1)；(2).【分析】（1）消去参数即得；（2）由题可得，设，进而可得点P的轨迹方程为，再利用公式即得.【详解】（1）曲线C的参数方程为（为参数），曲线C的普通方程为，直线l的参数方程为（t为参数）直线l的普通方程为；（2）由题可知，设，则，即 所以可得点P的轨迹方程为，即，令，点P的轨迹的极坐标方程为.23（1）；（2）.【分析】（1）将代入中，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得，然后用基本不等式求出的最小值，再根据条件得到关于的不等式，解不等式得到的取值范围【详解】（1）当时，或，或，故不等式的解集为；（2）因为，（当时等号成立）依题意，有，则解之得，故实数a的取值范围是
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