1、泸县第五中学 2023 年春期高一期中考试数学试题本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.第 I 卷 选择题（60 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合*|15,N Axxx,|03Bxx，则 AB （）A.0,3B.1,5)C.1,2,3,4D.1,2,3【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集的概念可求出结果.详解】1,2,3,4A，1,2,3AB.故选：D2.已知4tan3，则 sincossincos（）A.7B.17C.17D.7【答案】C【解析】【分析】分子分
2、母同时除以cos，得到关于 tan 的式子，进而代入4tan3，即可得出答案.【详解】因为4tan03，所以sincossincoscoscossincossincoscoscos41tan1134tan1713.故选：C.3.在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，3ADDB.记,CAa CDb，则CB（）A.4133abB.1433abC.4133abD.1343ab【答案】B【解析】【分析】根据向量的共线定理表示即可求解.【详解】因为点 D 在边 AB 上，3ADDB，所以13BDDA，即1()3CDCBCACD，所以1433CBab.故选:B.4.为了得到函数sin(2)6yx的图象,
3、可以将函数sin(2)6yx的图象A.向右平移 6个单位长度B.向右平移 3个单位长度C.向左平移 6个单位长度D.向左平移 3个单位长度【答案】A【解析】【详 解】因 为6626，所 以 将 函 数s i n26yx的 图 象 向 右 平 移 6个 单 位 长 度 得sin 26yx的图象,选 A.5.在 ABC 中，ABC所对的边分别为 a b c，若3A，3a，2b，则B（）A.6B.4C.34D.4或 34，【答案】B【解析】【分析】由正弦定理即可求得B，再由大边对大角，舍去不符合要求的值，即可得到结果.【详解】根据题意，由正弦定理 sinsinabAB，可得:32sin32B，解得2
4、sin2B，故可得4B 或 34，由 ab，可得AB，故4B.故选:B.6.已知向量,a b ，其中2,2ab，且()aba，则向量 a 和 b 的夹角是（）A.4B.2C.34D.【答案】A【解析】【分析】先根据垂直关系计算得到2a b，再根据夹角公式计算夹角.【详解】由题意知2()0a baaa b ，2a b.设向量 a 和 b 的夹角，则2cos2a ba b ，又0 ，所以 4.故选：A7.计算 2tan1234cos 122 sin12（）A.4B.2C.4D.2【答案】C【解析】【分析】切化弦后根据二倍角公式及辅助角公式化简即可求值.【详解】22sin 1260tan123sin
5、123cos12412sin12 cos12 cos244cos 122 sin12sin482 故选：C【点睛】本题主要考查了三角恒等变形，涉及二倍角公式，两角和差的正弦、正切公式，切化弦的思想，属于中档题.8.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当0,x 时，e2xf x，则不等式ln0fx 的解集为（）A.10,2B.2,C.10,2,2D.1,12,2【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及当0,x 时，e2xf x，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意 f x 是定义在 R 上的奇函数，故(0)0f，当0,x 时
6、，e2xf x，此时 f x 在0,上单调递增，且过点(ln2,0)，则当,0 x 时，f x 在,0上单调递增，且过点(ln2,0)，作出函数 f x 的大致图像如图：则由ln0fx 可得lnln2x 或ln 2ln0 x，解得2x 或 112x，即ln0fx 的解集为1,12,2，故选：D二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.如图，D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 AFDB等于（）A.FDB.ECC.BED.DF【答案】BCD【解
7、析】【分析】由中位线的性质及相等向量的定义和向量减法的运算法则即可求解.【详解】解：因为 D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，所以/DFBE 且 DFBE，/DFEC，且 DFEC，所以 DF BE=，DFEC，所以 AFDBAFADDFBEEC，故选：BCD.10.已知复数12iiz，则下列结论中正确的是（）A.2iz B.z 的虚部为 1C.5z D.1 i3 iz【答案】AC【解析】【分析】先化简复数 z，然后求出 z 的共轭复数即可验证选项 AB，求出复数 z 的模验证选项 C，化简选项 D 即可【详解】因为i1 2i1 2i2 i2iii i1z ，所以2iz
8、 ，故 A 正确；z 的虚部为 1，故选项 B 错误；由222(1)5z ，故选项 C 正确，由1 i3 iz ，所以3i 1 i3i33ii112i1i1i 1 i2z ，故选项 D 错误，故选：AC.11.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列判断正确的是（）A.若 ab，则sinsinABB.若sinsinAB，则ABC.若sincosAB，则 ABC 为锐角三角形D.若 ABC 为锐角三角形，则sincosAB【答案】ABD【解析】【分析】根据三角形的基本性质逐项分析得出结果即可.【详解】ABC 中，大边对大角，若 ab，则 AB，根据正弦定理可得sinsin
9、AB，选项 A 正确；同理选项 B 正确；若sincosAB，即cos()cos2AB，当cos0 cos02BA，时，ABC 为钝角三角形，选项 C 错误；若 ABC 为锐角三角形，则0222ABAB又正弦函数在0 2，上为单调增函数sinsin 2AB，即 sincosAB，选项 D 正确故选：ABD.12.已知函数()|cos|cos2f xxx，则下列结论中正确的是（）A.()f x 的最小正周期为 2B.()f x 在 2,23上单调递增C.()f x 的图象关于直线4x 对称D.()f x 的值域为 1,2【答案】BD【解析】【分析】通过周期函数的定义求出()f x 的最小正周期即
10、可判断 A，对 B 选项设costx，利用复合函数单调性的判定方法即可判断，对 C 举一组反例即可判断，对 D，通过换元法，分类讨论并结合二次函数值域即可得到函数的值域.【详解】因为coscos21222f ，022ff,故 A 错误，当 223x时,令1cos,02tx,2()2coscos1f xxx，即 221921248g tttt 而函数 221g ttt 在1,02上单调递减,costx在 22,3上单调递减,因此,()f x 在 232,上单调递增,故 B 正确，因为(0)2,12ff,即()f x 图象上的点(0,2)关于直线4x 对称点 ,22不在()f x 的图象上,故 C
11、 不正确，当 1cos0 x 时，令costx,则 219248g tt，此时 0,1g tgg ，即 (1,2g t ，当0cos1x时，令costx,2()2coscos1f xxx，则 219248h tt，则 0,1h thh，即 1,2h t ，综上，()f x 的值城为 1,2.故选：BD.第 II 卷 非选择题（90 分）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.sin80 cos40cos80 sin40_.【答案】32【解析】【分析】根据两角和的正弦公式即可求值【详解】由正弦的两角和公式逆运算可得sin80 cos40cos80 sin403sin(80
12、40)sin1202，故答案为：3214.已知点 1,5A 和向量2,3a r，若3ABa，则点 B 的坐标为_【答案】5,4【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OAABOB 求向量OB 的坐标，由此可得点 B 的坐标.【详解】设O 为坐标原点，因为1,5OA ，36,9ABa，故5,4OABOAB，故点 B 的坐标为5,4 故答案为：5,4.15.若一个圆锥的侧面展开图是半径为 3 的半圆，则此圆锥的高为_.【答案】3 32【解析】【分析】根据侧面展开图是半径为 3 的半圆，得到母线长和底面半径求解.【详解】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h，因为侧面展开图是半径为 3
13、 的半圆，所以母线长为 l=3，23r，解得32r，所以此圆锥的高为223 32hlr，故答案为：3 3216.设函数()sin(0)6f xx，若()3f xf 对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为_【答案】1【解析】【分析】由条件确定当3x 时，函数取得最大值，代入即可求 的集合，从而得到 的最小值.【详解】由条件()3f xf 对任意的实数 x 都成立，可知，3f 是函数的最大值，当3x 时，2 362k，Zk，解得：61,Zkk，0，所以当 k=0 时，取最小值为 1.故答案为：1四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设2，2cos,
14、sinb，sin,2cosc，cos,2sind.（1）若sin0.求证：bc；（2）若3cd，求sincos的值.【答案】（1）证明见解析；（2）15sincos3.【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式结合平面向量数量积的坐标运算证得0b c，由此可证明出bc；（2）求得cd的坐标，由3cd可求得1sincos3，由2 得出sin0，cos0，计算出2sincos的值，进而可求得sincos的值.【详解】（1）2cos,sinb，sin,2cosc且sin0，2cossin2sincos2sin0b c ，因此，bc；（2）sin,2cosc，cos,2sind，sincos,2cos
15、2sincd，22sincos4 cossin56sincos3cd，1sincos3，2，sin0，则cos0，251 2sincos3sincos，因此，15sincos3.【点睛】本题考查平面向量垂直的证明，同时也考查了两角和的正弦公式以及同角三角函数关系的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.18.函数 sinf xAx（0A，0，）的一段图象如图所示.（1）求函数 f x 的解析式；（2）将函数 yf x的图象向右平移 6 个单位，得到 yg x的图象，求函数 yg x的单调递增区间.【答案】（1）2sin 26f xx；（2）,63kk kz.【解析】【分析】（1）由函数 f
16、x 的图象得到2,AT，求得2，得出 2sin 2f xx，再由 f x图象点 2,23，求得2,6kkZ，求得6，即可求解；（2）根据三角函数的图象变换，求得 2sin 26g xx，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数 f x 的图象，可得1252,43124AT，可得T，因为0，所以22T，所以 2sin 2f xx，又因为 f x 图象点 2,23，可得422sin3，解得 432,32kkZ，可得2,6kkZ，因为，所以6，所以函数 f x 的解析式为 2sin 26f xx.（2）将 f x 的图象向右平移 6 个单位得到 yg x的图象，可得 2sin 22sin
17、2666g xxx令222,262kxkkZ，可得,63kxkkZ，所以 g x 的单调递增区间是,63kk kz.19.在 ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且sin sinsin ACacB bc（1）求 A；（2）如果 ABC 是锐角三角形，求22sinsinBC的取值范围【答案】（1）3A；（2）5(4，32【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边可得222bcabc，再利用余弦定理可得A的余弦值，结合特殊角的三角函数值以及角的范围可求出A的度数；（2）由 A 求出CB，并用C 表示出 B，根据C 与 B 都为锐角求出C 的范围，将 B 代入所求式子中，利用二倍角公
18、式与辅助角公式化为一个角的正弦函数，由C 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出22sinsinCB的取值范围【详解】（1）因为sin sinsin ACacB bc所以由正弦定理得，acacb bc，化222bcabc，可得2221cos22bcaAbc，因为0A，则3A；（2）由（1）得3A，则233CB，所以23BC，因为 ABC 为锐角三角形，所以203202CC ，解得 62C，设 2222 2sinsinsinsin()3CCBfCC41cos(2)1cos2322CC1131cos2(cos2sin2)222CCC 1 131311(cos2sin2)1(sin2cos2
19、)2 22222CCCC 1 sin(2)126C，因为 62C，所以52666C，则 1sin(2)126C，即 53()42f C，所以22sinsinCB的取值范围是 5(4，32【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到20.在1sinsin4BC、2 3tantan3BC这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.在 ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c
20、，1tantan3BC，2 3a，.（1）求角 A、B、C 的大小；（2）求 ABC 的周长和面积.【答案】（1）23A，3B，3C；（2）周长为42 3，面积为3.【解析】【分析】选：（1）本题首先可根据同角三角函数关系求出3coscos4BC，然后通过两角和的余弦公式得出23A，最后通过两角差的余弦公式求出6BC；（2）本题首先可通过正弦定理求出2bc，并求出 ABC 的周长，然后通过解三角形面积公式即可求出 ABC 的面积.选：（1）本题可通过联立2 3tantan31tantan3BCBC求出3tantan3BC，即可得出结果；（2）本题首先可通过正弦定理求出2bc，并求出 ABC 的
21、周长，然后通过解三角形面积公式即可求出 ABC 的面积.【详解】选：（1）因为1sinsin4BC，1tantan3BC，所以3coscos4BC，则()1coscoscossinsin2B CBCBC+=-=，因为0,BC，所以3BC，23A，因为coscoscossinsin1BCBCBC，所以0BC，6BC.（2）因为 sinsinsinabcABC，2 3a，23A，6BC，所以2bc，ABC 的周长为222 342 3，ABC 的面积113sin2 23222SbcA .选：（1）联立2 3tantan31tantan3BCBC，解得3tantan3BC，因为0,B，0,C，所以6B
22、C，23A.（2）因为 sinsinsinabcABC，2 3a，23A，6BC，所以2bc，ABC 的周长为222 342 3，ABC 的面积113sin2 23222SbcA .21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A、B 及CD 的中点 P 处20AB km，10BC km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与 A、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 AO，BO，PO 记铺设管道的总长度为 ykm（1）设BAO（弧度），将 y 表示成 的函数并求函数的定义域；（2）假设铺设的污水管道总长度是10 10 3km，请确定
23、污水处理厂的位置【答案】（1）20 10sin10,0cos4y（2）位置是在线段 AB 的中垂线上且离 AB 的距离是10 33km【解析】【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OAOBOP、的表达式，进而得到管道总长度 y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程 20 10sin1010 10 3cos，求得6，再去确定污水处理厂的位置.【小问 1 详解】矩形 ABCD 中，20AB km，10BC km，DPPC，DCPO，BAOABO 则10 km,10 10tankmcosOAOBOP，2010 10tancosyOAOBOP则20 10sin10,0cos4y【小问 2
24、详解】令 20 10sin1010 10 3cos10sin10 3cos20,20sin20,3则sin1,3又04，即 73312，则32，则6 此时1010 10tan103(km)63OP 所以确定污水处理厂的位置是在线段 AB 的中垂线上且离 AB 的距离是10 33km22.已知 (0)f xx xa a，（1）当2a 时，求函数 f x 在1,3上的最大值；（2）对任意的1x，21,1x ，都有 124f xf x成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）3（2）02a【解析】【分析】(1）由2a 得出函数 f x 的解析式，根据函数图象，得函数 f x 的单调性，即可得到函数 f
25、 x在1,3上的最大值；(2)对 任 意 的12,1,1x x ，都 有 124f xf x成 立，等 价 于 对 任 意 的12,1,1x x ，maxmin4f xf x成立，再对 a 进行讨论，即可求出实数a 的取值范围.小问 1 详解】当2a 时，2,222,2x xxf xx xxxx，作出函数图象如下：结合图象可知，函数 f x 在1,1上是增函数，在1,2 上是减函数，在2,3 上是增函数，又 11f，33f，所以函数 f x 在1,3上的最大值为 3.【小问 2 详解】因为,x xaxaf xx axxa(0)a，由题意得：maxmin4f xf x成立.12a 时，也即2a，
26、函数 f x 在1,1上是增函数，所以 max11f xfa，min11f xfa，从而1124aaa，解得：2a，故2a 因为242aaf ，由24ax xa可得：22440 xaxa，解得：122xa或1202xa，(舍去)，当12122aa 时，2212a，此时 2max24aaf xf，min11f xfa，从而22211124444aaaaa 成立，故 2212a当1212a时，221a，此时 max11f xfa，min11f xfa，从而1124aa 成立，故221a，综上所述：02a.【点睛】(1)对于形如，对任意的12,x xI，12f xf xM恒成立的问题，可转化为 maxminf xf xM恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；(2)解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号
