1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 计数原理 第一章 第一章 章末归纳总结知 识 梳 理 2知 识 结 构 1专 题 探 究 3随 堂 练 习 4知 识 结 构知 识 梳 理1正确使用分类加法计数原理和分步乘法计数原理2排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关3复杂的排列问题常常通过试验、画简图难等使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验4按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法要注意题设中“至少”，“至多”等限制词的含义5在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解
2、排列与组合的概念，能够熟练确定一个问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计数公式与组合数性质容易产生的错误是重复和遗漏计数常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先排的策略；(2)合理分类与正确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻的问题插空处理的策略6运用二项式定理一定要牢记通项 Tr1Crnanrbn，注意(ab)n 与(ba)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，必须注意顺序问题，另外，二项展开式的二项式系数与展开式中对应项的系数是两个不同的概念，前者是指 Crn，而后者是指
3、字母外的部分7对于二项式系数问题，应注意：(1)求二项式的所有项系数和，可采用“赋值法”，通常令字母变量的值为 1；(2)关于组合恒等式的，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法专 题 探 究解题时正确区分“分类”与“分步”(1)分类：“做一件事，完成它可以有几类办法”每一类办法中的每一种方法都能将这件事完成分类时，首先根据问题特点确定一个合理的分类标准，在这个“标准”下分类能够做到“不重不漏”完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一类；(不漏)分别在不同两类中的两种方法不能相同(不重复)两个计数原理的应用(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务步与步之间要相互独
4、立必须并且只需连续完成这些步骤后，这件事才算最终完成随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析 按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在右确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤导学号98570165解析 将汽车牌照分为2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在
5、首位，有26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个宇母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法根 据 分 步 乘 法 计 数 原 理，字 母 组 合 在 左 的 牌 照 共 有262524109811 232 000(个)同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个所以，共能给11 232 00011 232 00022 464 000辆汽车上牌照.1.求解排列与组合应用
6、问题应注意的事项(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏(4)列出式子计算并作答排列、组合应用题2解排列组合应用题时常用的解题策略(1)特殊元素优先安排的策略(2)合理分类和准确分步的策略(3)排列、组合混合问题先选后排的策略(4)正难则反、等价转化的策略(5)相邻问题捆绑处理的策略(6)不相邻问题插空处理的策略(7)定序问题除法处理的策略(8)分排问题直排处理的策略(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略(10)构造模型的策略分析 本题是站队排列问题，其中可以把甲看做特殊元素，即特殊元素优先考
7、虑，把甲先排好，再排其他元素，也可以把两端看做特殊位置，即特殊位置优先考虑，把两端的位置先排好，再去排其他的位置6 人站成一排，若甲不能站在左端也不能站在右端，则有多少种不同的站法？导学号98570166解析 解法 1：第一步先从甲以外的 5 人中任选 2 人站在左、右两端的站法有 A25种.第二步再从余下 4 人(含甲)中选 4 人站在中间的 4 人位置，有 A44种站法由分步计数原理知，所求的站法有 A25A44480 种解法 2：第一步甲站在中间 4 个位置中任一个，有 A14种站法第二步其余 5 人站在其他的 5 个位置，有 A55种站法由分步计数原理知，所求的站法有 A14A5548
8、0 种方法总结 本题中的三种解法，实质上是两种不同的思路的体现，一种是由特殊元素进行分析，一种是由特殊位置来分析，其中解法1、解法2用正向思考，解法3用逆向思考解法 3：6 人站成一排的排法总数为 A66种，其中甲站在左端的站法有 A55种，甲站在右端有 A55种符合条件的站法有 A662A55480 种有 5 名男生，4 名女生排成一排(1)从中选出 3 人排成一排，有多少种排法？(2)若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同的排法？(3)要求女生必须站在一起，有多少种不同的排法？(4)若 4 名女生互不相邻，有多少种不同的排法？导学号98570167分析(1)这是一个无限制条件的选
9、排列问题，利用排列数公式易求(2)这是一个有限制条件的排列问题，特殊元素是某男生和某女生，排头和排尾的特殊位置，需将问题合理分类、分步再计算(3)女生站在一起，可将所有女生视为一个整体，既考虑整体内部的排列，又考虑这个整体与其他男生一起排列(4)由于4名女生不相邻，可考虑先将男生排好，再将4名女生插空排列解析(1)只要从 9 名学生中选出 3 名排列即可共有 A39987504 种(2)将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排，有 A88种排法；另一类是甲既不站排尾又不能站排头有 A17种站法，乙不站排尾而站余下的 7 个位置中的一个有 A17种站法，其余人全排列，于是这一类有 A17A
10、17A77种排法由分类计数原理知，共有 A88A17A17A77287 280(种)(3)女生先站在一起，是女生的全排列，有 A44种排法全体女生视为一个元素与其他男生全排列有 A66种排法由分步计数原理知，共有 A44A6617 280(种)(4)分两步走第一步，男生的全排列有 A55种排法；第二步，男生排好后，男生之间有 4 个空，加上男生排列的两端共 6 个空，女生在这 6 个空排列，有 A46种排法有 A55A4643 200(种)方法总结 对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，一般用直接法，如问题(2)的解法，也可以先不
11、考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法关于某些元素“相邻”的排列问题，可用“捆绑法”；而对于元素“不相邻”的排列问题，可用“插空法”.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，不同的取法有()A140种 B84种C70种D35种分析 本题要以甲型和乙型电视机各1台，作为突破口，研究分析时有直接法和间接法两种思路，都体现了分类讨论的思想“至多”“至少”等问题导学号98570168解析 解法 1：直接法：可以从 4 台甲型机中取 2 台，再从 5 台乙型电视机中取 1 台，
12、或者从 4 台甲型机中取 1 台，再从 5 台乙型电视机中取 2 台，所以共有 C24C15C14C2570 种选法解法 2：间接法：从 9 台电视机中取 3 台有 C39种取法，从甲型电视机中取 3 台有 C34种取法，从乙型电视机中取 3 台有C35种取法，这两种取法不符合条件所以符合条件的取法为 C39C34C3570 种故选 C答案 C方法总结 对于“至多”、“至少”问题常有两种思路：一是直接进行分类，利用加法原理二是排队法(间接法)，先不考虑限制条件，再从中减去不符合条件的情况.(1)近似求值利用二项式定理进行近似计算，关键在于构造恰当的二项式(pq)n(其中|q|1)，并根据近似要
13、求，对展开式的项合理取舍(2)解决整除问题通常把底数化为两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系，再利用二项式定理展开，只考虑前面或后面的一两项就可以(3)求和求二项展开式系数和的基本方法是赋值法在解决有些数列求和的问题时，要注意对问题实施转化，为应用二项式定理创造条件二项式定理的应用(4)解不等式或证明组合恒等式用二项式定理证明不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式的证明方法论证而证明组合恒等式的关键在于构造不同的二项式，比较系数进行证明注意：解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“项的系数”若
14、2x21x3 n(nN*)的展开式中含有常数项，求 n的最小值分析 本题主要考查二项式定理的展开式的结构和通项公式及常数项，常数项：不含未知数的项，即让未知数的指数为 0.导学号98570169方法总结 二项式定理是二项“和”的n次方，但经常遇到“差”的n次方，此时应注意变形为“和”的形式，即加上“相反数”处理常数项问题时，应用通项求r，抓住指数为“0”的关键解析 利用二项展开式的通项公式Tr1Crn(2x2)nr1x3 r(1)r2nrCrnx2n5r 可知，只需满足 2n5r0 的 n 的最小值即可nN*，r 满足 0rn，可见满足 2n5r 的 n 的最小自然数是 5.在x2 13 x8
15、 的展开式中常数项是()A28 B7C7 D28解析 Tr1Cr8x28r 13 xrCr82r8(1)rx8rr3.令 8rr30，得 r6，T7C68122(1)67.故选 C答案 C导学号98570170解析 因n9，展开式中共有10项，故中间两项，即第5项和第6项的二项式系数最大，但第6项的系数是负值，所以第5项的系数最大故选B.答案 B方法总结 当二项展开式中二项的系数为1(或1)时，某项的二项式系数与该项的系数相等(或相反)(x1)9 按 x 降幂排列的展开式中，系数最大的项是()A第 4 项和第 5 项B第 5 项C第 5 项和第 6 项D第 6 项导学号98570171分析 有
16、关求系数和的问题，一般采用“取特例法”，令二项式中的字母取一个值或几个值，得到一个或几个等式，然后再根据需要求得结果，此法常称作“赋值法”已知(3x1)7a0 x7a1x6a6xa7，(1)求 a0a1a2a7 的值；(2)求|a0|a1|a2|a7|的值；(3)求 a0a2a4a6 的值导学号98570172解析(1)令 x1，得 a0a1a7(311)727128.(2)易知 a1，a3，a5，a7 为负值，|a0|a1|a2|a7|a0a1a2a7(a0a1a2a7)3(1)174716384.(3)令 f(x)(3x1)7，则f(1)a0a1a2a7，f(1)a0a1a2a3a7.2(
17、a0a2a4a6)f(1)f(1)2747.a0a2a4a6262138 256.方法总结“赋值法”是求二项展开式系数和问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况证明 32n28n9(nN*)能被 64 整除分析 考虑到利用二项式定理证明，就需要多项式展开后的各项尽量多的含有 82 的式子因此，可将 32n2 化成(32)n1(81)n1 再进行展开、化简，即可证得问题的结论导学号98570173方法总结 整除性问题，主要根据二项展开式中的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，这也是解这类问题的一个技巧证明 32n28n99n
18、18n9(81)n18n98n1C1n18nCn1n182Cnn18Cn1n18n98n1C1n18nCn1n1828(n1)18n98n1C1n18nCn1n182上式中每项均有 82，故可被 64 整除即 32n28n9 能被 64 整除随 堂 练 习一、选择题1编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A60种 B20种C10种D8种答案 C解析 将四盏不亮的灯排好，从四盏灯的内部及其两端的 5 个空中，任选 3 个空排上三盏亮灯，共有 C2510 种，故选C导学号985701742某校开设了9门课程供学生选修，学校规定每
19、位学生选修4门，其中A、B、C 3门课程由于上课时间相同，所以每位学生至多选修1门，则不同的选修方案共有()A15种B60种C75种D100种答案 C导学号98570175解析 由题意知，满足题意的选修方案有两类：第一类是所选的 4 门全来自于除 A，B，C 外的 6 门课程，相应的不同选修方案有 C4615 种；第二类是所选的 4 门中有且仅有 1 门来自于 A，B，C，另 3 门从除 A，B，C 外的 6 门课程中选择，相应的不同选修方案有 C36C1360 种由分类加法计数原理可得满足题意的选修方案总数是 156075.3(2015新课标理，10)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数
20、为()A10B20C30D60答案 C解析 在(x2xy)5 的 5 个因式中，2 个取因式中 x2，剩余的 3 个因式中 1 个取 x，其余 2 个因式取 y，故 x5y2 的系数为C25C13C2230，故选 C导学号98570176答案 15二、填空题4(x 1x)6 的二项展开式中的常数项为_解析 Tr1Cr6x6r(1)r(1x)r(1)rCr6x63r2，令 632r0，得 r4，常数项为(1)4C4615.导学号98570177答案 55(1xx2)(x1x)6 的展开式中的常数项为_解析(1xx2)x1x6x1x6xx1x6x2x1x6，要找出x1x6 中的常数项，1x项的系数
21、，1x2项的系数，Tr1Cr6x6r(1)rxrCr6(1)rx62r，令 62r0，r3.令 62r1，无解令 62r2，r4.常数项为C36C465.导学号98570178三、解答题6有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定要担任语文科代表；(3)某男生必须在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表导学号98570179解析(1)先取后排，先取有 C35C23C45C13(种)，后排有 A55种，共(C35C23C45C13)A555 40
22、0(种)(2)除去该女生后先取后排：C47A44840(种)(3)先取后排，但先安排该男生：C47C14A443 360(种)(4)先从除去该男生和该女生的 6 人中选 3 人有 C36种，再安排该男生有 C13种，其余 3 人全排列有 A33种，共 C36C13A33360(种)7(2015徐州期末)已知(x 124 x)n 展开式中第 5 项是常数项(1)求 n 的值；(2)求展开式中所有有理项导学号98570180解析(1)(x 124 x)n 展开式的通项公式为 Tr1Crn(12)rx2n3r4，再根据第 5 项是常数项，可得2n3440，求得 n6.(2)在通项公式中，令 x 的幂指数123r4为整数，可得 r0,4，故有理项为 T1x3，T51516.