1、专题突破练(3)三角函数与其他知识的综合应用第二部分 专题突破练一、选择题1若 f(cosx)cos2x，则 f(sin15)()A12B12C 32D 32解析 f(sin15)f(cos75)cos150cos30 32.故选 C答案解析2点 P 从(2,0)点出发，沿圆 x2y24 按逆时针方向运动43 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为()A(1，3)B(3，1)C(1，3)D(3，1)解析 43 弧长所对的圆心角为 432 23，设点 Q 的坐标为(x，y)，x2cos23 1，y2sin23 3.故选 A答案解析3有四个关于三角函数的命题：p1：x0R，sin2x02cos2x02
2、12；p2：x0，y0R，sin(x0y0)sinx0siny0；p3：x0，,1cos2x2sinx；p4：sinxcosyxy2.其中是假命题的是()Ap1，p4Bp2，p4Cp1，p3Dp3，p4答案解析 p1 是假命题，xR，sin2x2cos2x21；p2 是真命题，如 x0y00 时成立；p3是真命题，x0，sinx0，1cos2x2 sin2x|sinx|sinx；p4 是假命题，如 x2，y2 时，sinxcosy，但 xy2.故选 A解析4(2020成都高三摸底)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，C若向量 m(a，cosA)，n(cosC，2bc)，且 mn
3、0，则角 A 的大小为()A6B4C3D2答案解析 解法一：由 mn0，得 acosCcosA(2bc)0，由正弦定理，得 sinAcosCcosA(2sinBsinC)0，即 sinAcosCcosAsinC 2sinBcosA，所以 sin(AC)2sinBcosA，所以 sin(B)2sinBcosA，即 sinB 2sinBcosA因为 0B0，所以 cosA 22，所以 A4，故选 B解法二：由 mn0，得 acosCcosA(2bc)0，由余弦定理，得aa2b2c22ab 2bcosAcb2c2a22bc0，即 b 2bcosA，所以 cosA 22，所以 A4，故选 B解析5(2
4、019 福州五校联考二)已知 a213，b(2log23)12，ccos50cos10cos140sin170，则实数 a，b，c 的大小关系是()AacbBbacCabcDcba答案解析 因为 a21312131416，b(2log23)12312131212716，所以 ab，排除 B，D；c cos50cos10 cos140sin170 sin40cos10 cos40sin10 sin3012141216416，所以 bc，所以 abC选 C解析6(2019河北保定一模)国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正
5、方形(如图)如果小正方形的边长为 2，大正方形的边长为 10，直角三角形中较小的锐角为，则 sin2 cos3()A43 310B43 310C43 310D43 310答案解析 设直角三角形中较小的直角边长为 a，则 a2(a2)2102，解得 a6，所以 sin 61035，cos 81045，sin2 cos3 cos12cos 32 sin12cos 32 sin1245 32 3543 310.故选 A解析7(2019河南十所名校测试)已知函数 f(x)2sinx3(0)的两个极值点为，且|min2，则函数 f(x)在0，2 上的最大值为()A 3B1 C 3D2答案解析 由题意，得
6、 f(x)的最小正周期为 T，所以 2，即 f(x)2sin2x3，因为 x0，2，所以 2x33，43，所以 f(x)在0，2 上的最大值为 2.故选 D解析8(2019江西吉安模拟)已知函数 f(x)cosx，x0，若在ABC 中，角 C 为钝角，则()Af(sinA)sin2Bf(sinB)sin2ABf(sinA)sin2Bf(sinB)cos2ADf(cosA)sin2B0 时，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增因为2C，所以 0AB2，0AcosAcos2B sinB0，所以 F(cosA)F(sinB)，即fcosAcos2A fsinBsin2B，f(cosA)sin2B
7、f(sinB)cos2A，故选 C解析11(2019湖南十校联考)已知函数 f(x)xsinx(xR)，且 f(y22y3)f(x24x1)0，则当 y1 时，yx1的取值范围是()A14，34B14，1C1,3 23 D13，答案解析 函数 f(x)xsinx(xR)为奇函数，又 f(x)1cosx0，所以函数 f(x)在实数范围内单调递增，则 f(x24x1)f(y22y3)，即(x2)2(y1)21，当 y1 时表示的区域为半圆及其内部(如图阴影部分)，解析令 k yx1yx1，其几何意义为过点(1,0)与半圆相交或相切的直线的斜率，斜率最小时直线过点(3,1)，此时 kmin13114
8、，斜率最大时直线刚好与半圆相切，切线方程为 ykmax(x1)，圆心到切线的距离 d|3kmax1|k2max11(kmax0)，解得 kmax34，即 yx1的取值范围是14，34.故选 A解析12(2019邯郸摸底)若函数 f(x)sin2x6，xm，cos2x6，mx2恰有 4个零点，则实数 m 的取值范围为()A1112，6 12，3B1112，23 512，6 12，3C1112，6 12，3D1112，23 512，6 12，3答案解析 令 g(x)sin2x6，h(x)cos2x6，在同一直角坐标系中作出g(x)，h(x)在，2 上的图象，如图所示解析g(x)在，2 上的零点为1
9、112，512，12；h(x)在，2 上的零点为23，6，3.由 题 f(x)在，2 上 恰 有 4 个 零 点，结 合 图 象 可 知，当 m 1112，23 512，6 12，3 时，满足题意故选 B解析二、填空题13(2019湖南衡阳模拟)如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B 在圆 O 上，且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为45，35，AOC，若|BC|1，则 3cos22sin2cos2 32 的值为_答案 35解析 由4523521 及点 B 在圆 O 上，知圆 O 为单位圆，所以OCB 为正三角形，所以BOC3，AOB3，由三角函数定义知 sin3 35，
10、所以3cos22sin2cos2 32 32 cos12sinsin3 35.答案解析14(2019南昌二模)如图，有一块半径为 20 m，圆心角AOB23 的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形 OCD，弓形 CMD，扇形 AOC和扇形 BOD(其中AOCBOD)，某次菊花展分别在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜预计这三种菊花展示带来的日效益分别是 50 元/m2、30 元/m2、40 元/m2.为使预计日总效益最大，COD的余弦值应等于_答案 12解析 由题知半径 r 20，设COD，则日总效益为 f()12r2sin502r212r2sin 3023 2r2404
11、000sin2000160003，而 f()4000cos2000，令 f()0，可得 cos12，易知此时日总效益 f()取得最大值答案解析15(2019太原模拟)已知 a，b，c 分别是ABC 的内角 A，B，C 的对边，b2c2accosCc2cosAa2，SABC3 32 64，则ABC 周长的最小值为_答案 3 23答案解析 由 b2c2accosCc2cosAa2，得 b2c2a2c(acosCccosA)，结合余弦定理，得 2bccosAcaa2b2c22abcb2c2a22bc，即2bccosAcb，所以 cosA12，故 A3.又 SABC3 32 64，所以3 32 641
12、2bcsinA12bc 32，则 bc32 2(21)2.又由余弦定理，得 a2b2c22bccosAb2c2bcbc(21)2，当且仅当 bc 21 时，a 取得最小值 21，所以 abca2 bc3(21)，当且仅当 abc21 时取等号，所以ABC 周长的最小值为 3 23.解析16(2019郑州一模)如图，OA，OB 为扇形湖面 OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域和区域，点 C 在AB上，COA，CDOA，其中 AC，半径 OC 及线段 CD 需要用渔网制成若AOB3，OA1，则所需渔网的最大长度为_答案 62 36解析 由 CDOA，AOB3，COA 可得OC
13、D，ODC23，COD3，在OCD 中利用正弦定理可得 CD2 33 sin3，0，3，设渔网的长度为 f()，则 f()12 33 sin3，f()12 33 cos3，0，3，则30，3，令 f()0，则 cos3 32，36，6.f()，答案解析f()随 的变化情况如下：0，666，3f()0f()极大值则 f()2，62 36，故所需渔网的最大长度为62 36.解析三、解答题17(2019河北石家庄质检一)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(ac)2b234aC(1)求 cosB 的值；(2)若 b 13，且 sinA，sinB，sinC 成等差数列，求ABC
14、 的面积解(1)由(ac)2b234ac，可得 a2c2b254aCa2c2b22ac58，即 cosB58.(2)b 13，cosB58，b213a2c254ac(ac)2134 ac，又 sinA，sinB，sinC 成等差数列，故 2sinBsinAsinC，由正弦定理，得 ac2b2 13，1352134 ac，ac12.由 cosB58，得 sinB 398，ABC 的面积 SABC12acsinB1212 398 3 394.解18已知函数 f(x)sin(x)sin32 x 3cos2x(0)的最小正周期为2.(1)求函数 f(x)的对称轴；(2)若函数 g(x)f(x)m 在区
15、间0，4 上有两个零点，求实数 m 的取值范围解(1)f(x)sinxcosx 3cos2x12 12sin2x 32 cos2x 32 sin2x3 32，函数 f(x)的最小正周期 T 2|2|2，故 2，f(x)sin4x3 32.令 4x3k2，kZ，得 xk4 24，kZ.故函数 f(x)的对称轴为直线 xk4 24，kZ.解(2)函数 g(x)f(x)m 在区间0，4 上有两个零点即方程 sin4x3 2m 32在区间0，4 上有两个不同的实根，即函数 ysin4x3 与 y2m 32的图象有两个不同的交点x0，4，故 4x33，43，结合单调性可知，要使函数 ysin4x3 与
16、y2m 32的图象有两个不同的交点，则 32 32m21，所以 m 32 1，3.解19(2019安徽六校联考二)ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，满足 1tanAtanB2cb.(1)求 A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求函数 y2sin2B2cosBcosC 的值域解(1)由 1tanAtanB2cb，得 1sinAcosBcosAsinBsinABcosAsinB sinCcosAsinB2cb 2sinCsinB，因为 A，B，C 为ABC 的内角，所以 cosA12，所以 A3.解(2)因为 ABC，A3，所以 BC23，则 y2sin2B2cos
17、BcosC1cos2B2cosBcos23 B 32sin2B6，又ABC 为锐角三角形，所以6B2，所以22B676，所以 sin2B6 12，1，所以所求函数的值域为12，2.解20(2020云南师大附中月考)在公比为 2 的等比数列an中，a2 与 a5的等差中项是 9 3.(1)求 a1 的值；(2)若函数 y|a1|sin4x，|的一部分图象如图所示，M(1，|a1|)，N(3，|a1|)为图象上的两点，设MON，其中点 O 为坐标原点，0，求 tan()的值解(1)由题可知 a2a518 3，又 a58a2，故 a22 3，a1 3.(2)点 M(1，|a1|)在函数 y|a1|sin4x 的图象上，sin4 1.又|，34.如图，连接 MN，在MON 中，由余弦定理，得cos|OM|2|ON|2|MN|22|OM|ON|412288 3 32.解又 0BD10，由余弦定理知 cos60AB2AD21002ABAD，整理知(ABAD)21003ABAD，由基本不等式知 ABADABAD22.ABAD21003ABAD22，解得 ABAD20.故 ABAD 的取值范围为(10,20解本课结束
