1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-3 计数原理 第一章 上海影城是国内和东南亚最大的影城之一，共有几座风格各异的电影放映厅，SR立体声音响效果撼人第一放映厅：红色基调热烈辉煌，银幕宽22米，高10.5米上海影城建筑风格独特典雅，环境恢宏气派，功能设施齐全，作为世界12大A类电影节之一上海国际电影节的主会场，已成为上海标志性的文化建筑某次电影展，有12部参赛影片，影展组委会要在两天内在某一影院播映这12部电影，每天6部，其中有2部电影要求不在同一天放映，共有多少种不同的排片方案？1.1 基本计数原理第一章 课时课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主
2、预习2015 年 3 月 3 日政协十二届会议在北京举行，某政协委员 3 月 2日要从泉城济南前往北京参加会议他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘坐动车组假如这天飞机有 3 个航班可乘，动车组有 4 个班次可乘问：此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径可选？随意安排甲、乙、丙3人在3天假期中值班，每人值班1天，则：(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法？(2)这3人的值班顺序中，甲在乙之前的排法有多少种？答案：(1)3个人值班的顺序所有可能的情况如下图所示甲乙丙丙乙 乙甲丙丙甲 丙甲乙乙甲由上图知，所有不同的排列顺序共有6种(2)由上图知，甲排在乙之前的排法有3种一、分类加
3、法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法。应用分类加法计数原理要注意的问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事(2)完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法(3)确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏某班有男生26人，女生2
4、4人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数是()A50 B26C24D616答案 A解析 选一位同学或者选男生，或者选女生，用加法原理完成导学号98570000二、分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同方法，做第二个步骤有m2种不同方法做第n个步骤有mn种不同方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法应用分步乘法计数原理要注意的问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事(2)完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，
5、缺少哪一步骤，这件事都不可能完成(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏某商场共有4个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是()A8B7C11D12答案 D解析 从一个门进有4种选择，从另一个门出有3种选择，共有4312(种)走法导学号98570001三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的关系(1)共同点：两个原理都是把一个事件分解成若干个事件来完成(2)不同点：分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关具体讲解如下如果完成一件事情有n类方案，这些方案彼此之间相互独立，无论哪一类
6、方案中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类加法计数原理，如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，而完成每一个步骤有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数，就用分步乘法计数原理应用两个计算数原解决问题时应注意的问题：在 解 决 简 单 问 题 时，首 先 要 弄 清 是 分 类 还 是“分步”判断的主要方法是结合题目中的条件及结论，研究题中涉及的方法能否独立完成任务，若能独立完成，则用分类加法计数原理解决，在此种方法中应注意各类方法不重不漏；若所涉及方法不能单独完成任务，则用分步乘法计数原理解决，在此种
7、方法中要合理设计步骤、顺序，各步互不干扰然后，利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理的公式解决某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，有多少种不同的选法？解析 由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人按“多面手”的选法分为两类：(1)“多面手”入选，则有628(种)选法；(2)“多面手”不入选，则有6212(种)选法因此选法共有81220(种)导学号98570002四、涂色问题涂色问题是指用几种不同颜色给已知图形的区域涂色，共有几种涂色法的问题图形涂色问
8、题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题，在高考中经常出现，处理这类问题的关键是弄清题意，找准分类标准关注图形特征区域的个数、区域间的相邻情况、图形形状，都有可能使分类的标准、分类的过程不同关注几种颜色，题中要求什么条件若图形不是很规则，往往从某一区域开始进行涂色，选用分步乘法计数原理；如果图形具有一定的对称性，那么先对涂色方案进行分类，对每一类再进行分步注意前后分类标准一致，不重不漏，分步要仔细，考虑全面涂色问题大致有两种方案：1选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计算。2首先根据涂色时所用色数的多少，进行分类处理，然后在每一类的涂色方案的计算上需要用到分步乘
9、法计数原理最后根据分类加法计数原理对每一类的涂色方法数求和即得到最终涂色方法数如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，则不同的种法种数为()A96B84C60D48答案 B导学号98570003解析 A有4种不同种法；B有3种不同种法；对于C可分为两类，若C与A种相同的花，则D有3种不同种法；若C与A种不同的花，则C有3种不同种法，D也有2种不同种法所以共有43(322)84(种)不同的种法故选B.课堂典例探究在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示，
10、那么，这名同学可能的专业选择有多少种？分类加法计数原理A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学导学号98570004分析 由于这名同学在A，B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件解析 这名同学可以选择A，B两所大学的一所，在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有549(种)方法总结 使用分类加法计数原理时，要根据问题的特点确定一个分类的标准高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班
11、有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？解析(1)506055165(种)，即所求选法有165种(2)30302080(种)，即所求选法有80种.导学号98570005某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，有多少种不同的选法？分析 解答本题可按分步乘法计数原理，每一步从不同型号电视机中选择一点，各步执行完成后，各步的方法数相乘即可分
12、步乘法计数原理的应用导学号98570006解析 完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步完成：第一步：从甲种型号中选一台，有10种不同的方法；第二步：从乙种型号中选一台，有8种不同的方法；第三步：从丙种型号中选一台，有12种不同的方法；根据分步乘法计数原理，得10812960(种)因此共有960种不同的方法方法总结 利用分步乘法计数原理解题时，首先要确定一个可行的分步标准，其次，还要注意完成这件事情必须且只需连续完成这n个步骤后，这件事情才算圆满完成设某班有男生30名，女生24名现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解析 第一步，从30名男生中选出1人，有30
13、种不同的选法；第二步，从24名女生中选出1人，有24种不同的选法根据分步乘法计数原理，共有3024720种不同的选法导学号98570007现有高一四个班学生34个，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？分析(1)是从四个班的34人中选一人，应分类求解，(2)是从各班中选一人，共选4人，应分步求解，(3)是先根据不同班级分类，再分步从两个班级中各选1人两个计数原理的综合应用导学号98570008解析(1)分
14、四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N7891034种(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N789105 040种(3)分六类，每类又分两步；从一班、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有810种不同的选法；从三、四班学生
15、中各选1人，有910种不同的选法，所以共有不同的选法N787971089810910431种方法总结 对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？导学号98570009解析 给出区域标记号 A、B、C、D、E(如图所示)，则 A 区域有 4 种不同的涂色方法，B 区域有 3 种，C 区域有 2 种，D 区域有2 种，但 E 区域的涂色依赖于 B 与 D 所涂的颜色，如果 B 与 D颜色
16、相同有 2 种涂色方法，不相同，则只有一种因此应先分类后分步(1)当 B 与 D 同色时，有 4321248 种(2)当 B 与 D 不同色时，有 4321124 种故共有 482472 种不同的涂色方法4名同学去争夺3项冠军，不允许并列，共有多少种不同的情况？错解 错解1：第一步，第1位同学去夺这3项冠军，有可能1项都不夺或夺1项、2项、3项，因此有4种不同的情况；第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；第二步，第2位同学去夺这3项冠军也有4种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有4种不同的情况由分步乘法计数原理，共有444444256种不同的情况导学号98570010错解2：
17、第一步，第1位同学去争冠军，有3种不同的情况；第二步，第2位同学去争冠军，也有3种不同的情况；同理第3位、第4位同学也各有3种不同的情况由分步乘法计算原理，共有33333481种不同的情况辨析 完成夺取冠军这件事，即每项冠军都有人夺取错解1中可能有4位同学都不得冠军以及1项冠军不止1人获得这种情况，与题意不符；错解2中可能有1项冠军不止1人获得这种情况，也不符合题意正解 可分三步完成，第一项冠军被4名同学争夺，一定是其中1名而且只能是其中一名同学获得，共有4种不同的情况；同理其余2项冠军分被4名同学中的1名获得，各有4种不同的情况由分步乘法计算原理，共有4444364种不同的夺得冠军的情况基本计数原理分类加法计数原理概念理解应用理解分步乘法计数原理概念理解应用理解课 时 作 业（点此链接）