1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 选修2-2 数系的扩充与复数的引入 第三章 3.2 复数的运算第2课时 复数的乘法与除法第三章 课堂典例探究 2课 时 作 业 3课前自主预习 1课前自主预习在研究复数的乘法时，我们注意到复数的形式就像一个二项式，类比二项式乘二项式的法则，我们可以得到复数乘法的法则让第一项与第二项的各项分别相乘，再合并“同类项”，即得到乘法的结果.多项式(ab)(cd)的运算结果是什么？答案：(ab)(cd)acbdbcbd.一、复数的乘法1复数乘法法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，定义 z1z2(acbd)(adbc)i.显然，两个复数
2、的积仍然为复数注意：由定义可以看出，复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施：z1z2(abi)(cdi)acbdibcibdi2(acbd)(adbc)i.2乘法的运算律设 z1a1b1i，z2a2b2i，z3a3b3i(ai，biR，i1,2,3)，则 z1z2(a1b1i)(a2b2i)a1a2a1b2ia2b1ib1b2i2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i，z2z1(a2b2i)(a1b1i)a2a1a2b1ia1b2ib1b2i2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i，所以 z1z2z2z1.同理可证(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3
3、.复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律，即对任意复数 z1，z2，z3，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.3复数的乘方(1)复数的乘方是相同复数的积，即把 zzz(n 个 z)(nN)称为复数的 n 次幂，记为 zn.(2)根据复数乘法的运算律，在实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任意的 z1，z2，zC 及 m，nN，有 zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzn1zn2.注意：(1)规定 z01，zm 1zm(z0，mN)，则复数指数幂的运算可以把 m，n 推广到整数集，即 m，nZ(注
4、意：只推广到整数集)(2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在复数集内不一定成立如：zR 时，|z|2z2.zC 时，|z|2R，而 z2C，|z|2z2.z1，z2R 时，z21z220z10 且 z20.z1，z2C 时，z21z220/z10 且 z20，但 z10，z20z21z220.也就是说，两个复数的平方和为零，是这两个复数同时为零的必要不充分条件(2015北京理，1)复数i(2i)()A12i B12iC12iD12i答案 A解析 i(2i)12i.导学号05300697二、复数的除法1复数的倒数已知 zabi(a，bR，且 ab0)，如果存在一个复数 z，使 zz
5、1，则 z叫做 z 的倒数，记作1z，设1zxyi，则(abi)(xyi)1，两边同乘(abi)，得(abi)(abi)(xyi)abi，(a2b2)(xyi)abi，因此 xyi abia2b2aa2b2ba2b2i，即1zaa2b2ba2b2i，显然1z z|z|2.2复数除法的运算法则(abi)(cdi)abicdiabicdic2d2acbdbcadic2d2abdc2d2bcadc2d2 i.注意：复数的除法实质上就是分母实数化的过程，即分子、分母同时乘分母的共轭复数这与实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分化简，得出结论，而复数的除法因为分母为复数，一般不能约分化简，但如果分子
6、、分母含有相同的因式，也可直接约分，如24i12i212i12i 2，可直接约分，但22i12i无法约分化简，只能按复数除法运算法则进行计算复数z满足(zi)(2i)5，那么z()A22i B22iC22iD22i答案 D解析 本题考查了复数的四则运算主要是除法运算(zi)(2i)5zi 52izi52i2i2i22i.故选 D.对于复数的考查重点是复数的乘法、除法运算导学号05300698三、简化复数运算的常用结论1in(nN)的周期性计算复数的乘积要用到虚数单位 i 的乘方，in 有如下性质：i1i，i21，i3ii2i，i4i3ii21，从而对于任何 nN，有 i4n1i4ni(i4)n
7、ii，同理可证 i4n21，i4n3i，i4n41，这就是说，如果 nN，那么有 i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41.注意：(1)上述公式中，说明 in(nN)具有周期性，且最小正周期是 4.(2)n 可推广到整数集(3)4k(kZ)是 in(nN)的周期显然 inin1in2in30(nN)因为 in(nN)具有周期性，解题时要灵活运用，或适当变形，创造条件转化为 i 的计算一般地，有(1i)22i，1i1ii，1i1ii.2 的性质由方程 x310，得 x11，x2,31 3i2，取 11 3i2，21 3i2，则具有如下关系：(1)31321；(2)1120；(3)212 或
8、 221；(4)12 且12；(5)121，1 12，2 11；(6)3n1，3n1，3n22.同样地，具有周期性，解题时灵活运用，适当变形，巧用 的性质，从而达到事半功倍的效果3共轭复数的性质在解题过程中，若能利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简，可使复杂问题简单化，设 zabi(a，bR)(1)|z|z|；(2)z z|z|2|z|2z2；(3)zRz z，非零复数 z 为纯虚数z z0；(4)z z2a，z z2bi；(5)z1z2 z1 z2，z1z2 z1 z2，(z1z2)z1z2(z20)(6)zn(z)n.4复数的模的运算性质设 zabi(a，bR)，|z|a2b2，(1
9、)|z|z|；(2)|z1z2|z1|z2|；(3)|z1z2|z1|z2|(z20)；(4)|zn|z|n；(5)|z|1z z1；(6)|z|2|z|2|z2|z 2|z z.设 z12 32 i(i 是数单位)，则 z2z23z34z45z56z6()A6zB6z2C6 zD6z答案 C导学号05300699解析 z212 32 i，z31，z412 32 i，z512 32i，z61，原式(12 32 i)(1 3i)(3)(22 3i)(525 32 i)633 3i6(12 32 i)6 z.课堂典例探究复数的乘除法计算下列各题(1)(4i5)(62i7)(7i11)(43i)；(
10、2)1i71i 1i71i 34i22i343i；(3)(32 12i)12(22i1 3i)8.导学号05300700解析(1)原式2(4i)(3i)(7i)(43i)2(123i4ii2)(284i21i3i2)2(117i)25(1i)4739i.(2)原 式 (1 i)23 1i1i (1 i)23 1i1i 834i1i21i34ii(2i)3i(2i)3(i)82i1ii881616i16i.(3)原式(i)12(32 12i)12(1i12 32 i)8(12 32 i)121i2412 32 i12 32 i33(12 32 i)34(88 3i)188 3i78 3i.方法总
11、结(1)复数的运算顺序与实数的运算顺序相同，都是先进行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低级运算(加、减)如 i 的幂运算，先利用 i 的幂的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算(2)对于复数的运算，除应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，计算过程就可以简化，起到快速简捷出错少的效果，如下结果，要记住(1i)22i；1i1ii；1i1ii；1ii.若 12 32 i，则 31，2 1，120.(1)(2015湖南理，1)已知1i2z1i(i 为虚数单位)，则复数 z()A1iB1iC1iD1i答案 D解析 由题意得，z1i21i 2i1i1i，故选
12、D.导学号05300701(2)(2015会宁县期中)复数 z3i2i 的共轭复数是()A2iB2iC1iD1i答案 D解析 本题考查了复数的除法运算以及共轭复数的求法z3i2i 3i2i2i2i 55i51i，故 z 的共轭复数为1i.在将复数的分母实数化时，要注意 i 前的系数的正负(3)计算1i(2 2i)511i41i1i7.解析 原式i(2)5(1i)22(1i)11i2 2i716 2(1i)14i16 214(16 21)i.共轭复数的应用设 z1z2C，且|z1|z2|1，|z1z2|2，求|z1z2|.分析 解答本题可由|z1z2|2，结合 z z|z|2 求解，或运用复数及
13、其运算的几何意义导学号05300702解析 解法 1：|z1z2|2(z1z2)(z1z2)(z1z2)(z 1 z 2)z1 z 1z2 z 2 z 1z2z1 z 22，又z1 z 1|z1|21，z2 z 2|z2|21，z 1z2z1 z 20.而|z1z2|2(z1z2)(z1z2)(z1z2)(z 1 z 2)z1 z 1z2 z 2(z1 z 2z2 z 1)|z1|2|z2|22，|z1z2|2.解法 2：由复数运算的几何意义及|z1|z2|1，|z1z2|2.知原点 O 和 z1，z2，z1z2 在复平面内的对应点构成正方形，且正方形边长为 1，又|z1z2|表示其中一条对角
14、线的长，故|z1z2|2.方法总结(1)涉及共轭复数的题目，要充分利用共轭复数的性质：如 z z等于 z 的实部的两倍，z z|z|2 等，另外注意复数问题实数化及方程思想的应用(2)求模问题往往和复数的加减运算的几何意义相联系设 z1、z2C，z1z2，Az1 z 2 z 1z2，Bz1 z 1z2 z 2，问A 与 B 可否比较大小，请说明理由解析 z1、z2C，z1z2，设 z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)，B(abi)(abi)(cdi)(cdi)a2b2c2d2，BR.又 Az1 z 2z2 z 1z1 z 2z2 z 1 z 1z2 z 2z1A，AR，A、B 可以比较大
15、小.导学号05300703in的周期性计算：(1)(2 1i15)(1i2)22；(2)2 3i12 3i(21i)2014.导学号05300704解析(1)原式(2 ii16)1i22 222(2i)2i112112ii112ii32ii22i.(2)原式i12 3i12 3i(21i)21007ii1007ii3ii0.方法总结 i 的幂的运算，先利用 in(nN)的周期性，将其次数降低，然后再进行四则运算求1ii2i3i2015的值解析 i4n1i4n2i4n3i4n4i1i10，1ii2i3i20151(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2009i2010i2011i2012)i
16、2013i2014i20151i45031i45032i450331ii2i30.导学号05300705综合应用已知复数 z12i,2z2z1i2i1z1，(1)求 z2；(2)若ABC 三内角 A、B、C 依次成等差数列，且 ucosA2icos2C2，求|uz2|的取值范围导学号05300706分析 根据条件，表示出|uz2|来，就很可能是问题得以解决的一个重大转化这需要正确的复数运算和三角交换及求值的技巧解析(1)z2122ii2i12i1ii1 2i2i.(2)在ABC 中，A、B、C 依次成等差数列，2BAC，B60，AC120.uz2cosA2icos2C2icosAi2cos2C
17、21 cosAicosC.|uz2|2cos2Acos2C1cos2A21cos2C2112(cos2Acos2C)1cos(AC)cos(AC)1cos120cos(AC)112cos(AC)由 AC120AC1202C，120AC120.12cos(AC)1.12112cos(AC)0)(1)求 a，b 的值；(2)试求使 z1z2zn0 的最小自然数 n；(3)对(2)中的自然数 n，求 z1z2zn 的值导学号05300707解析(1)z1，z2，z3 成等比数列，z22z1z3，即(abi)2bai.a2b2b2aba.a0，b12，a 32.(2)z11，z2 32 12i，公比
18、q 32 12i，zn(32 12i)n1.z1z2zn1qq2qn11qn1q 0，qn1.(32 12i)n(i)n(12 32 i)n1.(12 32 i)31，(i)41，n 既是 3 的倍数，又是 4 的倍数n 的最小值为 12.(3)z1z2z3zn1(32 12i)(32 12i)11(32 12i)1211(32 12i)66(12 32 i)(i)66(i)66i21.已知|z|2z9i，求复数z.错解 把等式两边同时平方，得z24z236iz81.即(z3i)(3z27i)0，z13i，z29i.辨析 本题的错因在于误用等式|z|2z2，把实数集中去绝对值的方法运用到了此处实质上，在复数集中，|z|2z2不一定成立由此可见，对数学概念有清晰且正确的理解是正确解题的关键导学号05300708正解 设 zabi(a，bR)，则由|z|2z9i，得 a2b22a(2b9)i.由复数相等的条件知 a2b22a，2b90，a3 32，b92.z3 32 92i.复数的运算复数的乘法运算法则掌握满足的运算律掌握复数的除法复数倒数的概念理解运算法则掌握课 时 作 业（点此链接）