1、浙江省台州市黄岩中学2020届高三数学下学期4月线上考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. ABx|2x1B. ABx|1x2C. ABx|x2D. ABx|x1【答案】C【解析】【分析】计算到Ax|2x2，Bx|x1，再计算交集并集得到答案.【详解】Ax|2x2，Bx|x1，ABx|1x2，ABx|x2.故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集并集计算，意在考查学生的计算能力.2.设复数z满足(1i)z2i，则|z|（ ）A B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先求出的表达
2、式，然后对其化简，求出复数的模即可.【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题.3.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案【详解】由三视图可得几何体是四棱锥，其中面面，底面是边长为的正方形，棱锥的高是，由棱锥的体积公式得，故选：A.【点睛】本题考查三视图、锥体的体积，考查简单几何体的三视图的运用培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力4.蒙日圆涉及的是几何学中的一
3、个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线 的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C： (a0)的蒙日圆，a=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得的值【详解】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，找两个特殊点分别为，则两条切线分别是，这两条切线相互垂直，且两条直线的交点为，而在蒙日圆上，所以，解得.故选：A【点睛】本小题主要考查利用给定的定理进行计算，考查椭圆的切线方程，属于基础题.5.某函
4、数的部分图像如下图，则下列函数中可作为该函数的解析式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数值恒大于等于，排除选项A、B、D，则答案可得.【详解】当时，函数值恒大于等于，而A选项中，当时，故排除A；当时，函数值恒大于等于，而B选项中，当时，故排除B；当时，函数值恒大于等于，而D选项中，当时，故排除D；因此，C选项正确；故选：C.【点睛】本题考查由函数图象判断函数的解析式，考查运算求解能力、数形结合思想，体现了数学运算的核心素养，破解此类问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的单调性与奇偶性来排除不适合的选项；二是利用特殊点排除不适合的选项，从而得出合适的选项.本题属于
5、中等题.6.设0p1，随机变量的分布列是则当p在(0，1)内逐渐增大时（ ）A. D()增大B. D()减小C. D()先增大后减小D. D()先减小后增大【答案】A【解析】【分析】由随机变量的分布列的性质求出E（），D()，由此能求出当p在（0，1）内增大时，D()的单调性，由此可得答案【详解】0p0）代入双曲线，可得：a2y2-2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可求得双曲线的渐近线方程【详解】抛物线表示焦点在y轴正半轴的抛物线，焦点坐标为，把代入双曲线，可得：，设A，B两点坐标分别为，该曲线的渐近线方程为：.故答案：；.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，
6、包括抛物线的图象及性质、双曲线的图象及性质，解题的关键是利用抛物线焦半径公式的应用将题目条件进行转化，属于中等题.16.已知等比数列满足则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】设公比为q，根据，可得，由此可得q的取值范围，再利用a4=a3q，即可得出【详解】设公比为q，a1(0,1),a2(1,2),a3(3,4)，：，由得，由得，得或，由可得：，a4=a3q，.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式可得公比q的取值范围，因此可得结果，属于基础题.17.已知，若恒成立，则正实数c的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据已知，去掉中的绝对值符号可得，利用均值不等式可确定
7、其范围，根据恒成立，可得出c的范围.【详解】已知，所以，令f(a)=，,当a+2=1，即a=-1时等号成立，又f(1)=，所以，恒成立，正实数c的最小值是，故答案为：.【点睛】本题考查不等式的综合应用，涉及绝对值不等式及均值不等式的应用，考查分类讨论及转化思想的应用，属于中等题.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知ABC中，AB：AC=，BC=2，求ABC面积的最大值.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理表示出cosC，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，根据二次函数基本性质代入即可
8、求出三角形ABC面积的最大值【详解】令AB=c，AC=b，BC=a=2，由可得，,当时,ABC面积取最大值,此时最大值为.【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数基本关系的运用，属于中等题.19.如图，在三棱锥P-ABC中PA平面ABC，ACBC，D为PC中点，E为AD中点，PA=AC=2，BC=1.（1）求证：AD平面PBC；（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值；（3）设点F在线段PB上，且，EF平面ABC，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）推导出PABC，ACBC，从而BC平面PAC，进而BCAD，再推出ADPC，由此能证明AD平面P
9、BC（2）推导出PA平面ABC，以C为原点，分别以CA、CB、AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法求出PE与平面ABD所成角的正弦值（3）求出，由EF平面ABC，平面ABC的一个法向量，利用向量法能求出的值【详解】(1)PA平面ABC,BC平面ABC,PABC,ACBC，PAAC=A，BC平面PAC，AD平面PAC，BCAD，在PAC中，PA=AC，D为PC的中点，ADPC，BCPC=C，AD平面PBC.(2)依题意，PA平面ABC，如图，以C为原点，分别以CA、CB、AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，依题意得A(2,0,0),B(0,1
10、,0),C(0,0,0),D(1,0,1),，设平面ABD的法向量，则,取x=1,得，设PE与平面ABD所成角为，则.(3)，,，EF平面ABC,平面ABC的一个法向量，,解得.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，直线与平面垂直的判定，属于中等题.20.在正项数列中，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，可证明，可得再利用作差法可得，从而可得结论；(2)由（1）中，可得，利用累积法可得，根据等比数列求和、等差数列求和及放缩法可得结论.【详解】证明：(1)，因为所以，所以，故与同号，又故，故，即，又.所以成立(2)由，可得，可得，又，综
11、上，.【点睛】本题是数列与不等式的综合问题，考点有数列递推式、等差等比数列求和公式、不等式性质、放缩法证明等，考查综合分析能力与转化与化归能力，属于较难题.21.如图，P是抛物线上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（1）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（2）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.【答案】（1）(x0)；（2）(2,+).【解析】【分析】（1）设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M（x0,y0），欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解；（2）欲求的取值范围，可转
12、化为将其表示成某变量的表达式，设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，分别过P、Q作PPx轴，QQx轴，垂足分别为P、Q，则，然后再利用韦达定理及均值不等式求此表达式的最值问题【详解】(1)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x0,y0)，依题意x10，y10，y20.由，得y=x.过点P的切线的斜率k=x1，直线l的斜率，直线l的方程为，联立消去y，得.M是PQ的中点，消去x1，得，PQ中点M的轨迹方程为(x0).(2)设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0,b).分别过P、Q作PPx轴，QQx轴，垂足分别为P、Q，则.由，y=kx+b消去x，得y22(k2+b)y+b2
13、=0.则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是(2,+).【点睛】本题考查轨迹方程，中点坐标公式，直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是将问题的转化再结合韦达定理即可，属于难题.22.已知函数，其中.（1）当时，若直线是曲线切线，求的最大值；（2）设，函数有两个不同的零点，求的最大整数值.（参考数据）【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可得，因此，利用导数研究其单调性，即可求出 的最大值，即求出的最大值.（2）根据题意，关于的方程有两个不同的解，设利用导数得到存在使得.则要使得关于的方程有两个不同的解，则，当时，设经
14、验证 有两个不同的零点，即可证明.【详解】解：（1）设直线与曲线相切于点，.又因为点在切线上，所以.所以 .因此设，则 令得，；令得，.在上单调递增，在上单调递减.的最大值为.则的最大值为.（2）函数有两个不同的零点,等价于方程有两个不相等的实根.设，则等价于方程有两个不同的解，即关于的方程有两个不同的解，设,则.设，由可知 在上单调递减，又存在使得，即，则.当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以函数的极大值为.要使得关于的方程有两个不同的解，则.当时，设，则可知在上单调递增，在上单调递减，又 p（1）0所以有两个不同的零点，符合题意，所以的最大整数值为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的最值，以及函数与方程的关系.对于 型的函数， 的零点个数就等同于 图像的交点个数.