1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。等比数列的性质及应用(习题课)必备知识自主学习导思1.等比数列的项有哪些性质？2怎样应用等比数列的性质简化运算？1.推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则ana1qn1，anamqnm(m，nN*).2“子数列”性质对于无穷等比数列an，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.如何推导anam?提示：由，所以anam.3
2、等比数列项的运算性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kN*)时，amana.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.4两等比数列合成数列的性质若数列an，bn均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列can，a，anbn，也为等比数列等比数列an的前4项为1，2，4，8，man(m是非零常数)能成为等比数列吗？提示：不能，取前三项检验即可，若成等比数列，则，解得m0，显然不合题意1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于
3、首末两项的积()(2)当q1时，an为递增数列()(3)当q1时，an为常数列()(4)若an，bn都是等比数列，则anbn是等比数列()提示：(1).根据等比数列的定义可以判定该说法正确(2).当q1，a10时，an才为递增数列(3).当q1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列(4).如an1，bn1，显然anbn0，所以anbn不是等比数列2由公比为q的等比数列a1，a2，依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，是()A.等差数列B.以q为公比的等比数列C.以q2为公比的等比数列D.以2q为公比的等比数列【解析】选C.因为q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列3
4、已知等比数列an中，a47，a621，则a8的值为()A35 B63 C21 D21【解析】选B.因为an成等比数列所以a4，a6，a8成等比数列，所以aa4a8，即a863.4在等比数列an中，各项都是正数，a6a10a3a541，a4a84，则a4a8_【解析】因为a6a10a，a3a5a，所以aa41，又a4a84，所以(a4a8)2aa2a4a841849，因为数列各项都是正数，所以a4a87.答案：7关键能力合作学习类型一由等比数列衍生的新数列(数学运算)【典例】已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等于()A4 B6 C7 D5【思路导引
5、】等比数列连续三项的积仍是等比数列【解析】选D.因为an为等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，所以(a4a5a6)2(a1a2a3)(a7a8a9)50，又an各项均为正数，所以a4a5a65.整体代换的作用从等比数列截取几段，每一片段的积仍能构成等比数列，借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量【补偿训练】 在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_【解析】设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.答案：8类型二等比数
6、列性质的应用(数学运算)【典例】已知an为等比数列(1)等比数列an满足a2a4，求a1aa5；(2)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(3)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值四步内容理解题意条件：an为等比数列两项之积为常数结论：求另外项的积或和思路探求利用等比数列的性质，若mnpq，则amanapaq求解书写表达(1)等比数列an中，因为a2a4，所以aa1a5a2a4，所以a1aa5.(2)由等比中项，化简条件得a2a3a5a25，即(a3a5)225，因为an0，所以a3a55.(3)由等比数列的性质知a5a6a1a10a2a9a3a
7、8a4a79，所以log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.题后反思从下标的关系对应到项的关系，一般为积相等等比数列性质的作用有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质1设各项均为正数的等比数列an满足a4a83a7，则log3(a1a2a9)等于()A38 B39 C9 D
8、7【解析】选C.因为a4a8a5a73a7且a70，所以a53，所以log3(a1a2a9)log3alog3399.2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A.7 B5 C5 D7【解析】选D.因为数列an为等比数列，所以a5a6a4a78，联立解得或所以q3或q32，故a1a10a7q37.3(1)已知数列an为等比数列，a33，a1127，求a7；(2)已知an为等比数列，a2a836，a3a715，求公比q.【解析】(1)方法一： 相除得q89.所以q43，所以a7a3q49.方法二：因为aa3a1181，所以a79，又a7a3q43q40，所以a79.(2)因为
9、a2a836a3a7，而a3a715，所以a33，a712或a312，a73.所以q44或，所以q或q.类型三等比数列的实际应用(数学运算、数学建模)【典例】某工厂2020年1月的生产总值为a万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为多少万元？【思路导引】每月生产总值比上一个月增长m%，说明各月产值构成等比数列【解析】设从2020年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an1ananm%，所以1m%.所以数列an是首项a1a，公比q1m%的等比数列所以an.所以2021年8月底该厂的生产总值为a20a(1m%)19(万元).等比
10、数列实际应用数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解1在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数初始感染者传染R0个人，为第一轮传染，这R0个人中每人再传染R0个人，为第二轮传染，.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定假设新冠肺炎的基本传染数R03.8，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M1 000时需要的天数至少
11、为(参考数据：lg 381.58)()A34 B35 C36 D37【解析】选D.设第n轮感染人数为an，则数列为等比数列，其中a13.8，公比为R03.8，所以an3.8n1 000，解得nlog3.81 0005.17，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数为5.17736.19，即需要的天数至少为37天2(2021兰州高二检测)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为()A.55 989 B46 656C.216 D36【解析】选B.设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an
12、，根据题意得数列成等比数列，它的首项为6，公比q6，所以的通项公式：an66n16n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a66646 656只蜜蜂课堂检测素养达标1若数列an是等比数列，则下列式子一定成立的是()Aa2a5a1a6 Ba1a9a10Ca1a9a3a7 Da1a2a7a4a6【解析】选C.根据等比数列的性质，知a1a9a3a7.2已知各项均为正数的等比数列an中，lg (a3a8a13)6，则a1a15的值为()A100 B100 C10 000 D10 000【解析】选C.因为a3a8a13a，所以lg (a3a8a13)lg a3lg a86.所以a8100.又a1a
13、15a10 000.3(2021北京高二检测)已知等比数列an满足a11，a48，则a7等于()A32 B32 C64 D64【解析】选D.根据题意，设等比数列an的公比为q，若a11，a48，则有q38，解得q2，故a7a1q664.4在等比数列an中，已知a7a125，则a8a9a10a11的值为_【解析】因为a7a12a8a11a9a105，所以a8a9a10a1125.答案：255在等比数列an中，已知a32，a158，求a9的值【解析】因为a9是a3和a15的等比中项，所以a94，注意到在等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同，所以a94.关闭Word文档返回原板块- 12 - 版权所有高考资源网