1、A15.函数综合(1)一、基础知识1.函数是最重要的数学思想,在处理函数综合问题时,借助函数图象数形结合处理函数综合问题是重要且有效的方法. 分类讨论、换元、等价转化是常见的处理手段.2.一次、二次、指数、对数、幂函数、双勾、双升、双减、一二次比式、三角函数等是函数的基本载体.二、典型例题与基本方法1.若函数区间上的值域为则的值是 2.如果函数且在上是增函数,则实数的取值范围是 3.如果函数在区间上单调递减,则的最大值为 4.已知函数的图象上关于轴对称的点恰好有3对,则实数的取值范围是 5.已知函数定义函数给出下列命题：；函数是偶函数；当时,若则有成立；当时,函数有4个零点.其中正确结论的序号
2、是 6.函数的值域为 7.若函数的最大值为11,则 8.在中,点分别在边上,且,则的最大值为 9.已知在中,若为线段上的点,且,则的最大值为 10.在扇形中,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是 11.设.(1)求的值. (2)已知的定义域为求实数的取值范围.12.已知向量函数(1)求函数的解析式；(2)设当时,有解,求实数的取值范围；(3)设求函数的值域.13.已知两点的坐标分别为,其中(1)求的表达式；(2)若为坐标原点),求的值；(3)若,求函数的最小值.B15.练习 姓名： 1.关于的方程,给出下列四个命题：存在实数,使得方程恰有2个不同的实根；存在实数,使得方程恰有4个不同的实根；存
3、在实数,使得方程恰有5个不同的实根；存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.在中,角的对边分别是,若,则的大小为 3.设为锐角,若,则的值为 4.若方程有两个不同的解,则实数的取值范围是 5.已知函数的值域为,设,若不等式在 上有解,则实数的取值范围为 6.如图,矩形中,分别为线段的点,且满足,若,则的最小值为 7.已知向量(1)求的值；(2)若,且,求的值. 8.已知向量及实数满足若且 (1)求关于的函数关系式及其定义域；(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.A15.函数综合(1)一、基础知识1.函数是最重要的数学思想,在处理函数综合问
4、题时,借助函数图象数形结合处理函数综合问题是重要且有效的方法. 分类讨论、换元、等价转化是常见的处理手段.2.一次、二次、指数、对数、幂函数、双勾、双升、双减、一二次比式、三角函数等是函数的基本载体.二、典型例题与基本方法1.若函数区间上的值域为则的值是 解：由为奇函数,所以函数的图象关于对称.因为函数的值域为所以于是2.如果函数且在上是增函数,则实数的取值范围是 解：令则 当时,函数在上单调递增,且要使原函数是增函数,二次函数需要满足解得此时无解.当时, 函数在上单调递减,且要使原函数是增函数,二次函数需要满足解得或于是所以实数的取值范围是3.如果函数在区间上单调递减,则的最大值为 解：当时
5、,若函数在区间上单调递减,则所以所以当时,函数图象为开口向上的抛物线,若函数在区间上单调递减,则对称轴即当且仅当即时,取得最大值当时,函数图象为开口向下的抛物线,若函数在区间上单调递减,则对称轴即则因为所以综上的最大值为4.已知函数的图象上关于轴对称的点恰好有3对,则实数的取值范围是 解：与有三个交点,因为所以,故实数的取值范围是5.已知函数定义函数给出下列命题：；函数是偶函数；当时,若则有成立；当时,函数有4个零点.其中正确结论的序号是 解：令时,当时,所以错误.因为所以正确.当时,若函数是单调递增,所以成立.所以正确.当时,因为函数是偶函数,且函数的最小值是1.所以函数有4个零点.所以正确
6、.所以其中正确结论的序号是.6.函数的值域为 解：由 2x2+4-2x2=4,可设 2x=2cos,4-2x=2sin,02,则y=x+4-2x=2cos+2sin=6sin+,其中 cos=26,sin=26.由 02,得 +2+,则sinsin+1,即得26sin+6.7.若函数的最大值为11,则 解：fx=asinx+bcosx-1+bsinx-acosx=a2+b2sinx+-1+a2+b2cosx+a2+b2sinx+a2+b2cosx+1=a2+b2sinx+cosx+1=2a2+b2sinx+4+1, 因为函数 fx 的最大值为 11,所以 2a2+b2+1=11,可得 a2+b
7、2=50.8.在中,点分别在边上,且,则的最大值为 解：9.已知在中,若为线段上的点,且,则的最大值为 解：由 ABAC=9,得 ABACcosA=9,又 AC=3,所以 ABcosA=3 ,由 SABC=6,得 ABsinA=4 ,联立可得 AB=5,cosA=35,所以 BC2=AC2+AB2-2ABACcosA=16,即 BC=4,所以 ABC 为直角三角形,以 CA 所在的直线为 x 轴,CB 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系可得 C0,0,A3,0,B0,4.又 P 为线段 AB 上的点,则存在实数 使得 CP=CA+1-CB=3,4-401,设 CACA=e1,CBCB=e2
8、,且 e1=1,0,e2=0,1,所以 CP=x,0+0,y=x,y,故 x=3,y=4-4,则 4x+3y=12,又 4x+3y24x3y,所以 xy3,故 xy 的最大值为 3.10.如图,在扇形中,为弧上的一个动点.若,则的取值范围是 解：设半径为 1,由已知可设 OB 为 x 轴的正半轴,O 为坐标原点,建立直角坐标系.那么 B1,0,A12,32,Ccos,sin.由题意得OC=x12,32+y1,0.整理得x2+y=cos32x=sin.解得x=2sin3y=cos-sin3.故x+3y=2sin3+3cos-3sin=3cos-33sin.03而函数 f=3cos-33sin 在
9、 0,3 上为减函数,由单调性求得其值域为 1,3.11.设.(1)求的值. (2)已知的定义域为求实数的取值范围.解：(1)因为所以因为所以(2)对任意的恒成立.若即当时,对任意的恒成立.当时,即为对任意的不恒成立,故若解得或综上所述实数的取值范围为12.已知向量函数(1)求函数的解析式；(2)设当时,有解,求实数的取值范围；(3)设求函数的值域.解：(1)(2)因为所以所以所以所以有解,即有解,故(3)法1：设则当时,当时,其中在递增,在递减,在递减.所以从而法2：设得令其中当时,即有解.当时,由时有解,得,解得无解. 解得从而所以函数的值域为13.已知两点的坐标分别为,其中(1)求的表达
10、式；(2)若为坐标原点),求的值；(3)若,求函数的最小值.解：(1) 因为 x-2,0,所以AB=cos3x2-cosx22+-sin3x2-sinx22=2-2cos2x=4sin2x=-2sinx.(2) 由已知,得OAOB=cos2x=13,则sin2x=1-cos2x2=13,cos2x=1+cos2x2=23.因为 x-2,0,所以sinx=-33,cosx=63.于是 tanx=-22.(3) 由(1),得fx=AB2+4AB=4sin2x-8sinx=4sinx-2-42.由 x-2,0,得 sinx-1,0.当 -10 时,fx 的最小值为 -42,此时 sinx=.当 0
11、时,fx 的最小值为 0,此时 sinx=0.综上,fxmin=8+4,0B15.练习 姓名： 1.关于的方程,给出下列四个命题：存在实数,使得方程恰有2个不同的实根；存在实数,使得方程恰有4个不同的实根；存在实数,使得方程恰有5个不同的实根；存在实数,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解：A根据题意可令 x2-1=tt0,则原方程化为 t2-t+k=0,设方程 t2-t+k=0 的两根为 t1,t2(不妨设 t1t2),则 =1-4k0,得 k14.则 t1+t2=1,t1t2=k, 结合 t=x2-1 的图象可知：当 k0 时,t101t2,所以原
12、方程有 2 个不同的实根.当 k=0 时,t1=0,t2=1,所以原方程有 5 个不同的实根.当 k=14 时,t1=t2=12,所以原方程有 4 个不同的实根.当 0k14 时,0t1t20,则原方程转化为 t+1t+2=2m+1,根据对勾函数的图象可得,要使 y=2m+1 与 y=t+1t+2 的图象有两个不同的交点,则函数 y=2m+1 的值要大于函数 y=t+1t+2 的最小值,而其最小值是 4,所以 2m+14,解得 m1. 实数 m 的取值范围是1,+法2由题意知 x0,x-10, 即 x1,方程化简为 log2x2x-1=m+1,故 x2x-1=2m+1,即 x2-2m+1x+2
13、m+1=0,此方程在 x1 时有两个不同的解,所以 2m1,1-2m+1+2m+10,=22m+2-42m+10, 得 m1.5.已知函数的值域为,设,若不等式在 上有解,则实数的取值范围为 解：由 gx=x2-ax+1 的值域为 0,+,得方程 x2-ax+1=0 的判别式 =0,即 a=4,即 fx=x+1x-2,所以 f2k-k2x0 可化为 2x+12x-2k2x,即 1+12x2-212xk,令 t=12x,则 kt2-2t+1,因为 x-1,1,故 t12,2,记 ht=t2-2t+1,则 htmax=1,所以 k 的取值范围为 -,1.6.如图,矩形中,分别为线段的点,且满足,若
14、,则的最小值为 解：以 A 为坐标原点,以 AB,AD 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立坐标系,N 点的横坐标为 a,M 点的纵坐标为 b.则 A0,0,B3,0,D0,4,C3,4,M3,b,Na,4.因为 AC=xAM+yAN,即 3,4=x3,b+ya,4.所以 3x+ay=3bx+4y=4.所以 x+y=4a+3b-24ab-12.又 1CM2+1CN2=1,即 14-b2+13-a2=10b3,0a14,cos1314sin223.代入 x+y=1+14sin+3cos-1.所以当 sin=45,b=114,a=43 时,x+y 的最小值为 54.7.已知向量(1)求的值；(2)
15、若,且,求的值.解： (1) a=cos,sin , b=cos,sin , a-b=cos-cos,sin-sin , a-b=255 , cos-cos2+sin-sin2=255 ,即 2-2cos-=45 , cos-=35 .(2) 02 , -20 , 0- , cos-=35 , sin-=45 , sin=-513 , cos=1213 , sin=sin-+=sin-cos+cos-sin=451212+35-513=3365 sin=3365 .8.已知向量及实数满足若且 (1)求关于的函数关系式及其定义域；(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.解：(1) 因为 ab,所以 ab=0.又因为 a=b=1,c10,所以c2=cc=a+x-3b2=1+x-3210.所以 0x6.因为 cd,所以 cd=0.故cd=a+x-3b-ya+xb=-y+xx-3=0,所以 y=fx=xx-3,其定义域为 0,6.(2) 当 1x2 时,若 fxmx-16 恒成立,即 x2-3xmx-16 恒成立,亦即 mx+16x-3 恒成立.令 gx=x+16x-3,当 1x2 时,gxmin=g2=7,m7.
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