1、成都七中高三数学综合测试理科一、选择题：（本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，若 ，则中元素的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知条件可得，进而可得出关于的等式，求出的值，即可求得中元素的和.【详解】，则，因此，集合中元素的和为.故选：B.2. 设为虚数单位，复数为纯虚数，则A. 2B. -2C. D. 【答案】D【解析】【分析】整理得：，由复数为纯虚数列方程即可得解【详解】因为又它是纯虚数，所以，解得：故选D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题3. 下
2、列命题中一定正确的是（）A. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B. 如果平面平面，直线与平面垂直，那么C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D. 如果直线与平面相交但不垂直，为空间内一条直线，且，那么与平面相交【答案】C【解析】【分析】按立体几何的性质逐项判断即可.【详解】如图，平面 平面, ，在内但不垂直于平面，所以A错误； B错误：在内时可与平面垂直但不平行于；C正确：如果平面不垂直于平面，那么由面面垂直的判断定理得平面内一定不存在直线垂直于平面;D错误：在平面内时可垂直于但不与相交.故选：C.4. 设向量，则“”是“”的A. 充分但不必要条件B. 必要
3、但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充要条件判断方法进行判断即可.【详解】若，则，则；但当时， 故“”是“”的充分但不必要条件.选A.【点睛】本题考查充分不必要条件条件的判断，属基础题.5. 造纸术印刷术指南针火药被称为中国古代四大发明，这四种发明对中国古代的政治经济文化的发展产生了巨大的推动作用；2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了“中国的新四大发明”：高铁扫码支付共享单车和网购若从这8个发明中任取两个发明，则两个都是新四大发明的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】这是一个古典概型，先求得从8个发明中
4、任取两个发明的基本事件数，再求得两个都是新四大发明基本事件数，代入公式求解.【详解】从8个发明中任取两个发明共有种，两个都是新四大发明的有种，所求概率为，故选：C6. 已知的内角，成等差数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由等差中项的性质求出，再由辅助角公式得到，最后再由诱导公式计算可得；详解】解：，成等差数列，又，由得，则，故选：D7. 展开式中项的系数为160，则（ ）A. 2B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.【详解】二项式展开式的通项为，令可得二项式展开式中的系数为，展开式中的系数为，可得，
5、解得，故选：C8. 已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的图象过，两点，求得周期，进而求得，然后将点的坐标代入求得，再 将的图象向左平移个单位得到函数，利用余弦函数的单调性求解.【详解】由图象知，则，将点的坐标代入得，即，又，则，将的图象向左平移个单位得到函数，在上的最小值为，故选：A9. 学校运动会上，有，三位运动员分别参加3000米，1500米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作（每个同学只能参加一个后勤
6、服务小组）.若甲在A的后勤服务小组，则这五位同学的分派方案有（ ）种A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分三类，A小组只有一人，只有两人，恰有三人三种情况，再利用分类加法计数原理求解.【详解】若A小组只有一人，则5人分配方案有种；若A小组只有两人，则5人的分配方案有种；若A小组恰有三人，则5人的分配方案有种，所以共有50种，故选：B.10. 已知椭圆：的左右焦点分别为，是椭圆的上顶点，直线与直线交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，写出直线的方程，与联立求得点A，再由求解.【详解】由题设知，直线的方程为，联立得，设直线与轴交于点
7、，则，即，即，故选：A11. 如图，已知四棱锥的底面是边长为6的菱形，相交于点，平面，是的中点，动点在该棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的长为（ ）A. 3B. 7C. 13D. 8【答案】D【解析】【分析】取，的中点，连接，利用中位线可得到，再利用线面平行以及面面平行的判定定理得到平面平面，再利用线面垂直的判定定理得到平面，进而得到平面，可得动点的轨迹的周长即为的周长，求解即可.【详解】取，的中点，连接，是的中点，平面，平面，则平面；平面，平面，则平面，又，平面平面，平面，又四边形是菱形，平面，则平面，故只要动点在平面内即总保持，又动点在棱锥表面上运动，动点的轨迹的周长即为的周长，四
8、边形是菱形边长为6，且，则，又，故，的周长为8，故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查了线面平行以及面面平行的判定定理，考查了线面垂直的判定定理以及以及性质定理；解决本题的关键是通过证明平面平面，得到平面，进而得到动点在平面内即总保持.12. 已知函数的导函数是，的图象关于点对称，对任意实数都有，且在上单调递增，设，则的大小关系是（）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得是偶函数，图象关于直线对称，周期为2，在上的单调性，构造函数，利用导数判断出的单调性可得答案.【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，是奇函数，是偶函数，关于直线对称，所以的周期为2，因
9、为在上单调递增，所以在上单调递减，上单调递增，令，则，当时，单调递减，且，所以，即，可得，设，则，设函数，所以在上是减函数，.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用函数的单调性比较大小.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知点在双曲线上，直线是双曲线的渐近线，则双曲线的标准方程是_【答案】【解析】【分析】由渐近线方程可设双曲线的方程为：，根据双曲线经过点代入即可求解【详解】由题意得：双曲线的渐近线为：，所以可设双曲线的方程为：，因为点在双曲线上，所以代入得：，即：，所以：双曲线的方程为：.故答案为：.14. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则切
10、点的坐标为_【答案】【解析】【分析】由求得的坐标.【详解】依题意函数在点处的切线与直线垂直,令，即，所以切点坐标为.故答案为：15. 已知点在同一平面，且三点不共线，且满足，其中，则的值为_，则的面积为_.【答案】 . . 【解析】【分析】利用，得出，两边平方可得；利用可求夹角的余弦值，结合三角形面积公式可求的面积.【详解】因为，所以，所以，故，解得.又因为，所以，所以；故答案为：；.16. 已知的内角，的对边分别为，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，利用均值不等式求解即可.【详解】，即，由正弦定理得，由余弦定理知，则，则，当且仅当时，
11、等号成立即的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、余弦定理可得,再根据重要不等式 求解，余弦定理、正弦定理的灵活运用是解题关键.三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 已知首项为4的数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列的前n项和【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列； （2）利用分组求和法及等比数列求和公式可求得结果.【小问1详解】由题意，即，故，即，又，故数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，即数列的前n项和为，数列的前n
12、项和为，故18. 从2020年元月份以来，全世界的经济都受到了新冠病毒的严重影响，我国抗疫战斗取得了重大的胜利，全国上下齐心协力复工复产，抓经济建设；某公司为了提升市场的占有率，准备对一项产品实施科技改造，经过充分的市场调研与模拟，得到，之间的五组数据如下表：2357858121416其中，（单位：百万元）是科技改造的总投入，（单位：百万元）是改造后的额外收益；设是对当地生产总值增长的贡献值（1）若从五组数据中任取两组，求恰有一组满足的概率；（2）记为时的任意两组数据对应的贡献值的和，求随机变量的分布列和数学期望；（3）利用表中数据，甲乙两个调研小组给出的拟合直线方程分别为甲组：，乙组：，试用
13、最小二乘法判断哪条直线的拟合效果更好？附：对于一组数据，其拟合直线方程的残差平方和为，越小拟合效果越好【答案】（1） ；（2）分布列见解析；期望为 ；（3）甲组给出的拟合直线方程拟合效果更好 【解析】【分析】（1）通过列举法，利用古典概型公式求解即可；（2）满足的数据是后3组（贡献值分别为：22,28,32），可得的值为50，54，60，分别求概率可得分布列，进而里期望公式可得期望；（3）分别计算两条直线的残差平方和，取较小的位拟合效果好的.【详解】（1）设所给五组数据分别为，（只有满足），从五组数据中任意取出两组的情况有：，共10种情况，其中，恰有一组满足的有：，共4种情况，故所求概率为；（
14、2）满足的数据是后3组（贡献值分别为：22,28,32），的值为50，54，60，则，的分布列为：505460数学期望；（3）用甲组给出的拟合直线方程列表如下：235785812141657111517用乙组给出的拟合直线方程列表如下：23578581214163.56111618.5由表中数据得，故甲组给出的拟合直线方程拟合效果更好【点睛】思路点睛：一、计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）树状图法；（4）排列组合数的应用.二、求离散型随机变量的数学期望的一般步骤：（1）先分析的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到的分布列；（3）结合（2
15、）中分布列，根据期望的计算公式求解出的数学期望.19. 如图1，在中，D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角.（1）求证：平面；（2）设为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及勾股逆定理证得，再结合面面垂直的性质定理证得结果；（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量法求平面的法向量、平面的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值得出结果.【小问1详解】在中，为中点，又，.二面角为直二面角，平面平面，又平面平面平面，平面【小问2详解】以为坐标原点，所在
16、直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.可求得，由得，因为为的中点，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，则得取，得取，设二面角为，所以二面角的余弦值为20. 已知椭圆：的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于，两点，为椭圆的下顶点，为等腰三角形，当轴时，的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线不与坐标轴垂直，线段的中垂线与轴交于点，若直线的斜率为，求直线的方程【答案】（1） ；（2）或 【解析】【分析】由已知条件得b，又直线l过，当轴时，再由的面积得出有关a的方程，求出a，b，c的值，可得出椭圆C的标准方程；设直线l的方程为，结合韦达定理及中垂线的
17、性质可得t的值，进而可得方程【详解】【详解】（1）由题设知，为等腰三角形，又直线过，当轴时，的面积为，由解得，；故椭圆的标准方程为（2）由（1）知，设直线的方程为，由得，设，设线段的中点为，则，即设，解得，即，直线的斜率为，即，解得，或，故直线的方程为或【点睛】关键点点睛：先设直线联立方程组求出线段的中点为，再由求出是解题的关键，利用直线斜率求出，本题计算量较大属于难题.21. 已知函数，其中（1）若，求的单调区间；（2）已知，解关于x的不等式（参考数据：）【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2）.【解析】【分析】（1）对函数求导，研究导函数的符号，进而确定其单调区间；（2）由题意得，即，
18、对函数求导，研究导函数的符号，判断单调性，进而可得最小值，即得.【小问1详解】由题设，则，且，所以，当时，当时，所以的减区间为，增区间为.【小问2详解】由题意，所以，即因为，所以，又，且，当或时，或时，所以、上递减，、上递增，又极小值，故最小值为，所以不等式的解集为.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系中，直线
19、过定点，倾斜角为，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知直线交曲线于，两点，且，求的参数方程【答案】（1） ；（2）（为参数） 【解析】【分析】（1）由，消去t，得到普通方程，再由代入求得极坐标方程.（2）设的参数方程为（为参数），代入，由韦达定理得到，然后由求解.【详解】（1）由，得，即，又，即曲线的极坐标方程为；（2）设的参数方程为（为参数），代入整理得，设方程的两根分别为，则，则，解得，故的参数方程为（为参数）【点睛】易错点点睛：在利用参数的几何意义时，一定要将参数方程化为标准方程.23. 已知函数，（1）当时，解不等
20、式；（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1） ；（2） 【解析】【分析】（1）由得，将所求不等式化为，利用分类讨论的方法，即可求出结果；（2）先将题中条件化为对任意的恒成立，由单调性求出在给定区间的最小值，即可得出结果.【详解】（1）当时，则不等式为，当时，为恒成立，当时，为，解得，或，或，综上，不等式的解集为；（2）不等式等价于，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，函数在区间上单调递增，最小值为，故实数的取值范围是【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法：（1）基本性质法：为正实数，或；（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于或型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解.
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