1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.5.2点到直线的距离1.点到直线的距离(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.2.两条平行直线间的距离(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.(2)公式:直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=.(3)本质:
2、用代数方法求平面内两条平行直线间的距离.直线l1,l2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离?提示:直线l1,l2的方程必须是一般式,且一次项系数A,B相同.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b0)的距离d=y0-b.()(2)点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a0)的距离d=|x0-a|.()(3)两直线2x+2y=m与x+y=2n的距离为.()提示:(1).点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=b(b0)的距离应为d=|y0-b|,因为y0与b的大小不确定.(2).点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=a(a0)的
3、距离d=|x0-a|,式子中加了绝对值,所以正确.(3).求两条平行线间的距离必须先把x与y的系数变为相同形式.2.原点到直线x+2y-5=0的距离为()A.1B.C.2D.【解析】选D.d=.3.两条平行线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0的距离为()A.3B.2C.1D.【解析】选C.d=1.4.(教材二次开发:例题改编)若第二象限内的点P(m,1)到直线x+y+1=0的距离为,则m的值为.【解析】由=,得m=-4或m=0,又因为m0,所以m=-4.答案:-4类型一点到直线的距离公式(数学运算)1.点P(1,-1)到直线l:3y=2的距离是()A.3B.C.1D.2.已知
4、点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m=()A.0B.C.3D.0或3.已知点P(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点P的坐标为()A.(0,-2)B.(2,4)C.(0,-2)或(2,4)D.(1,1)4.点P(x,y)在直线x+y-4=0上,则x2+y2的最小值是()A.8B.2C.D.16【解析】1.选B.点P(1,-1)到直线l的距离d=.2.选D.点M到直线l的距离d=,所以=3,解得m=0或m=.3.选C.直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得=,整理得|t|=1,所以t=1或-1.当t=1时,点P的坐标为(2,4);当t=-1
5、时,点P的坐标为(0,-2).4.选A.x2+y2=()2,它表示原点到(x,y)距离的平方,x2+y2的最小值即为原点到直线x+y-4=0的距离的平方,=8.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式,若给出其他形式应化为一般式;(2)点P在直线l上时,点到直线的距离为0,公式仍然适用;(3)直线方程Ax+By+C=0中,A=0或B=0公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解.【补偿训练】1.若点(4,a)到直线4x-3y=0的距离不大于3,则a的取值范围是()A.B.3,4C.(0,10)D.(-,0)10,+)【解析】选A.由3,即|3a
6、-16|15,所以a.2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()A.B.-C.-或-D.-或【解析】选C.由点到直线的距离公式可得=,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-或-.3.已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是()A.(a-b)B.(b-a)C.b-aD.【解析】选B.因为P(a,b)是第二象限的点,所以a0.所以a-b0)与x-ny-3=0之间的距离是,则m+n=()A.0B.1C.-1D.-2【解析】选A.由直线x+2y+m=0(m0)与x-ny-3=0平行可得-n=2即n=-2,又因为直
7、线x+2y+m=0(m0)与x+2y-3=0的距离为,所以=,解得m=2或m=-8(舍去),所以m+n=2+=0.2.到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程为()A.2x+y=0B.2x+y-2=0C.2x+y=0或2x+y-2=0D.2x+y=0或2x+y+2=0【解析】选D.因为所求与直线2x+y+1=0的距离为,所以可得所求直线与已知直线平行,设所求直线方程为2x+y+c=0(c1),所以d=,解得c=0或c=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.类型三距离的综合应用(数学运算、直观想象)角度1计算三角形面积【典例】已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则A
8、BC的面积等于()A.3B.4C.5D.6【思路导引】计算一条边长和这条边上的高,即第三个顶点到这条边的距离.【解析】选C.设AB边上的高为h,则SABC=ABh,AB=2,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.AB边所在的直线方程为=,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为=,因此,SABC=2=5.角度2求直线方程【典例】已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线l的方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边所在直线的方程.【思路导引】先求出正方形中心坐标,利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解.【解析】设与直线
9、l:x+3y-5=0平行的边所在的直线方程为l1:x+3y+c=0(c-5).由得正方形的中心坐标为P(-1,0),由点P到两直线l,l1的距离相等,得=,解得c=7或c=-5(舍),所以l1:x+3y+7=0.又正方形另两边所在直线与l垂直,所以设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0.因为正方形中心到四条边的距离相等,所以=,得a=9或a=-3,所以另两条边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0.所以另三边所在的直线方程分别为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程.【解析】由例题知,正方形中
10、心坐标为P(-1,0),则与OP垂直的直线到原点的距离最大.因为kOP=0,所以此时所求直线方程为x=-1.距离公式综合应用的三种常用类型(1)最值问题:利用对称转化为两点之间的距离问题.利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题,通过配方求最值.(2)求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值.(3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素点和方向,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助三种距离公式求解.1.已知ABC中,A(1,1),B(m
11、,)(1m4),C(4,2),求m为何值时,ABC的面积S最大?【解析】因为A(1,1),C(4,2),所以AC=.又AC边所在直线的方程为x-3y+2=0,根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=.所以S=ACd=|m-3+2|=-.因为1m4,所以12,-.所以01),则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b).所以AD=,BC=b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离,故h=(b1),由梯形的面积公式得=4,所以b2=9,b=3.又b1,所以b=3.从而得直线l2的方程是x+y-3=0.1.直线6x+8y-2=0与6x+8y-3=0间的距离为()A.1B.
12、3C.D.【解析】选C.由平行线间的距离公式可知,直线间的距离为d=.2.点P(a,0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3,则实数a的取值范围为()A.a7B.a3C.a7或a3,解得a7或a-3.3.若直线l1:x+ay+6=0与l2:x+3y+2a=0平行,则与间的距离为()A.B.C.D.【解析】选B.由题:直线l1:x+ay+6=0与l2:x+3y+2a=0平行,则3=a,即a2-2a-3=0解得a=3或a=-1,当a=3时,直线l1:x+3y+6=0与l2:x+3y+6=0重合;当a=-1时,直线l1:x-y+6=0与l2:x-y+=0平行,两直线之间的距离为=.4.(教材二次开发:练习改编)若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则实数k的值是.【解析】因为=4,所以|16-12k|=52,所以k=-3或k=.答案:-3或5.已知直线l经过点(-2,3),且原点到直线l的距离等于2,求直线l的方程.【解析】当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x=-2,符合原点到直线l的距离等于2.当直线l的斜率存在时,设所求直线l的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,由d=2,得k=-,即直线l的方程为5x+12y-26=0.关闭Word文档返回原板块- 12 - 版权所有高考资源网