1、成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届半期考试数学试题（理）（总分：150 分，时间：120 分钟）第卷（共 60 分）一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分，每一题只有一个选项符合题意）1.已知复数1 2i1 iz，则 z 的实部为（）A.12B.12C.32D.32【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求得 z，即可得 z，即可得答案.【详解】1 2i 1 i1 2i1 3i=1 i1 i 1 i2zz ，故1 3i2z，则 z 的实部为12，故选：B2.2lg2lg2 lg50lg4=（）A.2B.0C.1lg 2D.14【答案】B【解析
2、】【分析】利用对数运算求解.【详解】22lg2lg2 lg50lg4=lg2lg2lg100 lg2lg422=lg22lg2lg2lg2=0,故选:B.3.下列命题中一定正确的是（）A.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B.如果平面 平面 ，直线m 与平面 垂直，那么/mC.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D.如果直线l 与平面 相交但不垂直，m 为空间内一条直线，且ml，那么m 与平面 相交【答案】C【解析】【分析】按立体几何的性质逐项判断即可.【详解】如图，平面 平面 ,l，l 在 内但不垂直于平面 ，所以 A 错误；B 错误：m 在 内
3、时可与平面 垂直但不平行于 ；C 正确：如果平面 不垂直于平面，那么由面面垂直的判断定理得平面 内一定不存在直线垂直于平面;D 错误：m 在平面 内时可垂直于l 但不与 相交.故选：C.4.设集合1ln10,2AxxBx xx，则R AB（）A.2,B.,12,C.,12,D.0,12,【答案】D【解析】【分析】先求出集合,A B，进而结合并集、补集的定义求解即可.【详解】由ln10ln1x，得01 1x ，即12x，所以12Axx.由12xx，当0 x 时，12xx恒成立，当0 x 时，212xx，即210 x，则1x，所以0Bx x或1x，所以0ABx x或12x，则 R0,12,AB .
4、故选：D.5.学校举行舞蹈比赛，现从报名的 50 位学生中利用下面的随机数表抽取 10 位同学参加，将这 50 位学生按01、02、50 进行编号，假设从随机数表第 1 行第 2 个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第 5 个号码所对应的学生编号为（）0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 60111410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 36075124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0
5、140 0523 2617A.43B.25C.32D.12【答案】D【解析】【分析】利用随机数表法，按照给定条件一次选取符合要求的号码即可.【详解】从随机数表第 1 行第 2 个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过 50 和重复的号码，选取的号码依次为：31，32，43，25，12，17，23，26，16，45.所以选出来的第 5 个号码所对应的学生编号为 12.故选：D6.已知21cossin()632xx，则sin 26x（）A.78B.78C.74D.34【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】21cossin()cossin()2cos6362662x
6、xxxx，1cos64x，27cos 22cos()1368xx ，7sin 2sin 2cos(2)63238xxx.故选：A7.成都石室中学是中国现存最古老的学校，在 2023 年 11 月 11 日石室生日之际，某石室学子写下一个二进制数 211111111111，另一学子用框图将 211111111111转化为十进制数，发现该十进制数加上 117 恰为石室年龄，则判断框内应填入的条件，通过计算得到石室的年龄分别是（）A.11i 2166B.10i 2164C.10i 1140D.11i 2165【答案】B【解析】【分析】该程序的作用是将二进制转换为十进制，根据转换的方法和步骤，结合流程
7、图可知，判断框内填入的应是进行循环的条件，判断出循环的次数，得到答案.【详解】由题意输出10231 1 2 1 21 2.1 2S ，按照程序运行：按照程序运行：1 i1S，；1 1 2i2S ，；21 1 2 1 2?,3Si ，231 1 2 1 21 2?,4Si ，2341 1 2 1 21 21 2?,5Si ，23101 1 2 1 21 2.11 2,1Si ；此时结束循环输出结果，112013111 1 2 1 21 2.11 2212047122S ，2047 1172164，故判断框内的条件应为10i；石室年龄应为 2164.故选：B.8.已知函数 2sin(0,)fxx的
8、部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m 个单位后，得到偶函数()g x 的图象，则正实数m 的最小值为（）A.12B.6C.512D.56【答案】C【解析】【分析】根据图像可求得函数T，且根据图形左移m 个单位后为偶函数，再结合点 5,212在函数上，从而求解.【详解】由题图可知，周期521212T，所以：222T，所以()2sin(2)f xx，因为:点 5(,2)12 在()f x图象上，所以:52sin26，所以:53,Z62kk，得：2,Z3kk，因为：，所以：23，22sin 23f xx，所以：222sin 22sin 2233g xxmxm，因为：g x
9、是偶函数，所以：22,Z32mkk，所以：Z212kmk，当1k 时，m 有正实数最小值：512.故 C 项正确.故选：C.9.学校运动会上，有 A，B，C 三位运动员分别参加 3000 米，1500 米和跳高比赛，为了安全起见，班委为这三位运动员分别成立了后勤服务小组，甲和另外四个同学参加后勤服务工作（每个同学只能参加一个后勤服务小组）.若甲在 A 的后勤服务小组，则这五位同学的分派方案有（）种A.44B.50C.42D.38【答案】B【解析】【分析】分三类，A 小组只有一人，只有两人，恰有三人三种情况，再利用分类加法计数原理求解.【详解】若 A 小组只有一人，则 5 人的分配方案有2232
10、4242C CC A种；若 A 小组只有两人，则 5 人的分配方案有122432C C A 种；若 A 小组恰有三人，则 5 人的分配方案有2242C A 种，所以共有 50 种，故选：B.10.如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，四边形 AA1B1B 是矩形，D 是棱 CC1 的中点，CC1=AC=4，1B DCD，AB=3，90BAC，过点 D 作平面/平面1AB C，则平面 截三棱柱 ABC-A1B1C1 所得截面面积为（）A.3 212B.21C.72D.2 7【答案】A【解析】【分析】根据题意可先证出11A B 平面11AAC C，然后做出平面 与截三棱柱111ABCA B C
11、的截面，再求截面面积从而求解.【详解】由题意知：分别取11111,AA A B B C 中点,M N H，连接11,MH ND DH MH A D AC，如图所示：所以：1/,/HD B C DN AC，因为：1B CACC又因为：1,AC B C 平面1AB C，,HD DN 不在平面1AB C 上，所以：/HD平面1AB C，/DN平面1AB C，又因为：HDDND，,HD DN 平面 MNDH，所以：平面/MNDH平面1AB C，即：平面 MNDH 为平面 与三棱柱111ABCA B C截面；因为111A BAA，且1111A BAC，111AAACA，11,AA AC 平面11AAC
12、C11A B 平面11AAC C，又因为11,CC AC 平面11AAC C，所以：111A BA D，111A BC C，又因为：1B DCD，1111B DA BB，111,B D A B 平面11A B D，所以：CD 平面11A B D，因为：1A D 平面11A B D，所以：1CDA D，又因为：D 为1C C 中点，1114CCACAC所以得：11C CA 为等边三角形，则：1160CC A，14AC，1190B AC，所以2211115BCB AAC，所以得:四边形 MNDH 为等腰梯形，所以：52HDMN，4ND，2MH，可求出截面面积为：22321222MHNDNDMHSH
13、D故 A 项正确.故选：A.11.已知椭圆22:143xyE的左右焦点分别为12,F FP 是椭圆 E 在第一象限的任意一点，I 为12PF F的内心，点O 是坐标原点，则 tanPOI的最大值为（）A.612B.76C.32D.2 33【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义及内切圆的性质得出,P I 的坐标关系，再利用正切的差角公式及基本不等式计算即可.【详解】设 00011,0,P x yaxI x y，12,0,0FcF c，设内切圆分别与12,PF PF x 轴相切于点,M N T，则111FTcxFM，212F TcxF N，122,PFPFaPMPNac，211()()PFacc
14、xax，又222222220000002bPFxcyxcbxexaaexa10012xexx，易知1 2011122222PF FScycay，00113cyyyac，010132yyxx，设11(0)yt tx，0101222010111622tantan()=3131211+22yytxxPOIPOFIOFy ytttx x，当且仅当62t 时等号成立，故选：A12.已知函数 f x 的导函数是 fx，1fx的图象关于点(1,0)对称，对任意实数 x 都有 2f xfx，且 f x 在7,6上单调递增，设0.2,6elne21,95afbfcf，则,a b c的大小关系是（）A.cbaB.
15、b c aC.abcD.acb【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得 f x 是偶函数，图象关于直线1x 对称，周期为 2，在0,2 上的单调性，6e1 ln(1 0.2)ln 5 ，0.2e1(0,1129),(0,)，构造函数2()ln 2xg xxx，利用导数判断出()g x 的单调性可得答案.【详解】因为1fx的图象关于点(1,0)对称，所以 fx的图象关于点(0,0)对称，fx是奇函数，f x 是偶函数，f x 关于直线1x 对称，所以 f x 的周期为 2，因为 f x 在7,6上单调递增，所以在0,1 上单调递减，在1,2 上单调递增，令 10,1lnxx xh x，则 11
16、11xh xxx，当0,1x时，0h x，h x 单调递减，且 00l 1 0nh xh，所以 1 0.20.200.2lnh，即1 0.20.2ln，可得)l 6e1 ln(1 0.2)(1,1.25n，0.2e1(0,1129),(0,)，设15x，则2222921xxx，222e1e1e,(0,1)222 xxxxxx xxxx设函数2()ln 2xg xxx，(0,1)x，22()04xg xx，所以()g x 在0,1 上是减函数，1(0)05 gg，10.251211111215lnln,e,e115999325.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用函数的
17、单调性比较大小.第卷（共 90 分）二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知点(2 2,2)A在双曲线 C 上，直线12yx 是双曲线 C 的渐近线，则双曲线 C 的标准方程是_【答案】22128yx【解析】【分析】由渐近线方程可设双曲线C 的方程为：2240yx，根据双曲线经过点 2 2,2A代入即可求解【详解】由题意得：双曲线C 的渐近线为：12yx，所以可设双曲线C 的方程为：2240yx，因为点 2 2,2A在双曲线C 上，所以代入得：4 4 8 ，即：8，所以：双曲线C 的方程为：22128yx.故答案为：22128yx.14.若 x，y 满足约束条件
18、1033010 xyxyxy ，则22+44zxyx最小值为_【答案】12#0.5【解析】【分析】作出1033010 xyxyxy 表示的平面区域，明确22+44zxyx表示的几何意义，求出点(2,0)C和可行域内的点的连线的距离的最小值，即可求得答案.【详解】作出约束条件1033010 xyxyxy 表示的平面区域，如图阴影部分，因为2222+44(2)zxyxxy，其表示点(2,0)C和可行域内的点的连线距离的平方，(2,0)C到直线10 xy 的距离为 1222，联立1010 xyxy ，解得(0,1)A，则22|215CA，联立10330 xyxy ，解得(3,2)B，则22|(2 3
19、)(02)5CB，由于252，故(2,0)C和可行域内的点的连线的距离的最小值为22，即22+44zxyx最小值为 12，故答案为：1215.如图，在 ABC 中，0120,ABCABBC，ABD是正三角形，点 M 是ABD的中心，若0 xMAyMBzMC，则 xyz _【答案】4【解析】【分析】结合图形，利用题干信息，先找到长度关系，再根据角平分线定理，得到比例关系，最后利用三共线定理书写最终式子，得到系数关系即可.【详解】如图，MC 交 AB 于点 E，120,ABCABBC30MAEBAC，设 ABa=，则3ACa，因为 AB 是MAC的角平分线，所以13AMMEACEC，所以33aAM
20、，14MEMCmMAnMB，因为 E，A，B 三点共线，所以1mn，14MEMCmMAnMB，44MCmMAnMB由题干可知0 xMAyMBzMC，即=xyMCMAMBzz所以4xmz，4ynz 4xyz 故答案为：4.16.如图，已知圆1O：22(1)1xy，圆2O：22(2)4xy，过直角坐标原点O 作直线 1l 分别交两圆于,B A 过点O 作直线 2l 分别交两圆于,C D，连接,AC CB BD DA，则四边形 ACBD 面积的最大值为_【答案】27 34#2734【解析】【分析】根据题意利用割补法得：92ABCDAOCCOBBODAODAOCSSSSSS，然后设FOD，对面积构造一
21、个关于 的函数，从而求解.【详解】设 x 轴与圆1O 交于O，E 点，交圆2O 于,O F 点，连结,CE DF，则：OCEODF，2ODOC.同理：2OAOB所以：92ABCDAOCCOBBODAODAOCSSSSSS，设FOD，则4cos,4sinODDF则：2cosOC，设点 A 到直线OC 的距离为d，则：2122sin2dAOFD，所以：12cos22sin2cossin12AOCS设 2cossin1,0,2f，当(0,),6 0,ff单调递增，当(,),6 2 0,ff单调递减，所以当6，max3 32f，max27 34ABCDS.故答案为：27 34.三、解答题（本题共 6
22、道小题，共 70 分）17.已知首项为 4 的数列 na的前 n 项和为nS，且16 5nnnnSaS （1）求证：数列5nna 为等比数列；（2）求数列 na的前 n 项和nS【答案】（1）证明见解析（2）1275(1)4nnnS【解析】【分析】（1）根据11nnnSSa，得出1na 与na 的关系，进一步变形得出等比数列；（2）利用分组求和法及等比数列求和公式可求得结果【小问 1 详解】由题意16 5nnnnSSa ，即1155nnnnaa，故1155nnnnaa ，即11515nnnnaa ，又151a ，故数列5nna 是以-1 为首项，-1 为公比的等比数列.【小问 2 详解】由（1
23、）知，5(1)nnna ，即5(1)nnna 数列 5n的前 n 项和为5 1 55 51 541nn，数列(1)n的前 n 项和为(1)1(1)(1)11(1)2nn ，故15(1)15(1)5472214nnnnnS18.某种植户对一块地上Nn n个坑进行播种，每个坑播 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为 12，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.（1）当 n 取何值时，有 4 个坑需要补种的概率最大？最大概率为多少？（2）当5n 时，用 X 表示要补种的坑的个数，求 X 的分布列及数学期望.【答案】18.当7n 或8n 时，有 4
24、个坑要补种的概率最大，最大概率 3512819.分布列见解析，52【解析】【分析】（1）由题意可求出每个坑要补种的概率，可得 n 个坑中有 4 个坑要补种的概率，然后根据题意列出不等式组，从而可求得结果.（2）由题意知 X 的取值范围，且 X 服从二项分布，再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率，从而可得分布列和数学期望.【小问 1 详解】由题意可知每个坑要补种的概率3201331111CC2222P，则 n 个坑中有 4 个坑要补种的概率为4 1C2nn.欲使4 1C2nn最大，只需1441144111CC2211CC22nnnnnnnn解得78n.因为nN，所以7,8n.当7n 时，
25、747135C2128，当8n 时，8481352128C ，所以当7n 或8n 时，有 4 个坑要补种的概率最大，最大概率 35128.【小问 2 详解】易知 X 的取值范围为0,1,2,3,4,5，且15,2XB，则0505111(0)C2232P X ,114511(1)C52232P X ，2325115(2)C22161032P X ,323511105(3)C221632P X ，414511(4)C52232P X ,505511(5)C12232P X ,所以 X 的分布列为:X012345P13253251651653213215522E X .19.在三棱锥 SABC中，底
26、面 ABC 为等腰直角三角形，90SABSCBABC .（1）求证：ACSB；（2）若2,2 2ABSC，求平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据题意，可证 SCBSAB，即 SASC，从而证得 AC 面 SBE，即可得到结果；（2）根据题意，过 S 作 SD 面 ABC，垂足为 D，连接,AD CD，以 D 为原点，,DA DC DS 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可得到结果.【小问 1 详解】证明：取 AC 的中点为 E，连结,SE BE，ABBC，BEAC
27、，在 SCB 和SAB中，90,SABSCBABBC SBSB SCBSAB，SASC，AC 的中点为 E，SEAC，SEBEE，AC 面 SBE，SB 面 SBE，ACSB【小问 2 详解】过 S 作 SD 面 ABC，垂足为 D，连接,AD CD，SDAB,ABSA ABSD SAADA，AB 平面 SAD ABAD，同理，BCCD底面 ABC 为等腰直角三角形，2,2 2ABSC，四边形 ABCD 为正方形且边长为 2.以 D 为原点，,DA DC DS 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0ASCB0,2,2,2,2,0,2
28、,0,0SCACBC ，设平面 SAC 的法向量111,xny z，则1111220220n SCyzn ACxy ，解得 xyz，取11x，则111,1yz，(1,1,1)n，设平面 SBC 的法向量222,mxy z，则22222020m SCyzm BCx，解得0 xyz，取21y ，则110,1xz，0,1,1m，设平面 SAC 与平面 SBC 夹角为26coscos,332m nm nm n 故平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值为63.20.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为 12，左、右焦点分别为12,F F，直线 xm与椭圆C 交于,A B 两点，且1ABF
29、 的周长最大值为 8（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点 P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），12,A A 分别为椭圆C 的左右顶点，直线2A P 交 y 轴于点Q，若1A PQ与22A F P的面积相等，求直线2A P 的方程【答案】（1）22143xy（2）3 246 20 xy或 642 60 xy.【解析】【分析】（1）确定当 AB 过右焦点2F 时，1ABF 的周长取最大值，由此求得 a 的值，再根据离心率求得 c，继而求出 b，即可求得答案.（2）分类讨论，考虑点 Q 的位置，即点Q在椭圆外和椭圆内，根据1A PQ与22A F P的面积相等，推出相关线段的比例关系，从而求出
30、点 P 的坐标，即可求得答案.【小问 1 详解】设 AB 与 x 轴的交点为 H，由题意可知2AHAF，则1122AFAHAFAFa，当2,AH AF 重合时取等号，故当 AB 过右焦点2F 时，1ABF 的周长取最大值48a，所以2a 因为椭圆C 的离心率为12cea，所以2221,4 13cbac，所以椭圆C 的标准方程为22143xy【小问 2 详解】由题意得：当点Q在椭圆外，由于1A PQ与22A F P面积相等，22121,24A FacA Aa，故221214PA FPA ASS,则11214A PQPA ASS，故214PQPA，设(,),(02)PPPP xyx，则2224,5
31、PPPPAxxPQx，又 P 点在22143xy上，则211253y，即6 25y ，故26 2,55P，又2(2,0)A，所以直线2A P 的方程为3 224yx，即3 246 20 xy；当点Q在椭圆内，此时(,),(20)PPPP xyx，同理可得22224,3,3PPPAA QxPQPQx，又 P 点在22143xy上，则21193y，即2 63y ，故22 6,33P，又2(2,0)A，所以直线2A P 的方程为624yx，即 642 60 xy综上：直线2A P 的方程为：3 246 20 xy或 642 60 xy.【点睛】难点点睛：解答本题关于直线和椭圆的位置关系类问题，难点就
32、在于计算复杂，计算量较大，解答时要注意分类讨论，即考虑 Q 点位置，结合1A PQ与22A F P的面积相等，推出线段间的比例关系，由此求出 P 点坐标，即可求解直线2A P 的方程.21.已知函数 ln10f xxaxa.（1）当0a 时，求过原点且与 f x 的图象相切的直线方程；（2）若 e0axf xg xax有两个不同的零点1212,0 x xxx，不等式312emx x恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）21eyx（2）,4.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）函数 g x 有两个零点等价于lneln10 x axxax 有两个不同根，构造函数 e1xu
33、 xx 判定其单调性与零点得方程 ln0 xax有两个不等实根，利用换元法得121 3ln3lnln1txxtt，构造 1 3 ln11xh xx xx，法一、将恒成立问题转化为11 3 lnln0131m xxxmxxx，利用对勾函数的单调性，分类讨论计算即可；法二、利用导数求 h x 的单调性结合洛必达法则最小值即可.【小问 1 详解】易知 f x 的定义域为 10,fxx，设切点坐标00,ln1xx，则切线方程为：0001ln1yxxxx，把点0,0 带入切线得：20ex，所以，f x 的切线方程为：21eyx；【小问 2 详解】33121212elnln3lnmx xx xxxm，又
34、e0axf xg xax有两个不同零点，则lnln1eln10ex axaxxxaxxax 有两个不同零点，构造函数 e1xu xx e10 xu x，则 u x 为,增函数，且 00u，即方程ln0 xax有两个不等实根1122lnlnaxxaxx，令2211ln1lnxxtxx ，则12lnlnln,ln11tttxxtt，则121 3ln3lnln1txxtt，设 1 3 ln11xh xx xx，法一、原不等式恒成立等价于11 3 lnln0131m xxxmxxx恒成立，令 2221964114ln1313131xmm xmxn xxxn xxxxxx，由1196xyxx 单调递增，
35、即19616yxx，若 4160mn x n x 单调递增，即 10n xn恒成立，此时4m 符合题意；若14169640mxmx有解0 x，此时有01,xx时，0n xn x单调递减，则 010n xn，不符合题意；综上所述：m 的取值范围为,4.法二、2114ln321h xxxxx，设 14ln32p xxxx，23110 xxp xx在1,恒成立，p x 在1,单调递增，10p xp，则 h x 在1,单调递增，所以 1h xh，11111 33ln1 3ln1 3lnlimlimlimlim411 1xxxxxxxxxxxh xxx，所以m 的取值范围为,4.【点睛】难点点睛：本题难
36、点在于：需要利用同型构造根据函数有零点得出lneln10 x axxax 有两个不同零点，构造函数 e1xu xx，利用其单调性与零点得出方程ln0 xax有两个不等实根，再将零点换元将问题化为121 3ln3lnln11txxtm tt，一种方法是含参分类讨论，一种方法是利用洛必达法则求函数最值.选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为22cos22sinxy（为参数），直线 l 的参数方程为cossinxtyt（t 为参数，0），以坐标
37、原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且2216OAOB，求 的值【答案】（1）24 cos4 sin40（2）12 或512【解析】【分析】（1）首先将曲线C 的参数方程化为普通方程，再根据转化公式，化为极坐标方程；（2）首先将直线的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，利用韦达定理表示22OAOB，即可求解.【小问 1 详解】曲线 C 的直角坐标方程：224440 xyxy，根据公式直角坐标与极坐标转化公式，222xy，cosx，siny，所以 C 的极坐标方程：24 cos4
38、sin40；【小问 2 详解】直线 l 的极坐标方程：R，代入 C 的极坐标方程得：24 cossin40，124cos4sin，124 ，2222212121228 16sin216OAOB ，1sin 22，0，26或 512，即12 或512，选修 4-5：不等式选讲（10 分）23.已知函数 f xxmxn，,m nR 且0mn.（1）若函数 f x 的最小值为2，试证明:点,m n 在定直线上；（2）若2n，0,1x时，不等式 5f xx恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）2,3.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式将 xmxnxmxnmn并结合最小值得2mn，从而求解.（2）将2n，0,1x，时不等式可转化为：3f x，再利用不等式求解.【小问 1 详解】因为：xmxnxmxnm nmnmn，（当且仅当 x 在n 与 m 之间时取等号），所以：2mn，即点,m n 在定直线20 xy上.【小问 2 详解】当2n，0,1x时，22f xxmxxmx 由 5f xx得：3xm，所以：33xm，则 33xmx ，所以：3033 12mm ，解得：23m，故实数m 的取值范围为：2,3.
