1、成都高新区20202021学年度下期高2020级期末学业质量检测数学模拟试题（理科）（时间120分钟，满分150分）第卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD2设向量，则下列结论中正确的是（ ）ABC与垂直D3已知，则（ ）ABCD4长方体中，异面直线，所成的角等于（ ）A30B45C60D905已知变量，满足求的最大值和最小值分别为（ ）A12，3B12，2C8，2D8，36在等差数列中，若，则的值等于（ ）A45B75C180D3007下列推理错误的是（ ）A，B，C，D，8若把总长为
2、的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是（ ）A5B10C20D259如图所示，半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于，的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（ ）A2BCD10如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A4B6C8D1211已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD12已知数列为等差数列，公差不为0，中的部分项组成的数列，恰为等比数列，其中，则数列的前项和为（ ）ABCD第卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13_14设为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则_15如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一
3、个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现我们来重温这个伟大发现圆柱的表面积与球的表面积之比为_16如图，在中，是的中点，在边上，与交于点若，则的值是_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知，为锐角，（1）求的值；（2）求的值18（本小题满分12分）设函数（1）若对于一切实数，恒成立，求的取值范围：（2）解不等式19如图，、分别是正方体的棱、的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面20（本小题满分12分）已知角，是的内角，分别是其所对边长，向量，（1）求角的大小；（2）
4、若，求的长21（本小题满分12分）在海岸处发现北偏东45方向，距处（）海里的处有一艘走私船在处北偏西75方向，距处2海里的处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从处向北偏东30防向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间（取）22（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前项和为求；若对任意恒成立，求实数的取值范围成都高新区20202021学年度下期高2020级期末学业质量检测数学模拟试题（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
5、1【答案】 C解析 对A，若，则，此时，A不成立；对B，若，则，B不成立；对C，：，且，恒成立，C成立；对D，当时，D不成立2【答案】C3【答案】B由题意可得：，则：，即4【答案】D5解：A如图，阴影部分为不等式组所表示的可行域设：，：，则的几何意义是直线在轴上的截距，显然，当直线越往上移动，对应在轴上的截距越大，即越大；当直线越往下移动，对应在轴上的截距越小，即越小作一族与平等的直线系，经上下平移，可得：当移动到，即过点时，；当移动到，即过点时，6【答案】C解：，7【答案】C解析 若直线，显然有，但8【答案】D解析 设矩形的一边为，则另一边为，当且仅当，即时，9【答案】选D解析 因为点是，的
6、中点，所以，设，则所以当时，取到最小值10【答案】A解析由三视图得几何体为四棱锥，如图记作，其中面，且为直角梯形，故选A11解：选A对任意，恒成立，即恒成立，即知设，则，故的取值范围是12【解析】D由题意，在等比数列，中，公比，且另一方面，为等差数列的第项，则，二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分）13解析：原式14解析：由，成等差数列知，可得，所以公比，故等比数列通项15解析：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以16【答案】如图，过点作，交于点，由，为中点，知，得，得，即，故三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：（1）因为，因
7、此，（2）因为，为锐角，所以又因为，所以，则由，得，所以18解（1）要使恒成立，若，显然若，（2）由得，当时，原不等式为，当时，解得或；当时，解得；当时，解集为空集：当时，解得综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为空集；当时，不等式解集为19证明（1）取中点，连接，易证平行且等于，平行且等于，平行且等于，四边形为平行四边形平面，平面，平面（2）由正方体性质得，平面，平面，平面连接，易证是平行四边形，得平面，平面，平面，平面平面20解 （1）已知，所以，即，即，因为，所以所以，所以（2）在中，由正弦定理知，所以21解 如图，设缉私船应沿方向行驶小时，才能最快截获走私船（在点），则海里，海里，在中，由余弦定理，得，解得，又，故点在点的正东方向上，在中，由正弦定理，得，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在中，即，解得小时分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟22（1）当时，当时，由，得，得，又，是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，两式相减得，所以由，得恒成立，即恒成立，分三种情况讨论：时不等式恒成立；时，得；时，得；所以
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