1、成都市2020级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）1至2页，第II卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共
2、60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B.C. D.2.满足为虚数单位的复数（ ）A. B.C. D.3.抛物线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D.4.下图为2012年2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（ ）A.2012年2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增B.2012年2021年工业企业利润总额逐年递增C.2012年2017年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速D.2012年2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业
3、企业利润总额增速的均值5.若实数满足约束条件则的最大值是（ ）A.2 B.4 C.6 D.86.下列命题中错误的是（ ）A.在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强B.对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大C.线性回归直线恒过样本中心D.在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好7.若函数在处有极大值，则实数的值为（ ）A.1 B.或 C. D.8.已知直线和平面.若，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知数列的前项和为.若，则（ ）A.512 B.510 C.256 D.
4、25410.日光射人海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射.因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（ ）（参考数据：，）A. B. C. D.11.已知侧棱长为的正四棱锥各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为，则该正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.12.已知平面向量满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D.2第II
5、卷（非选择题，共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.在公差为的等差数列中，已知，则_.14.的展开式中常数项是_.15.已知双曲线与圆（为双曲线的半焦距）的四个交点恰为一个正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为_.16.已知函数.有下列结论：若函数有零点，则的取值范围是；函数的零点个数可能为；若函数有四个零点，则，且；若函数有四个零点，且成等差数列，则为定值，且.其中所有正确结论的编号为_.三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）成都作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超1
6、14万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，成都22个市级部门联合启动了2022年成都市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践社区治理与邻里守望环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍进行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为，求随机变量的分布列和期望.18.（本小题满分12分）记的内角所对边分别为.已知.（1）求的大小；（2）若，再从下列条
7、件，条件中任选一个作为已知，求的面积.条件：；条件：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图所示的四棱锥.（1）设平面平面，证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形.经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）试探究：在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明：；（2）若，
8、求的取值范围.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程；（2）设点在曲线上，且满足，求点的极径.（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知为非负实数，函数.（1）当时，解不等式；（2）若函数的最小值为6，求的最大值.成都市2020级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见第I卷（选择题，共60分）一选择题：（每小
9、题5分，共60分）1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.A 11.D 12.B.第II卷（非选择题，共90分）二填空题：（每小题5分，共20分）13. 14. 15. 16.三解答题：（共70分）17.解：（1）由，解得.（2）由题意知不低于80分的队伍有支，不低于90分的队伍有支.随机变量的可能取值为.的分布列为01218.解：（1），由正弦定理知，即.在中，由，.（2）若选择条件，由正弦定理，得.又，即.若选择条件，由，即.设.则.由，得.19.解：（1）平面平面，平面.平面，平面平面，.由图，得，.平面，平面.（2）由题意，得.又，以为坐标原点，的
10、方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，.设平面的一个法向量为.令，得.设与平面所成角为.直线与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）由为等边三角形，得（为半焦距），的周长为，得.椭圆的方程为.（2）设轴上存在定点，由（1）知.由题意知直线斜率不为0.设直线.由消去，得.显然.故当，即时，为定值.存在定点，使得为定值.21.（1）当时，.由题意知曲线在处的切点为.曲线在处的切线方程为.记.在上单调递增，在上单调递减.即成立.（2）记.则恒成立.在上单调递增，使得，即.当单调递减；当单调递增.由式，可得.代入式，得.当时，记.在上单调递减.在上单调递减，在上单调递减.当时，不合题意；当时，由（1）知，故，.由.故满足.又在上单调递增，且，实数的取值范围是.22.解：（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为，圆心.把代入，化简得圆的极坐标方程为.（2）由题意，在极坐标系中，点.点在曲线上，设.在中，由余弦定理有，即.化简得.解得或.故或.点的极径为1或.23.解：（1）当时，.当时，解得；当时，此时无解；当时，解得.综上，不等式的解集为.（2）由，当且仅当时，等号成立.由柯西不等式，得.当且仅当时，即等号成立.综上，的最大值为.
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