四川省成都市2022-2023学年高三数学（理）上学期1月第一次诊断性考试试卷（Word版含解析）.docx

1、成都市高2020级第一次诊断测试 数学理科满分: 150分 时间：120分钟一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 A=x-1x2,B=xx2-4x+30, 则AB=（ ）A.x-1x3B.x-10,b0)与圆x2+y2=2c2(c为双曲线的半焦距) 的四个交点恰为一个正方形的四个顶点,则双曲线的离心率为_16. 已知函数 f(x)=sin2x-sinx+k,x0,. 有下列结论:若函数 f(x)有零点,则k的取值范围是-,14;函数 f(x)的零点个数可能为0,2,3,4; 若函数 f(x)有四个零点x1,x2,

2、x3,x4, 则k0,14, 且x1+x2+x3+x4=2;若函数 f(x)有四个零点x1,x2,x3,x4x1x2x3b0)的左, 右焦点分别为F1,F2, 上顶点为D, 且DF1F2为等边三角形. 经过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,F1AB的周长为 8 .(I) 求椭圆 C的方程;(II) 试探究: 在 x轴上是否存在定点T, 使得TATB为定值? 若存在, 求出点T的坐标; 若不存在,请说明理由.21. （本题满分12分）已知函数 f(x)=ln(ax),a0.(I) 当 a=1时, 若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b, 证明:f(x)kx+b;(II) 若

3、 f(x)(x-1)ex-a, 求a的取值范围.选做题（22题，23题选做1道小题，多做做错按第1题计分）22. （本题满分10分）在直角坐标系 xOy中, 圆心为A的圆C1的参数方程为x=2+cost,y=sint(t为参数). 以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为=2-2cos.(I) 求圆 C1的极坐标方程;(II) 设点 B在曲线C2上,且满足|AB|=3, 求点B的极径.23. （本题满分10分）已知 a,b为非负实数, 函数f(x)=|x-3a|+|x+4b|.(II)当 a=1,b=12时, 解不等式f(x)7;(II) 若函数 f(x)的最

4、小值为 6 , 求3a+b的最大值.参考答案及解析1. 【答案】C 【解析】略2. 【答案】A 【解析】略3. 【答案】B 【解析】抛物线 x2=2y的焦点在y轴上, 则焦点坐标为0,12，故选: B4. 【答案】C 【解析】略5. 【答案】C 【解析】略6. 【答案】B 【解析】略7. 【答案】D 【解析】略8. 【答案】B 【解析】略9. 【答案】C 【解析】略10. 【答案】A 【解析】略11. 【答案】D 【解析】略12. 【答案】B 【解析】略13. 【答案】13 【解析】略14. 【答案】240 . 【解析】二项式 x-2x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(-2)rx6-3r

5、2, 令6-3r2=0, 求得r=4, 可得展开式中的常数项是C6424=240,15. 【答案】1+52 【解析】双曲线的两个焦点 (-c,0), 和(c,0),令 x=-c, 则c2a2-y2b2=1, 则有 y=b2a,令 x=c, 则c2a2-y2b2=1,则有 y=b2a,设 A-c,b2a,B-c,-b2a,Cc,-b2a,Dc,b2a,则 AB=2b2a,BC=2c,这四个交点恰好为正方形的四个顶点， AB=BC,即 2b2a=2c, 则b2=ac,即 c2-a2=ac,c2-ac-a2=0e2-e-1=0,得 e=1+52或e=1-52 e1,e=1+5216. 【答案】 【解

6、析】略17. 【解析】 ( I ) 由 (0.0042+0.022+0.030+0.028+m)10=1,解得 m=0.012.(II) 由题意知不低于 80 分的队伍有 50(0.12+0.04)=8支,不低于 90 分的队伍有 500.04=2支.随机变量 X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=C63C83=514,P(X=1)=C62C21C83=1528,P(X=2)=C61C22C83=328, X的分布列为E(X)=0514+11528+2328=34.18. 【解析】 (I) ba=sinC+cosC,由正弦定理知 sinBsinA=sinC+cosC,即 sinB=sinAs

7、inC+sinAcosC.在 ABC中, 由B=-(A+C),sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC+sinAcosC.cosAsinC=sinAsinC.C(0,),sinC0.sinA=cosA.A(0,),A=4.(II) 若选择条件, 由正弦定理 asinA=csinC,得 asinC=csinA=22c=2.c=22.又 22sinB=3sinC, 即22b=3c.b=3.SABC=12bcsinA=12322sin4=3.若选择条件, 由 22sinB=3sinC,即 22b=3c.设 c=22m,b=3m(m0).则 a2=b2+c2-2

8、bccosA=5m2.a=5m.由 ac=210, 得m=1.a=5,b=3,c=22.SABC=12bcsinA=12322sin4=3.19. 【解析】 ( I ) DE/AB,DE平面PAB,AB平面PAB,DE/平面PAB.DE平面PDE, 平面PDE平面PAB=l,DE/l.由图 DEAC, 得DEDA,DEDP,lDA,lDP.DA,DP平面ADP,DADP=D,l平面ADP.(II) 由题意, 得 DE=DP=2,DA=1.AP=5=DP2+DA2,DADP.又 DEDP,DEDA, 以D为坐标原点,DA,DE,DP的方向分别为 x轴,y轴,z轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐

9、标系Dxyz.则 D(0,0,0),E(0,2,0),B(1,3,0),P(0,0,2),PD=(0,0,-2),PE=(0,2,-2),PB=(1,3,-2).设平面 PBE的一个法向量为n=(x,y,z).令 z=1, 得n=(-1,1,1).设 PD与平面PEB所成角为.sin=|cos|=|nPD|n|PD|=223=33. 直线PD与平面PEB所成角的正弦值为33.20. 【解析】(I) 由 DF1F2为等边三角形,DF1=DF2=a, 得a=2c(c为半焦距).AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,F1AB的周长为4a=8, 得a=2.c=1,b=a2-c2=3.椭圆E的方程

10、为x24+y23=1.（II) 设 x轴上存在定点T(t,0), 由 (I) 知F2(1,0).由题意知直线 l斜率不为 0 . 设直线l:x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2.由 x=my+1,x24+y23=1显然 =144m2+10.y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4TATB=x1-tx2-t+y1y2=my1+1-tmy2+1-t+y1y2=m2+1y1y2+(1-t)my1+y2+(1-t)2=m2+1-93m2+4+(1-t)m-6m3m2+4+(1-t)2=(6t-15)m2-93m2+4+(1-t)2故当 6t-153=-94, 即t=118时,TATB

11、为定值-13564.存在定点T118,0, 使得TATB为定值.21. 【解析】 ( I ) 当 a=1时,f(x)=lnx.由题意知曲线 y=f(x)在x=1处的切点为(1,0).f(x)=1x,k=f(1)=1. 曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1.记 g(x)=f(x)-kx-b=lnx-x+1.g(x)=1-xx,g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.g(x)g(1)=0.即 lnxkx+b成立.（II ) 记 h(x)=(x-1)ex-a-f(x)=(x-1)ex-a-lnx-lna,x0.则 h(x)0恒成立.h(x)=xex-a-1x,h(x)在(

12、0,+)上单调递增,h12=12e12-a-20,x012,a+1, 使得hx0=0, 即x0ex0-a=1x0.(*)当x0,x0,h(x)0,h(x)单调递增.h(x)min=hx0=x0-1ex0-a-lnx0-lna. (*) 由 (*)式,可得ex0-a=1x02,a=x0+2lnx0.代入 (*)式, 得hx0=x0-1x02-lnx0-lnx0+2lnx0当 x0(1,+)时,记t(x)=x-1x2-lnx.t(x)=(1-x)(x+2)x30,t(x)在(1,+)上单调递减.y=-ln(x+2lnx)在1,+)上单调送减,hx0在(1,+)上单调递减.当x0(1,+)时,hx0

13、0,实数a的取值范围是(0,1.22. 【解析】 ( I ) 由圆 C1的参数方程消去参数t, 得圆C1的普通方程为(x-2)2+y2=1, 圆心A(2,0).把 x=cos,y=sin代入(x-2)2+y2=1,化简得圆 C1的极坐标方程为2-4cos+3=0.(II) 由题意,在极坐标系中, 点 A(2,0).点B在曲线C2上, 设B(2-2cos,).在 AOB中, 由余弦定理有AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB,即 3=4+(2-2cos)2-22(2-2cos)cos.化简得 12cos2-16cos+5=0.解得 cos=12或cos=56.故 =2-2cos=1或=2

14、-2cos=13.点B的极径为 1 或13.23. 【解析】 (I) 当 a=1,b=12时,f(x)=|x-3|+|x+2|.当 x-2时,f(x)=1-2x7, 解得 x-3;当 -2x3时,f(x)=57, 此时无解;当 x3时,f(x)=2x-17,解得 x4.综上,不等式 f(x)7的解集为(-,-34,+).(II) 由 f(x)=|x-3a|+|x+4b|x+4b-(x-3a)|=|3a+4b|,当且仅当 -4bx3a时, 等号成立.a0,b0.f(x)min=|3a+4b|=3a+4b=6.由柯西不等式,得 3a+b=13a+124b12+1223a+4b=302.当且仅当 2=3a4b时, 即a=85,b=310等号成立.综上, 3a+b的最大值为302.