1、德阳市高中 2017 级“二诊”考试数 学 试 卷(理工农医类)说明:1.本试卷分第卷和第卷,第卷 12 页,第卷 34 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后,将答题卡交回.2.本试卷满分 150 分,120 分钟完卷.第卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 z=21+i,其中 i 为虚数单位,则z=A.5B.3C.2D.22.函数 y=4-x2 的定义域为 A,集合 B=xlog2(x+1)1,则 A B=A.x1 x 2B.x-2
2、x 2C.x-2 x 3D.x1 x 3B.(x,y),x+2y 5C.(x,y),y+2x-1 3D.(x,y),y+2x-1 59.平行四边形 ABCD 中,已知 AB=4,AD=3,点 E、F 分别满足AE=2ED,DF=FC,且AFBE=-6,则向量AD 在AB 上的投影为A.2B.-2C.32D.-3210.已知 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A=60,b=3,AD 为 BC 边上的中线,若AD=72,则 ABC 的面积为A.25 34B.15 34C.154D.35 3411.已知实数 a 0,a 1,函数 f(x)=ax,x 1x2+4x+alnx,x
3、 1在 R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是A.1 a 2B.a 5C.3 a 5D.2 a 512.ABC 是边长为 2 3 的等边三角形,E、F 分别为 AB、AC 的中点,沿 EF 把 AEF 折起,使点A 翻折到点 P 的位置,连接 PB、PC,当四棱锥 P-BCFE 的外接球的表面积最小时,四棱锥P-BCFE 的体积为A.5 34B.3 34C.64D.3 64第 卷(非选择题 共 90 分)本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填
4、在答题卡上.)页4共(页2第)类医农工理(诊二学数13.随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市 30000 名高中男生的身高(单位:cm)服从正态分布 N(172,2),且 P(172 200 的概率;(2)以销售利润的期望为决策依据,确定下个销售周期内生产量 n=190 吨还是 n=200吨?并说明理由.20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 55,右焦点为抛物线 y2=4x 的焦点
5、F.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)O 为坐标原点,过 O 作两条射线,分别交椭圆于 M、N 两点,若 OM、ON 斜率之积为-45,求证:MON 的面积为定值.21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=eax-x(a R,e 为自然对数的底数),g(x)=lnx+mx+1.(1)若 f(x)有两个零点,求实数 a 的取值范围;(2)当 a=1 时,xf(x)+x g(x)对任意的 x (0,+)恒成立,求实数 m 的取值范围.请考生在 22、23 二题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
6、.22.选修 4-4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分)已知点 A 为圆 C:(x-1)2+y2=1 上的动点,O 为坐标原点,过 P(0,4)作直线 OA 的垂线(当 A、O 重合时,直线 OA 约定为 y 轴),垂足为 M,以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点 M 的轨迹的极坐标方程;(2)直线 l 的极坐标方程为 sin +3()=4,连接 OA 并延长交 l 于 B,求OAOB的最大值.23.选修 4-5:不等式选讲(本题满分 10 分)已知函数 f(x)=x+1.(1)求不等式 f(x)4-2x-3的解集;(2)若正数 m、n 满足 m+2n=mn,求证:
7、f(m)+f(-2n)8.)页4共(页4第)类医农工理(诊二学数德阳市高中 2017 级“二诊”试题数学参考答案与评分标准(理工农医类)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)题号123456789101112答案DACACABDCBDD二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.3000 14.24 15.3+2 2 16.(12,+).三、解答题17.解:(1)21a1+22a2+23a3+2nan=(n-1)2n+1+2 当 n=1 时,21a1=2 a1=12 分当 n 2 时,21a1+22a2+23a3+2n-1an-1=(n-2)2n+2 -得:2nan=n2n an=n适
8、合 a1=1,故 an=n.6 分(2)1anan+2=1n(n+2)=121n-1n+2()8 分 Sn=1211-13()+12-14()+13-15()+1n-1n+2()=12 1+12-1n+1-1n+2()=n(3n+5)4(n+1)(n+2).12 分18.(1)证明:设 AB 中点为 N,连接 MN、DN ABD 为等边三角形 DN AB DC=CB,DCB=120)页8共(页1第案答)类医农工理(学数级7102高 CBD=30 ABC=60+30=90 即 CB AB DN AB DN BC BC 平面 PBC,DN 平面 PBC DN 平面 PBC2 分 MN 为 PAB
9、的中位线 MN PB PB 平面 PBC,MN 平面 PBC MN 平面 PBC4 分 MN、DN 为平面 DMN 内二相交直线 平面 DMN 平面 PBC DM 平面 DMN DM 平面 PBC.6 分(2)解:设 BD 中点为 O,连接 AO、CO ABD 为等边三角形,BCD 是等腰三角形,且顶角 BCD=120 AO BD,CO BD A、C、O 共线 PC BD,BD CO,PC CO=C,PC,CO 平面 PCO BD 平面 PCO.7 分 PO 平面 PCO BD PO 平面 PBD 平面 ABCD,交线为 BD,PO 平面 PBD PO 平面 ABCD.8 分设 AB=2,则
10、AO=3在 BCD 中,由余弦定理,得:BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD又 BC=CD 22=2BC2-2BC2cos120 CB=CD=2 33,CO=33 PD PB,O 为 BD 中点 PO=12 BD=1)页8共(页2第案答)类医农工理(学数级7102高建立 直 角 坐 标 系 O-xyz(如 图),则C-33,0,0(),P(0,0,1),A(3,0,0),B(0,1,0).9 分 BA=(3,-1,0),PA=(3,0,-1)设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则nBA=0nPA=03 x-y=03 x-z=0取 x=1,则 y=z=3 n=(1,3,3)
11、10 分平面 PAC 的法向量为OB=(0,1,0)cos =nOBn OB=21711 分 二面角 C-PA-B 为锐角 二面角 C-PA-B 的余弦值大小为217.12 分19.解:(1)设“A 市场需求量为 90,100,110 吨”分别记为事件 A1,A2,A3,“B 市场需求量为90,100,110 吨”分别记为事件 B1,B2,B3,则P(A1)=0.2,P(A2)=0.5,P(A3)=0.3P(B1)=0.1,P(B2)=0.6,P(B3)=0.3.2 分P(X 200)=P(A2B3+A3B2+A3B3)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.5
12、 0.3+0.3 0.6+0.3 0.3=0.42.5 分(2)X 可取 180,190,200,210,220P(X=180)=P(A1B1)=0.2 0.1=0.026 分P(X=190)=P(A2B1+A1B2)=0.5 0.1+0.2 0.6=0.177 分当 n=190 时,E(Y)=(180 5-10 2)0.02+190 5 (1-0.02)=948.69 分当 n=200 时,E(Y)=(180 5-20 2)0.02+(190 5-10 2)页8共(页3第案答)类医农工理(学数级7102高0.17+200 5 (1-0.02-0.17)=985.311 分 948.6 985
13、.3 n=200 时,平均利润大,所以下个销售周期内生产量 n=200 吨.12 分20.解:(1)抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0)c=1 e=55 ca=55 a=5,b=2 椭圆方程为x25+y24=1.3 分(2)当 MN 与 x 轴垂直时,设直线 MN 的方程为:x=t(-5 t 05k2+4 m2x1+x2=-10km4+5k2,x1x2=5m2-204+5k26 分 kOMkON=-45 y1x1y2x2=-45 5y1y2+4x1x2=07 分即(5k2+4)x1x2+5mk(x1+x2)+5m2=0)页8共(页4第案答)类医农工理(学数级7102高(5k2+4)5m2
14、-204+5k2+5mk-10km4+5k2()+5m2=0整理得:2m2=5k2+49 分代入 得:m 0MN=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2-10km4+5k2()2-4 5m2-204+5k2()=4 51+k25k2+4-m24+5k210 分O 到 MN 的距离 d=m1+k211 分 SMON=12MNd=2 5m5k2+4-m24+5k2=2 5m2m2-m22m2=5综上:SMON=5 为定值.12 分21.解:(1)f(x)有两个零点 关于 x 的方程 eax=x 有两个相异实根由 eax 0,知 x 0 f(x)有两个零点 a=lnxx 有两个相异实根.1
15、分令 G(x)=lnxx,则 G(x)=1-lnxx2由 G(x)0 得:0 x e,由 G(x)e G(x)在(0,e)单调递增,在(e,+)单调递减 G(x)max=G(e)=1e2 分又 G(1)=0 当 0 x 1 时,G(x)1 时,G(x)0)页8共(页5第案答)类医农工理(学数级7102高当 x+时,G(x)03 分 f(x)有两个零点时,实数 a 的取值范围为 0,1e().4 分(2)当 a=1 时,f(x)=ex-x 原命题等价于 xex lnx+mx+1 对一切 x (0,+)恒成立m ex-lnxx-1x 对一切 x (0,+)恒成立.5 分令 F(x)=ex-lnxx
16、-1x(x 0)m F(x)min F(x)=ex+lnxx2=x2ex+lnxx2令 h(x)=x2ex+lnx,x (0,+),则 h(x)=2xex+x2ex+1x 0 h(x)在(0,+)上单增又 h(1)=e 0,h 1e()=e1e-2-1 e0-1=0 x0 1e,1(),使 h(x0)=0 即 x20ex0+lnx0=0 7 分当 x (0,x0)时,h(x)0即 F(x)在(0,x0)递减,在(x0,+)递增 F(x)min=F(x0)=ex0-lnx0 x0-1x08 分由 知 x20ex0=-lnx0 x0ex0=-lnx0 x0=1x0ln 1x0=ln 1x0()el
17、n 1x0 函数(x)=xex 在(0,+)单调递增 x0=ln 1x0即 x0=-lnx010 分 F(x)min=e-lnx0-x0 x0-1x0=1x0+1-1x0=111 分 m 1 实数 m 的取值范围为(-,1.12 分)页8共(页6第案答)类医农工理(学数级7102高22.解:(1)设 M 的极坐标为(,),在 OPM 中,有 =4sin 点 M 的轨迹的极坐标方程为 =4sin.4 分(2)设射线 OA:=,-2,2(),圆 C 的极坐标方程为 =2cos由=2cos=得:OA=1=2cos5 分由sin +3()=4=得:OB=2=4sin +3()6 分OAOB=2cos4
18、sin +3()=12 cossin +3()=12 cos sincos 3+cossin 3()=14 sincos+34 cos2=18 sin2+38(cos2+1)=14 sin 2+3()+388 分 -2,2()-23 2+3 43 当 2+3=2,即 =12 时,OAOB()max=2+389 分OAOB的最大值为2+38.10 分23.解:(1)f(x)4-2x-3等价于 x 32(x+1)+(2x-3)4由 得:x 32x 2 32 0,n 0,m+2n=mn m+2n=12(m2n)12 (m+2n)24 m+2n 87 分当且仅当m=2nm+2n=mn,即m=4n=2时取等号 f(m)+f(-2n)=m+1+-2n+1m+2n 89 分当且仅当-2n+1 0 即 n 12 时取等号 f(m)+f(-2n)8.10 分)页8共(页8第案答)类医农工理(学数级7102高