1、成都外国语学校2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷选择题部分，共60分一单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：，故选：C.2. “”是“”的（）条件A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.
2、 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当，可得成立，所以充分性满足；当时，可得或，所以必要性不满足；即“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3. 函数的零点所在区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为，由零点存在定理可知，函数的零点所在区间是.故选：B.4. 设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结
3、合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当时，的解为，因为函数为奇函数，所以当时，若，即，则所以，解得，综合得不等式的解集是.故选：C.5. 设函数（且），若，则（ ）A. 3B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为（且），所以，所以，解得或（舍去）.故选：A6. 已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简，通过讨论函数和的单调性和取值范围即可得出的大小关系.【详解】解：由题意，在中，函数单调递增，且，在中，函数单调递增，且当时，故选：A.7. 在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头
4、的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，）的概率为以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）（参考数据：，）A. 2.9B. 3.2C. 3.8D. 3.9【答案】C【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为，一个数的首位数字是的概率为，所求的比为故选：C8. 已知函数定义域为，且图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
5、【分析】分析可知函数为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数的值，根据函数的单调性、偶函数的性质，结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围.【详解】因为函数的图象关于对称，令，则，即，即，所以，故函数是定义在上的偶函数，则，解得，所以，函数是定义在上的偶函数，由题意可知，函数在上单调递减，由可得，所以，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.二多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知实数，则下列说法正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】
6、ABC【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A：因为，所以，故A 正确；选项B：因为，所以，故B正确；选项C：因为，所以，所以，故C正确；选项D： ，取，故D错误；故选：ABC.10. 下列说法正确的有（ ）A. 命题“，”的否定为“，”B. 若，则C. 若幂函数在区间上是减函数，则或D. 方程有一个正实根，一个负实根，则【答案】AD【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A；举反例可判定B；根据幂函数定义和性质可判定C；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“，”的否定为“，”，A选项正确；对于B选项，
7、若，如，则，B选项错误；对于C选项，函数是幂函数，所以，解得，所以C选项错误；对于D选项，设，则有两个零点，且两个零点一正一负，则，所以D选项正确故选：AD.11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：，；，当时，；则下列选项成立的是（ ）A. B. 若，则C. 若，则D. ，使得【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件探求出函数的奇偶性和在的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由，得：函数是上的偶函数，由，得：在上单调递增，对于A，根据函数在上单调递增，可得，故A错误；对于B，根据函数是上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，则，又函数的图象是连续不断的
8、，则有，解得，故B正确；对于C，由，则或，又，解得或，即，故C错误；对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，因此，取实数，使得，则，故D正确.故选：BD.12. 直线与函数的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示： 当时，此时或；当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增，此时或，或，直线与函数有四个不同的点，必有，此时，其中，且，因此有，显然，因此，所以选项A不正确，选项B、C正确
9、；因为，结合图象知：，因此选项D正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到，的取值范围是解题的关键.第II卷非选择题部分，共90分三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数（且），则函数恒过定点_【答案】【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于，所以函数恒过定点.故选：14. 函数的递减区间为_.【答案】【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间，且要满足，从而求出答案.【详解】因为在上单调递减，由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间，且要满足，解得或，其中在上单调递增，故的递减区间为.故答案为：15. 如果关于的
10、不等式的解集为，其中常数，则的最小值是_.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式的解集为，其中常数，所以是方程的实数根，时，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故的最小值是故答案为：16. 定义在上的函数满足，且当时，对，使得，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】求出在上的值域，利用得到在上的值域，再求出在上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.【详解】当时，由于为对称轴为开口向下的二次函数，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，可得在上单调递减，在上单调递增，在上的值域为，在上的值域为，在上的
11、值域为，故当，在上的值域为，当时，为增函数，在上的值域为，解得，故的范围是；当时，为单调递减函数，在上的值域为，解得故的范围是，综上可知故的范围是.四解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）代入，求解集合，按照交集定义直接求解即可；（2）求解集合，由并集为全集得出集合的范围，从而求出的范围.【小问1详解】解：由得或.所以.当时，.所以.【小问2详解】由题意知.又，因为，所以.所以.所以实数的取值范围是.18. 计算（1）（2）已知求【答案】（1）10+
12、 （2）【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出，再求出即得解.【小问1详解】解：原式=10+.【小问2详解】解：. 又 . .19. 已知函数.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）求不等式的解集.【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解【小问1详解】要使函数有意义,则，解得，故所求函数的定义域为；【小问2详解】证明：由（1）知的定义域为，设，则,且，故为奇函数；【小问3详解】因为，所以，即可得，解得,又
13、，所以，所以不等式的解集是20. 科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：，其中m，b均为常数（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒【答案】（1）选， （2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数中，随的增长而增长
14、，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，由题意可得：，解得：，所以该模型的解析式为：，【小问2详解】由（1）知：，由题意知：，也即，则有，至少需要4秒21. 已知函数的定义域为，且对一切都有，当时，有；（1）求的值；（2）判断的单调性并证明；（3）若，解不等式；【答案】（1）f（1）0；（2）在（0，）上是增函数，证明见详解；（3）【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求的值；（2）任取（0，），且，利用条件可得，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：令xy0，则f
15、（1）f（x）f（x）0，所以f（1）0；（2）任取（0，），且，则，因为，所以，则，所以即，所以在（0，）上是增函数；（3）因为，所以，所以，由，得，所以，解得所以原不等式的解为【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题22. 已知函数的图象过点，.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）可知，令，得，设，则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，所以，解得，因为，所以的取值为2或3.（3）因为且，所以且，因为，所以的最大值可能是或，因为所以，只需，即，设，上单调递增，又，即，所以，所以m的取值范围是.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
