1、 高中 2019 级数学试题 第 1 页（共 7 页）仁寿一中南校区高 2019 级第二次月考试题 数学 考试时间共 120 分钟，满分 150 分 注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共 12
2、 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若数列的通项公式为，则此数列是（A ）A.公差为2 的等差数列 B.公差为5 的等差数列 C.首项为5 的等差数列 D.公差为n 的等差数列 2.在等比数列 na中，已知1 358a a a，则24a a (D )A16 B6 C12 D4 3.设0,ab 则下列不等式中恒成立的是（B）A ba11 B ba11 C 2ba D 2ab 4.不等式 3102xx 的解集是（B ）A1|23xx B1|23xx C1|23x xx或 D 5.在ABC 中，若2,4,60,acB 则b 等于(A)A2 3
3、 B12 C2 7 D28 6.ABC中，角CBA、所对的边分别是cba、，若角CBA、依次成等差数列，且3,1ca则ABCS等于（D ）.A2 B.3 C.23 D.43 7.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第6 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（D）na25nan2x x 高中 2019 级数学试题 第 2 页（共 7 页）A34 B46 C66 D.38 8.在 ABC中，若0120,2Ab，三角形的面积3S，则三角形外接圆的半径为（C ）A 3 B2 3 C2 D4 9.等差数列 na,nb的前n 项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=（B ）A 23 B 2131
4、nn C 2131nn D 2134nn 10.已知数列 na对任意的+pqN、，满足qpqpaaa，且26a ，那么10a等于（C ）A.165 B.33 C.30 D.21 11.在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c.若2.sinsinabcBA则 ABC的形状是（B）A等边三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D直角三角形 12.在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c.若22abc 则cosC 的最小值（A）A624 B32 C622 D324 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.在等差数列 na中，328,nan则使nS
5、 取得最小值时的=n_9_ 14.在 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且abc，32 sinabA则角 B 的大小为_60 ；15.若不等式02baxx的解集为32 xx,则 ba_ 1 _；16.下列命题成立的是 （写出所有正确命题的序号）222,a b cR abcabbcac；当0 x 时,函数22112()2222f xxxxxx，当且仅当22xx即2x 时()f x 取最小值；当1x 时，2451xxx；当0 x 时，111xxxx 的最小值为 52 高中 2019 级数学试题 第 3 页（共 7 页）三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤。17.（10 分）在 ABC中,内角,A B C 的对边分别为,a b c,且 sin3 cosbAaB.(1)求角 B 的大小;(2)若3,sinC2sinAb,求,ca的值.18.（12 分）已知递减等差数列 na中，374616,0a aaa ，求：（1）求数列通项公式na；（2）求数列na前n 项和15S.解析：（1）设的公差为，则 即 解得 na为递减数列nan2106 分 nad11112616350adadadad 22111812164adadad 118,82,2aadd 或 高中 2019 级数学试题 第 4 页（共 7 页）（2）当0,5nan，0,
7、6nan 5,4095,922nnnnnnsn12 分19.（12 分）如图所示，近日我渔船编队在岛 A 周围海域作业，在岛 A 的南偏西 20方向有一个海面观测站 B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与 B 相距 31 海里的 C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西 40方向，以 40 海里/小时的速度向岛 A直线航行以保护我渔船编队，30 分钟后到达 D 处，此时观测站测得 B，D 间的距离为 21 海里()求cos BDC的值；()试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛 A？【详解】()由已知可得140202CD，BDC 中，根据余弦定理求得2222120311c
8、os2 21 207BDC，4 3sin7BDC()由已知可得204060BAD ，4 31135 36072721)4(sin ABDsinBDC ABD中，由正弦定理可得sin21 sin15sinsinBDABDABDADBADBAD，156022.540t 分钟即海警船再向前航行 22.5 分钟即可到达岛 A 20.（12 分）已知数列的前项和为(*nN)，且312nnSa.（1）求数列的通项公式；（2）设nnbna，求数列的前项和.答案及解析：nannS nana nbnnT 高中 2019 级数学试题 第 5 页（共 7 页）21.（12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A
9、，B，C 所对的边，且232 coscbaB，7a.（）若3c，求ABC 的面积；（）若ABC 为锐角三角形，求 3bc的取值范围.【详解】解：（）232 coscbaB，由正弦定理得，2sin3sin2sin cosCBAB，2sin3sin2sin cosABBAB，2cos sin3sinABB，0,B，sin0B，3cos2A，0,A，6A.高中 2019 级数学试题 第 6 页（共 7 页）由余弦定理得：2373232bb ，2340bb，410bb，4b（负值舍去），111sin433222ABCSbcA.法二：由余弦定理得，2222322acbcbaac，2223bcabc，3c
10、os2A，0,A，6A由余弦定理得：2373232bb ，2340bb，410bb，4b（负值舍去），111sin433222ABCSbcA.（）由正弦定理得：72 71sinsinsin2abcABC，532 73sinsin6bcBB 312 7sincos2 7sin226BBB.ABC是锐角三角形，32B，663B，13sin262B，37,21bc.高中 2019 级数学试题 第 7 页（共 7 页）22.（12 分）已知数列 na的首项1133,521nnnaaanNa（1）求证：数列11na为等比数列；（2）记12111nnSaaa，若101nS，求最大正整数n 的值；（3）是否
11、存在互不相等的正整数,m s n，使,m s n 成等差数列，且1,1,1msnaaa 成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由.答案及解析：解：（1）因为112133nnaa，所以111 11(1)3nnaa 又因为1110a ，所以 110()nnNa，所以数列11na为等比数列.（2）由（1）可得112 11()3 3nna，所以 112()13nna ，1212111111111332()211333313nnnnnSnnnaaa，若101nS，则111013nn ，所求最大正整数n 的值为 100.（3）假设存在满足题意的正整数,m s n，则2mns，2(1)(1)(1)mnsaaa，因为332nnna，所以2333(1)(1)(1)323232mnsmns，化简得，332 3mns，因为33232 3mnm ns，当且仅当mn时等号成立，又,m s n 互不相等，所以满足题意的正整数,m s n 不存在.