1、宜宾市四中2022-2023学年高一上第三学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合中的一元二次不等式，取交集即可.【详解】由得，而，所以.故选：A2. 满足的角的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用正弦函数的图像性质即可求解.【详解】.故选：D.3. 函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为，所以函数的奇函数，排除答案A
2、、C ，又当时，函数单调递减，故排除答案B，应选答案D4 设，则（ ）A. B. C. 3D. 2【答案】D【解析】分析】利用诱导公式化简，代入可得选项.【详解】，故选：D.5. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两个不等式的的取值范围，根据的取值范围判断充分必要性.【详解】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件故选：B6. 已知偶函数在上是增函数，若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
3、分析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，的大小【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，所以，又，所以，故，故选：C7. 1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数若，则的值约为（ ）A. 2.301B. 2.322C. 2.507D. 2.699【答案】B【解析】【分析】根据指对数互化公式得，再结合换底公式计算即可得答案.【详解】解：由指对数互化公式得 故选：B8. 已
4、知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先证明，可得，构造函数可得是奇函数，根据复合函数的性质可判断在上单调递增，所解不等式等价于，可得，即可求解.【详解】即，所以，设，则，可得是奇函数.因为和都是增函数，所以为增函数，因为单调递增，所以在上单调递增，所以函数，在上单调递增，所以在上单调递增，由可得，即，所以，整理得：，解得： ， 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是计算出，构造函数是上的奇函数且是增函数，原不等式等价于，根据奇偶性和单调性脱掉即可求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
5、要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据，并结合为锐角求解即可.【详解】解：因为，所以，即所以，因为为锐角，所以，所以，所以，所以故选：ABD10. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质，并结合指数函数与幂函数的单调性依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A选项，当时，故A选项错误；对于B选项，因为，所以，故B选项正确；对于C选项，由于函数是增函数，所以当，故C选项正确；对于D选项，由于函数单调递减，所以，故D选项正确；故选：
6、BCD11. 已知函数，则（ ）A. 的周期为B. 的定义域为C. D. 在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据正切函数的周期性、定义域、单调性和特殊角的正切值依次判断选项即可.【详解】函数的最小正周期为，故A正确；由，得，所以函数的定义域为，故B错误；，所以，故C正确；时，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD12. 已知函数的定义域为R，对任意的实数想，x，y满足，且，下列结论正确的是（ ）A. B. C. 为R上的减函数D. 为奇函数【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法确定ABC选项的正确性，根据奇偶性的定义判断D选项的正确性.【详解】依题意，且，令，得，故A选项正确.令，
7、则，即，令，得，即，故B选项正确.由于，故C选项错误.令，得，即，即，所以为奇函数，故D选项正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，若，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】先求，再代入求，求实数的值.【详解】，即，又，且，所以.故答案为：14. 若，则_.【答案】【解析】【分析】根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由，可得.故答案为：15. 已知实数满足，则的取值范围是_【答案】【解析】【详解】试题分析：依题意， ，代入 得 ；整理得 在实数范围内有解，即，解得 .考点：1.构造一元二次方程；2.一元二次方程根的分布.16. 已
8、知函数，g（x）x2-2x，若，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是_【答案】0，1【解析】【分析】当时，当时，由，使得f（x1）g（x2），等价于，解不等式即可得解.【详解】当时，当时，由，使得f（x1）g（x2），则，可得：，解得，故答案为：.【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答的最小正周期为，且是偶函数；图象上相邻两个最高点之间的距离为，且；直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，且问题：
9、已知函数，若_（1）求，的值；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调递减区间【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）选由周期确定由偶函数结合两角和的正弦得推出；选由相邻两个最高点之间的距离为，得由得推出；选由相邻对称轴得，由得（2）由图像平移伸缩得利用整体法求单调区间再赋值求交集即可【小问1详解】选条件：（1）的最小正周期为，又是偶函数，对恒成立，对恒成立，又，选条件：函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，又，即，又，选条件：直线与直线是图象上相邻的两条对称轴，即，又，又，【小问2详解】由（1）
10、无论选择均有，将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象由，得，在上的单调递减区间是18. 已知函数，且关于的不等式的解集为（1）求实数，的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据韦达定理求解即可；（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.【详解】（1）由题意得，1是方程的根，由韦达定理得，所以，又，解得所以，（2）由题意得，在上恒成立，令，只需即可，由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立所以，所以实数的取值范围是19. 如图，长方形中，点分别在线段（含端点）上，为中
11、点，设.（1）求角的取值范围；（2）求出周长关于角的函数解析式，并求周长的取值范围.【答案】（1）（2），周长的取值范围为【解析】【分析】（1）结合图像可得当点位于点时，角取最大值，点位于点时，取最大值，角取最小值，在直角三角形中求解即可.（2）在中，求出，在中，求得，在中，根据勾股定理得，从而可得，通分可得，令，借助三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由题意知，当点位于点时，角取最大值，此时，因为，所以当点位于点时，取最大值，角取最小值，此时，所以故所求的取值集合为（2）在中，所以在中，所以在中，有勾股定理得因为，所以，所以所以，令，则所以因为，所以所以所以周长的取值范围为【点睛】本题考查
12、了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.20. 已知一次函数,且,设（1）求函数;（2）设函数,求函数在上的最大值的表达式;【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据题意设出函数解析式,根据代入用待定系数法即可确定解析式,进而求出解析式;(2)由(1)得解析式,代入中,画出图像,根据关键节点对进行分类讨论,分别求出的表达式即可.【小问1详解】解:由题知,不妨设；【小问2详解】由题知,，其图像如图所示,当时根据图像得：（i）当时,；（ii）当时,；（iii）当时,.综上有:.21. 2009年某市某地段商业用地价格为每亩60万元，由于土地
13、价格持续上涨，到2021年已经上涨到每亩120万元现给出两种地价增长方式，其中是按直线上升的地价，是按对数增长的地价，t是2009年以来经过的年数，2009年对应的t值为0（1）求，的解析式；（2）2021年开始，国家出台“稳定土地价格”的相关调控政策，为此，该市要求2025年的地价相对于2021年上涨幅度控制在10%以内，请分析比较以上两种增长方式，确定出最合适的一种模型（参考数据：）【答案】（1），；， （2）分析比较见解析；应该选择模型【解析】【分析】（1）由，求得；由 ，求得； （2）分别由，算出直线和对数增长的增长率与10%比较即可.【小问1详解】解：由题知：，所以，解得：，所以，；
14、又，所以，解得：，所以，；【小问2详解】若按照模型，到2025年时，直线上升的增长率为，不符合要求；若按照模型，到2025年时，对数增长的增长率为，符合要求；综上分析，应该选择模型22. 已知函数，其中（1）若是定义在上的奇函数.求的值；判断内的单调性，并用定义证明；（2）当时，证明：.【答案】（1）；单调递增，证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质得到，然后解方程求；利用单调性的定义证明即可；（2）将证明不等式成立转化为证明成立，结合一次函数的单调性得到，然后分，和三种情况讨论的大小，得到，即可证明成立.【小问1详解】因为为R上的奇函数，所以，解得；在上单调递增，设，则，因为，所以，所以在上单调递增.【小问2详解】当，不等式可整理为，证明成立即证明成立，因为，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增，则，当时，；当时，当且仅当时等号成立；当时，；所以，即，即.【点睛】（1）已知函数奇偶性求参数的方法奇函数令求解，偶函数令求解；奇函数定义域包含零时，可以令求解；（2）这里主要是利用主参换位的方法，先将不等式看成关于的不等式，然和结合单调性得到，最后再去证明成立即可证明原不等式成立.
