1、1绵阳南山中学 2022 年春季高二学年统考热身考试 数 学（理工类）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设i 是虚数单位，则复数(2)(1)ii+在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2.下列说法正确的是()A.命题“02x，使得01xe 成立”的否定是“2x，都有1xe 成立”B.命题“若1x，则0lnx”的否命题为“若1x，则0lnx”C.命题“若0=x，则0=xy”的逆否命题为真命题D.命题“R0 x，使得=0sinx成立”为真命题3.命题0:pxR，20010 xx+
2、；命题q：若ab，则22ambm；则下列是真命题的（）A.pqB.pqC.qD.p4.5(2)axx的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中 x 的系数是（）A.80B.40C.40D.805.已知函数()xf xeax=，则“3a ”是“函数()f x 在 R 上为增函数”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6.如图，设OAa=，OBb=，OCc=，若 ANNB=，2BMMC=，则 MN=()A.112263abc+B.112263abc+C.111263abc D.111263abc+27.函数 yx28ln|x|的图象大致为()8.小笼包在生活中非常
3、常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有 8个且是 8 种口味的小笼包，这 8 种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝士味、麻辣味，蒜香味、人参味，酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻的概率为()A 156 B.128 C.18 D.27 9.已知函数xxxxf3ln9-)(2+=在其定义域内的一个子区间(m-1,m+1)上不单调，则实数 m 的取值范围是()A)25,1 B.3(1,)2 C.5(1,)2 D.31,)2 10.某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为 21，且相互之间没有
4、影响，若每个项目成功都获利 20 万元，若每个项目失败都亏损 5 万元该公司三个投资项目获利的期望为()A30 万元B.22.5 万元C.10 万元D.7.5 万元11.已知函数()xf xeb=+的一条切线为 y=ax+a，则 ab 的最小值为()A12e B.2e C.12e D.2e12.若关于 x 的不等式 11()9xx有正整数解，则实数 的最小值为()A.9B.8C.7D.6二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案直接填在答题卡中的横线上。13.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为_1
5、4.的展开式中的系数为_()()52xyxy+33x y315.在长方体1111ABCDA B C D中，1A D 和1CD 与底面所成的角分别为 30和 45，异面直线1A D 和1CD 所成角的余弦值为_16.已知函数2()4 ln2lnxf xexmxxex=+存在 4 个零点,则实数 m 的取值范围是_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的 10 道题中，甲答对其中每道题的概率都是 35，乙能答对其中的 8 道题，规定每次考
6、试都从备选的 10 道题中随机抽出 4 道题进行测试，只有选中的 4 个题目均答对才能入选.(1)求甲恰有 2 个题目答对的概率；(2)求乙答对的题目数 X 的分布列及数学期望；18.如图，在 ABC中，=4ABC，O 为 AB 边上一点，且 3OB=3OC=2AB，PO 平面 ABC，2DA=2AO=PO，且 DA/PO.(1)求证：CO 平面 POB；(2)求直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值.19.设函数32()(1)f xxa xax=+(1)a=0 时,求 f(x)在区间-1,2上的最大值与最小值.(2)a0 时,f(x)有两个不同的极值点 x1,x2,且对不等式12()()
7、0f xf x+恒成立，求实数 a 的取值范围？20.如图，在几何体 ABCDEF 中，/,1,60ABCD ADDCCBABC=，四边形 ACFE 为矩形，平面ACFE 平面 ABCD，CF=1.(1)求证：平面 FBC平面 ACFE；(2)点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为()90 ，试求 cos 的取值范围421.已知函数23()2()xxaf xeaxaRe=+.(e=2.71828为自然对数的底数)(1)讨论 f(x)的单调区间；(2)当(0,)x+时，2223()10()xxaexaxaf xe+恒成立，求 a 的取值范围（二）选考题
8、：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。22【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线1C 的参数方程为1 cossinxy=+=（为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin=(1)求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)已知曲线3C 的极坐标方程为()0,R=，点 A 是曲线3C 与1C 的交点，点 B 是曲线3C 与2C 的交点，A，B 均异于极点，且2 2AB=，求 的值23【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）已知函数()2af xx=
9、(1)当2a=时，求不等式()21f xx+的解集；(2)若()()g xf xxbc=+(a，b，c 均为正实数)的最小值为 3，求222abc+的最小值 1绵阳南山中学 2022 年春季高二学年统考热身考试 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分DCDDA ACBAB AD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分131414 40 1524 161(0,)212 题解析:因为 119xx，所以9xx，同取对数得ln2ln3xx，因为*xN，所以0，即 ln2ln3xx,令()lnxf xx=，()21 lnxfxx=
10、，所以()f x 在（0，e）上单调递增，在(),e+上单调递减，因为23e，只需考虑()2f和()3f的大小关系，因为()ln2ln8226f=，()ln3ln9336f=，所以()()23ff 所以只需 ln32ln33，即6，故最小值为 6.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17.(1)甲在备选的 10 道题中，答对其中每道题的概率都是 35，选中的 4 个题目甲恰有 2 个题目答对的概率2224315455625PC =.4 分(2)由题意知乙答对的题目数 X 的可能取值为 2，3，4，5 分2()2228410282221015C CP XC=，.7 分()1328410
11、1128321015C CP XC=，.9 分()4841070142103CP XC=，.11 分X 的分布列为：故28116()234151535E X=+=12 分18.(1)证明：OCOB=，又4=ABC，4=OCB，2=BOC，ABCO，.3 分 又PO平面 ABC，OC平面 ABC，OCPO，又ABPO、平面 PAB，OABPO=，CO平面 PAB，即CO平面 PBD.6 分 (2)解：以OC、OB、OP 所在射线分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设1=OA，则2=OCOBPO，1=DA，则)0,0,2(C，)0,2,0(B，)2,0,0(P，)1,1,0(D，
12、)1,1,0(=PD，)0,2,2(=BC，)1,3,0(=BD，设平面 BDC 的一个法向量为),(zyxn=，X234P215815133=00BDnBCn，=+=03022zyyx，令1=y，则1=x，3=z，)3,1,1(=n，设 PD 与平面 BDC 所成的角为，则11222|311)1()1(0)1(3)1(101|sin222222=+=nPDnPD，即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为1122212 分 19.解:(1)a=0 时,f(x)=x3+x2，2()32(32)fxxxxx=+=+1 分 由()0fx解得:02x或213x ，由()0fx解得:203x 所以
13、 f(x)在区间2(0,2,1,)3上单调递增，在2(,0)3单调递减.3 分 又 f(0)=0,24()327f=故 f(x)在区间-1,2上的极大值是 427,极小值是 0.6 分(2)因12()()0f xf x+，故得不等式3322121212(1)()()0 xxa xxa xx+即22121212121212()()3(1)()2()0 xxxxx xaxxx xa xx+由于2()32(1)fxxa xa=+令()0fx=得方程232(1)0 xa xa+=24(1)40aaa=+，122(1)3xxa+=+，123ax x=，8 分代入前面不等式，并化简得2(1)(252)0a
14、aa+，解不等式得 122a.因此，实数 a 的取值范围是 122a 12 分20.(1)证明：在四边形 ABCD 中，160AB CDADDCCBABC，2AB.2222603ACABBCAB BC cos=+，222ABACBCBCAC，.平面 ACFE 平面 ABCD，平面 ACFE 平面 ABCDAC，BC 平面 ABCD，BC平面4ACFE.又因为 BC 平面 FBC，所以平面 FBC 平面 ACFE.6 分(2)由(1)知可建立分别以直线 CA，CB，CF 为 x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系Cxyz，令03()FM则()()(3,)0,0,00,00,1,0,0,
15、1()CABM，(3),(0,)1,1 1ABBM=，设1(,)nx y z=为平面 MAB 的法向量，由1100nABn BM=得300 xyxyz+=+=取1x=，则1(1,3,3)n=2=(1,0,0)n是平面 FCB 的一个法向量，()122121cos34n nnn=+.03，当0 时，cos 有最小值77，当3=时，cos 有最大值 12 所以cos 的取值范围是7 1,72.12 分21.(1)解:222323(3)()()2xxxxxxxxaeaeaea eafxeaeee+=.1 分i)当 a=0 时，()fx=ex0,此时 f(x)在 R 上单调递增.2 分ii)当 a0
16、时，由()fx0 解得:xln(3a),由()fx0 解得:xln(3a),此时 f(x)的单调递增区间为(ln(3a),+),f(x)的单调递减区间为(,ln(3a)3 分iii)当 a0 解得:xln(-a),由()fx0 解得:x0 时,f(x)的单调递增区间为(ln(3a),+),f(x)的单调递减区间为(,ln(3a).a0令 g(x)=ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10,则当 x0 时,g(x)0.()g x=(ex-2)(x-a)i)a 0 时，x-a0,g(x)在(0,ln2)单调递减，在(ln2,+)单调递增，故 g(ln2)=22(2ln 22)ln 22ln 2
17、80aa+，解得:ln2-4aln2+2,所以：ln2-4 a 0.6 分ii)0 aln2 时,g(x)在(0,a)单调递增，在(a,ln2)单调递减,在(ln2,+)单调递增，则(ln 2)0(0)0gg，解得:0a0 成立；.9 分iv)aln2 时,g(x)在(0,ln2)单调递增，在(ln2,a)单调递减,在(a,+)单调递增，则2()100(0)90ag aegaa=，所以：ln2aln10.11 分 综上:a 的取值范围是(ln2-4,ln10)12 分22.（1）曲线1C 的参数方程为1 cossinxy=+=（为参数）转换为直角坐标方程为：()2211xy+=曲线2C 的极坐
18、标方程为2sin=转换为直角坐标方程为：()2211xy+=.5 分（2）曲线1C 的参数方程为1 cossinxy=+=（为参数）转换为极坐标方程为：2cos=，6曲线2C 的极坐标方程为2sin=曲线3C 的极坐标方程为()0=R，点 A 是曲线3C 与1C 的交点，点 B 是曲线3C 与2C 的交点，A，B 均异于极点，且2 2AB=，2sin=，2cos=，整理得：122sin2cos2 2 sin2 24ABa=，解得34=10 分24.(1)当2a=时，不等式()21f xx+即211xx+，：2111xxx+，或2111xxx+，112xxx或，或101xxx或，故不等式的解集为0 x x或1x；5 分(2)由绝对值三角不等式可得：()()3222aaag xxxbcxxbcbc=+=+=，当且仅当()02axxbc+时取等号，,a b c 均为正实数，32abc+=，根据柯西不等式可得，()222211 1942aabcbc+=，222 4abc+，当且仅当2abc=，即24,33abc=时等号成立，222abc+的最小值是 410 分
