1、章末综合测评(三)概率(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列事件中，随机事件的个数为()在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；在标准大气压下，水在4时结冰A1B2C3D4C在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军李凯不一定被抽到任取一张不一定为1号签在标准大气压下水在4时不可能结冰，故是随机事件，是不可能事件2若干个人站成一排，其中为互斥事件的是()A“
2、甲站排头”与“乙站排头”B“甲站排头”与“乙不站排尾”C“甲站排头”与“乙站排尾”D“甲不站排头”与“乙不站排尾”A由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件3给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是()A. B.C. D.B给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P.4在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率为()A. B.C. D.B所求事件构成的区域长度为2 m，试验的全部结果所构成的区域长度为6 m，故灯与两端距离都大于2 m的概率为
3、.5掷一枚均匀的硬币两次，事件M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是()AP(M)，P(N)BP(M)，P(N)CP(M)，P(N)DP(M)，P(N)D掷一枚硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种情况，事件M包含2种情况，事件N包含3种情况，故P(M)，P(N).6某人从甲地去乙地共走了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为，则河宽为()A100 mB80 mC50 mD40 mA设河宽为x m，则1，x
4、100.7考察下列命题：(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种等可能的结果；(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、二个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)从4，3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同其中正确的命题有()A0个B1个C2个D3个A(1)中，出现“两个正面”“两个反面”的概率都是，出现“一正一反”的概率是，因此不是等可能的；(2)中，每种颜色的球的个
5、数不同，因此被摸到的可能性不同；(3)中，小于0的数有4个，不小于0的数有3个，显然取到的数小于0的可能性更大；(4)中，每个男同学当选为代表的机会是，每个女同学当选为代表的机会是，显然可能性不同；(5)中，抽签无论先抽还是后抽，中奖的机会相等综上，选A.8在区间1,4内取一个数x，则2xx2的概率是()A. B.C. D.D不等式2xx2，可化为x2x20，则1x2，故所求概率为.9定义：abcde10 000a1 000b100c10de，当五位数abcde满足abde时，称这个五位数为“凸数”由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的
6、概率为()A. B.C. D.D由题意，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521，共6个基本事件，所以恰好为“凸数”的概率为P.故选D.10分别在区间1,6和1,4内任取一个实数，依次记为m和n，则mn的概率为()A. B.C. D.A建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足mn的点应在梯形ABCD内，所以所求事件的概率为P.11在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件
7、，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件D由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故各事件的关系可由图表示由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件12阅读图所示的程序框图，如果函数的定义域为(3,4)，则输出函数的值在内的概率为()A. B.C. D.A由程序框图得，f(x)若1x1，令2x1，即2x，2x1(舍去)；若x1，令2x1，即2x，1x2.问题转化为长度的几何概型，总长度为4(3)7，所求事件表示的长度为211，则所求的概率为.故选A.二、填空题(
8、本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上)13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_0.98由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2，其中高铁个数为10201040，所以该站所有高铁平均正点率约为0.98.14从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是_，这两个数字之和是偶数的概率是_从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法取的两个数字都
9、是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为.15已知集合A(x，y)|x2y21，集合B(x，y)|xya0，若AB的概率为1，则a的取值范围是_，依题意知，直线xya0与圆x2y21恒有公共点，故1，解得a.16.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH构成现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为_因为直角三角形的两条直
10、角边长为3和4，所以正方形ABCD的边长为a5，所以S正方形ABCDa225，所以S正方形EFGHS正方形ABCD4SABF254341，因此，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为P.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了1名女同学、2名男同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同
11、学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率解(1)设选出的3名高二甲班同学为A，B，C，其中A为女同学，B，C为男同学，选出的3名高二乙班同学为D，E，F，其中D为男同学，E，F为女同学从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F
12、)，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率P.(2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为.18(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么
13、？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由 解(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5525(种)，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种情况，P(A).(2)B与C不是互斥事件因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意(3)这种游戏规则不公平由(1)知和为偶数的基本事件数为13，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.所以这种游戏规则不公平19(本小题满分
14、12分)四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1,2,3,4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张(不放回)，再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张(1)列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；(2)计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少解(1)如图则所有可能情况为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种(2)积为奇数的情况为(1,3)，(3,1)，共2种，因此有P(积为奇数).20(本小题满分12分)在等腰三角形ABC中 ，BC30，求下列事件的概
15、率(1)在底边BC上任取一点P，使BPAB；(2)在BAC的内部任作射线AP交BC于P，使BPAB.解(1)因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为试验的全部结果所构成的区域，以B为圆心，BA为半径的弧交BC于M，记“在底边BC上任取一点P，使BPAB”为事件A，则P(A).(2)所作射线AP在BAC内是等可能分布的，在BC上取一点M，使AMP75，则BMBA.记“在BAC的内部作射线AP交线段BC于P，使BPAB”为事件B，则P(B).21. (本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分
16、析，得到如下频率分布表：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率解(1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c0.1.从而a10.20.450.10.150.1.所以a0.1，b0.15
17、，c0.1.(2)从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件，其等级系数相等”，则事件A所包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个故所求的概率P(A)0.4.22(本小题满分12分)一条笔直街道上的A，B两盏路灯之间的距离为120米，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C，D，路灯次序为A，C，D，B，求A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率解设A与C之间的距离为x米，B与D之间的距离为y米，(x，y)可以看成平面中的点，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，(x，y)的所有可能结果构成的区域为(x，y)|0xy0，y0，即两直角边边长都为120米的等腰直角三角形区域(不包括边界)而“A与C，B与D之间的距离都不小于40米”(记为事件M)的所有可能结果构成的区域为M(x，y)|x40，y40，x且y，即图中的阴影部分由几何概型的概率计算公式得P(M).故A与C，B与D之间的距离都不小于40米的概率为.