1、 第二章 数列明目标、知重点 Contents Page明目标知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 010203当堂测 查疑缺 04明目标、知重点 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题明目标、知重点 明目标、知重点 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一固定常数；当d0时，an的相应函数是一次函数；点(n，an)分布在以为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.填要点记疑点 d明目标、知重点 2.等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列an中，已知a1，d,am,an(
2、mn)，则d，从而有anam.(2)项的运算性质：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.ana1n1anamnm(nm)d明目标、知重点 3.等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1ana2an1a3an2.明目标、知重点(2)若an、bn分别是公差为d，d的等差数列，则有 数列结论can公差为d的等差数列(c为任一常数)can公差为cd的等差数列(c为任一常数)anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*)panqbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数)(3)an的公差为d，
3、则d0an为递增数列；d1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列.首项a1pq，公差dp.明目标、知重点 反思与感悟 判断数列an是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，即anan1(n1)是不是一个与n无关的常数；也可以利用等差中项，即若an1成立，则说明an是等差数列.anan22明目标、知重点 跟踪训练2 已知a，b，c成等差数列，证明a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)也能构成等差数列.证明 a，b，c成等差数列，ac2b.a2(bc)c2(ab)a2ba2cc2ac2b(a2bc2b)(a2cc2a)明目标、知重
4、点 b(a2c2)ac(ac)b(a2c2)2abc b(a2c22ac)b(ac)2b(ac)(ac)2b2(ac).a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)能构成等差数列.明目标、知重点 探究点三 等差数列性质的应用 例3 已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式.解 因为a1a72a4，a1a4a73a415，所以a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，明目标、知重点 即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.明目标、知重点 反思与感悟 解决本类问题一般有
5、两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.明目标、知重点 跟踪训练3 在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值.解 方法一 a1a4a7(a1a7)a43a439，a413，a2a5a8(a2a8)a53a533.a511，da5a42.a3a6a9(a3a9)a6 2a6a63a63(a5d)3(112)27.明目标、知重点 方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d)3a19d
6、39，a13d13，a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d)3a112d33.a14d11，明目标、知重点 由联立a13d13，a14d11，得d2，a119.a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d)3a115d31915(2)27.明目标、知重点 例4 三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数.解 方法一 设等差数列的中间一项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad，依题意得，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，故三个数为2,2,6或6,2，2.明目标、知重点 方法二 设首项为a，公差为d，这三个数分别为a
7、，ad，a2d，依题意得，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24，得2(2d)(2d)24,4d212，即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2，2.明目标、知重点 反思与感悟 当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，；当项数为偶数项时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量.明目标、知重点 跟踪训练4 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两数的积为8，求这四个数.解 方法一 设这四个数为a3d，ad，a
8、d，a3d(公差为2d).依题意得，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.明目标、知重点 又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.方法二 设这四个数为a，ad，a2d，a3d(公差为d)，依题意得，2a3d2，且a(a3d)8，把 a132d 代入 a(a3d)8，得(132d)(132d)8，即 194d28，明目标、知重点 化简得d24，所以d2或2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d2，a2.故所求的四个数为2,0,2,4.明目标、知重点 当堂测查疑缺 1 2 3 41.等差数列an中，已知a310，a820，则
9、公差d 等于()A.3B.6C.4D.3解析 由等差数列的性质，得a8a3(83)d5d，所以d6.20105B明目标、知重点 1 2 3 42.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于()A.32 B.32 C.35 D.35解析 由a8a4(84)d4d，得d3，所以a15a8(158)d147335.C明目标、知重点 1 2 3 43.等差数列an中，a4a515，a712，则 a2 等于()A.3 B.3 C.32D.32A解析 由数列的性质，得a4a5a2a7，所以a215123.明目标、知重点 4.已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求
10、这三个数.解 设这三个数为ad，a，ad，由已知得 1 2 3 4adaad18 ad2a2ad2116 明目标、知重点 由得a6，代入得d2.该数列是递增数列，d0，即d2.这三个数依次为4,6,8.1 2 3 4明目标、知重点 1.在等差数列an中，当mn时，d为 公 差 公 式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为aman(mn)d.2.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.呈重点、现规律amanmn明目标、知重点 3.等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.4.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.