1、高 2017 级高三上期 11 月阶段性测试数学试题（文科）考试时间：120 分钟 全卷满分：150 分 I 卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1设集合 1,0A=，|,Bt tyx xA yA=，则 AB=（）.A 1.B 1.C 1,1.D 1,0 2在复平面内，给出以下四个说法：实轴上的点表示的数均为实数；虚轴上的点表示的数均为纯虚数；互为共轭复数的两个复数的实部相等，虚部互为相反数；已知复数 z 满足(1)3i zi+=，则1 2zi=其中说法正确的个数为（）.A 1.B 2.C 3.D 4 3设等比数列na前n 项和为nS，21a=，2572aa=，则6
2、S=（）.A 31.B 632.C 63.D 312 4采用系统抽样法从960人中抽取40 人参与一项问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,960，并按编号依序分为第一组、第二组、第四十组然后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9那么，在第八组中抽到的编号是（）.A 129.B 153.C 177.D 201 5魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4若已知正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）.A 16.B 16 3.C 163.D 1283 6如
3、图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部设计了一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T 若鱼缸 水深为h 时，水流出所用时间为t，则函数()hf t=的图象大致是（）.A.B.C.D 7如图三棱锥 SABC中，SA 底面 ABC，ABBC，2ABBC=，2 2SA=，则 SC 与 AB 所成角的大小为（）.A 90.B 60.C 45.D 30 8我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容 如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形 ABCD 所围成的区域记为，在圆内且在正方形 ABCD 外的部分记为，在圆外且在大正方形内的部
4、分记为在整个图形中随机取一点，此点取自、的概率分别记为123PPP、，则（）.A123PPP=+.B132PPP.C123PPP=.D123PPP=9如图所示框图，若输入三个不同的实数 x，输出的 y 值相同，则此输出结果 y 可能是（）.A2.B1.C 12.D 4 10平面直角坐标系中，过坐标原点O 和点(0,1)分别作曲线:xC ye=的切线 1l 和 2l，则直线 1l、2l 与 y 轴所围成的封闭图形的面积为（）.A122e.B 22ee.C12e+.D22(1)ee 11已知椭圆、双曲线均是以线段 AC 的两端点为焦点的曲线，点 B 是它们的一个公共点，且满足0BA BC=，记此椭
5、圆和双曲线的离心率分别为12ee、，则221211ee+=（）.A 32.B 2.C 52.D 3 12已知()yf x=是定义在 R 上的偶函数，且(1)(1)fxf x=，当 1,0 x 时，3()f xx=，则函数()()|cos|g xf xx=在区间5 1,2 2上的所有零点之和为（）.A7.B6.C5.D4 II 卷 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13已知以点C(1,2)为圆心的圆C 与直线20 xy+=相切，则圆C 的方程为_ 14在矩形 ABCD 中，2AB=，4AD=，13AMMD=，则 BM MC=_ 15已知函数()2()ln1f xxx=+，
6、设()3log 0.2af=，()0.24bf=，()1.12cf=，请将abc、按照由大到小的排列顺序写出：_ 16已知数列na满足：231232222(*)nnaaaan nN+=，记数列2211loglognnaa+的前 n 项和为nS，则123_nSSSS=SABC2019-11 高三数月 11（文）第 1 页共 2 页 ABCA1B1C1EF 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分 17（12 分）ABC的内角,A B C 所对的边长分别为,
7、a b c，且(23)cos3 cosbcAaC=（）求角 A 的大小；（）若角6B=，点 M 为 BC 边上靠近点C 的一个四等分点，且 AM 的长为21，求 ABC的面积ABCS 18（12 分）如图，已知直三棱柱111ABCA B C中，ABAC，12ABACAA=，E 是 BC 的中点，F 是1A E 上一点，且12A FFE=.（）证明：AF 平面1A BC；（）求三棱锥11CA FC的体积 19（12 分）某市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中 200 名购房者，并对其购房面积m（单位：平方米，60130m）进行
8、了一次调查统计，制成了如图 1 所示的频率分布直方图，接着调查了该市 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间当月在售二手房均价 y（单位：万元/平方米），制成了如图 2 所示的散点图（图中月份代码 113 分别对应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月）（）试估计该市市民的购房面积的中位数0m；（）现采用分层抽样的方法从购房面积位于110,130的 40 位市民中随机抽取 4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人，求这 2 人的购房面积恰好有一人在120,130的概率；（）根据散点图选择yab x=+和lnycdx=+两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为 0
9、.93690.0285yx=+和 0.95540.0306lnyx=+，并得到一些统计量的值，如下表所示：0.93690.0285yx=+0.95540.0306lnyx=+1321()iiiyy=0.0005910.0001641321()iiyy=0.006050请利用相关指数2R 判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测出 2019 年 12月份的二手房购房均价（精确到0.001）【参考数据】ln 20.69，ln31.10，ln 233.14，ln 253.22，21.41，31.73，234.80【参考公式】22121()1()niiiniiyyRyy=20（12 分）
10、设椭圆22122:1(0)xyCabab+=的一个顶点与抛物线22:4Cxy=的焦点重合，12FF、分别是椭圆1C 的左、右焦点，其离心率63e=，过椭圆1C 右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于 AB、两点（）求椭圆1C 的方程；（）是否存在直线l，使得1OA OB=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由 21（12 分）已知函数21()ln()2f xxxax aR=+（）讨论()f x 的单调性；（）若12xx、为()f x 的两个极值点，证明：21212()()44282f xf xxxaaf+（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按
11、所做的第一题记分 22（10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知极点与坐标原点O 重合，极轴与 x 轴非负半轴重合，M 是曲线1:2sinC=上任一点，点 P 满足3OPOM=设点 P 的轨迹为Q （）求曲线Q 的平面直角坐标方程；（）将曲线Q 向右平移1个单位后得到曲线 N，设曲线 N 与直线:1xtlyt=+(t 为参数)相交于 AB、两点，记点(0,1)T，求|TATB+23（10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数()|5|f xx=（）求不等式()(2)3f xf x+的解集；（）若0a 1611n+三、解答题 17解：（）由(23)cos3 cosbcAaC=，结合正弦定理可
12、得(2sin3sin)cos3sincosBCAAC=，从而有2sincos3sin()3sinBAACB=+=由 ABC中，sin0B，则3cos2A=，故得6A=为所求 （6 分）（）由（）知6A=，又6B=，则CACB=且23C=设CMx=，则4CAx=，又21AM=，那么在 AMC中，有余弦定理可得()()()222221424cos 3xxxx=+，解得1x=从而可得2112sin4sin4 3223ABCSCA CBCx=为所求 （12 分）18解：（）由题意知，等腰直角三角形 ABC中，中线 AEBC，且122AEBC=而直三棱柱111ABCA B C中，1AA 底面 ABC，从
13、而知1AAAE，1AABC 一方面，在1Rt A AE中，因为12A A=，2AE=，则16A E=由12A FFE=，可得63EF=，从而可知1A EAEEFAE=，又1AEFA EA=，则得1AEFA EA，由此可得190AFEA AE=，即有1AFA E 另一方面，由1AABC，AEBC，1AAAEA=，得 BC 平面1A AE，又 AF 平面1A AE，则知 BCAF 综上，1AFA E，且 AFBC，又1BCA EE=，故 AF 平面1A BC，得证之 （6 分）（）如图，过点 E 作 EDAC于 D，连接1A D，在1A ED中作/FGED，交1A D 于G 由1AA 底面 ABC
14、，则1AAED，又因为 EDAC，1AAACA=，则 ED 平面1AAC，那么平面 FG 1AAC 由22123323FGEDAB=，1112 222A CCS=可得1111112423339CA FCA CCVSFG=为所求 （12 分）说明：18 题两个小问的解法思路均不唯一，请依据实际解答，酌情判分（I）也可补形为正方体中研究，或注意到三棱锥1AA BC是正三棱锥的特征应用，或用面面垂直证明线面垂直等（II）也可考虑用等体积转换的方法求解之 19解：（）由频率分布直方图，可得，前三组频率和为0.050.1 0.20.35+=，前四组频率和为 0.050.1 0.20.250.6+=，故中
15、位数出现在第四组，且00.1590 10960.25m=+=（4 分）（）设从位于110,120)的市民中抽取 x 人，从位于120,130的市民中抽取 y 人，由分层抽样可知：4403010 xy=，则3x=，1y=在抽取的4 人中，记 3 名位于110,120)的市民为123,A A A，位于120,130的市民为 B 则所有抽样情况为：121312323(,)(,)(,)(,)(,)(,)A AA AA BA AA BA B，共 6 种 而其中恰有一人在120,130的情况共有 3 种，故所求概率3162P=（8 分）（）设模型 0.93690.0285yx=+和 0.95540.030
16、6lnyx=+的相关指数分别为2212,RR 则210.00059110.006050R=，220.00016410.006050R=，显然2212RR恒成立，且有21226 231kxxk+=+，21226331kx xk=+那么2212121212(2)(2)2()2y ykxxkx xxx=+22222222263126231313131kkkkkkkkk+=+=+则21212253131kOA OBx xy yk=+=+，由此解得12k=为所求 （12 分）CABMx3x4x212019-11 高三数月 11（文）第 3 页共 2 页 21（）()f x 的定义域为(0,)+，21()
17、(0)xaxfxxx+=法一：（考察()u x 的图象特征，分析导函数的正负）记2()1u xxax=+注意到()u x 图象开口向上，对称轴为2ax=，图象过定点(0,1)，在区间(0,)+上讨论如下：（1）当02a，即0a 时，如右图可知()(0)10u xu=，则()0fx恒成立，此时，()f x 在(0,)+上为增函数；（2）当02a，即0a 时，由24a=若0，即 20a，即2a，此时()0fx；12()0u xxxx，此时()0fx 则可得()f x 在1(0,)x上为增，在12(,)x x上为减，在2(,)x+上为增，综上所述，当2a 时，()f x 在(0,)+上为增函数；当2
18、a，并注意到()x的值域为2,)+，考察直线 ya=与1()(0)xxxx=+的图象的交点情况，讨论如下：（1）当2a，即2a 时，可知1()0fxaxx=+恒成立，此时，()f x 在(0,)+上为增函数；（2）当2a，即2a 的图象有两个不同交点1(,)xa，2(,)xa，且由1axx=+可解得2142aax=，2242aax+=那么可得，当10 xx时，()0fx；当12xxx时，()0fx 则可得()f x 在1(0,)x上为增，在12(,)x x上为减，在2(,)x+上为增，综上所述，当2a 时，()f x 在(0,)+上为增函数；当2a 时，()f x 在1(0,)x上为增，在12
19、(,)x x上为减，在2(,)x+上为增 （6 分）（）由（）可知2a，令2at=，则1t ，那么等价于证明ln10(1)ttt+，构造函数()ln1(1)g tttt=+，有11()10tg ttt=那么有()g t 在区间(1,)+上为减函数，故()(1)0g tg=，即ln10(1)ttt+成立 综上可得，所证不等式成立 （12 分）22解：（）设(,)P ，由3OPOM=可知点3OPOM=，那么,3M 将,3M 代入曲线C，得2sin3=，则曲线Q 的极坐标方程为6sin=化为直角坐标方程，即得22(3)9xy+=为所求 （5 分）（）将曲线Q 向右平移 1 个单位后，得到曲线 N 的
20、方程为22(1)(3)9xy+=将直线l 的参数方程化为22212xtyt=+(t 为参数)，代入曲线 N 的方程，整理得到2240tt=记交点 AB、对应的参数分别为 12tt、，那么 1220tt+=，1240t t=那么，21212121 2|()42 163 2TATBttttttt t+=+=+=+=为所求 （10 分）23略解：（）不等式化为，等价于|5|3|3xx+法一：（零点分段法）等价于5533xxx +或 35533xxx+或3533xxx+解得：1152x或35x或 532x，故所求不等式的解集为 5 11,2 2 （5 分）法二：（应用绝对值的几何意义）等价于探求数轴上的到3的距离与到5的距离之和不大于3的点 x，结合数轴（图略），可得所求不等式的解集为 5 11,2 2 （5 分）（）证明：由题意得()()|5|5|5|5|f axaf xaxa xaxaxa=+|55|55|(5)axaxaafa+=故不等式()(5)()f axfaaf x成立 （10 分）Oxy2ax=1Oxy2ax=1Oxy2ax=11x2x1x2xOxy2ya=2019-11 高三数月 11（文）第 4 页共 2 页
