1、1数学（文理）试题答案一、选填题：本大题共 14 个小题，共 60 分.题号12345678答案DCBCDDAC题号91011121314答案CBi43)1(212nnn43t 2214xy4、【详解】由 n=k 时，左边为11112kkkk，当 n=k+1 时，左边为11111231(1)(1)kkkkkkkk所以增加项为两式作差得：11121221kkk，选 C.9、（理科）【详解】11ACABBCCC，2222211111()222ACABBCCCABBCCCAB BCBC CCAB CC =6，所以1AC 的长6.故选：C（文科）因为 6.6356.70510.828，因此有 1%的把
2、握认为“学生性别与支持该活动没有关系”，故选 C.10.B因为3,0C，3,0D 恰好为椭圆的两个焦点，所以121PMPNPCPDrar .因为2100a，所以10a，所以 20 117r，则2r.14、设点11,A x y，22,B xy，直线 l 的斜率为 k，则1 0145k，所以1k，222b，即21b ，则2211221xyab，2222221xyab.两式相减，得 1212121222xxxxyyyyab，则222121222212128412bxxyybbkxxayyaa，即24a，所以双曲线 C 的方程为2214xy.三、解答题：本大题共 4 小题，共 10 分.解答应写出必要
3、的文字说明、证明过程或演算步骤.15、（1）假设,a b c 均小于 1，即1,1,1abc，则有3abc，（2 分）而22112232()3322abcxxx，与假设矛盾，所以假设不成立，故,a b c 中至少有一个不小于 1（5 分）（2）用数学归纳法证明如下：当 t h 时，左边t h，右边t h t h,所以当 t h 时，原等式成立.（6 分）假设*nk kN时原等式成立即 2*12.3221kkkkkkN,（7 分）则当 t h 时，h h h h ht h h h h h ht t t h t h t h h h,所以当 t h 时，原等式也成立.由知，（1）中的猜想对任何*nN
4、 都成立.（10 分）216、（1）设各小长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知0.080.1 0.140.120.040.020.51mm，故2m（2 分）（2）由（1）知各小组依次是 0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故可估计平均值为1 0.163 0.25 0.287 0.249 0.08 11 0.045 ；（6 分）（3）由（2）知空白栏中填 5由题意可知，1234535x，232573.85y，511 22 33 24 5
5、5 769iiix y ，522222211234555iix，根据公式，可求得2695 3 3.8121.2555 310b ，3.8 1.2 30.2a ，即回归直线的方程为1.2.20yx（10 分）17、（理科）（1）设 AB 中点为O，连接 PO，由已知 PAPB，所以 POAB，而平面 PAB 平面 ABCD，交线为 AB，故 PO 平面 ABCD，从而 BDPO在矩形 ABCD 中，连接CO，设CO 与 BD 交于 M，则由:CD CBBC BO知BCDOBC，所以BCOCDB，所以90BCMCBMCDBCBM ，故 BDCO由知 BD 平面 PCO，所以 PCBD.（4 分）（
6、2）用向量法求出 PO，(0,0,)Ph，则(0,1,0)A，(0,1,0)B，(2,1,0)D，可求得平面 PAD 的一个法向量为(0,1)ph，而(2,2,0)BD，由cos,sin45p BD 可解得3h 设平面 BPC 的一个法向量为m，则00m BPm BC，(0,1,3)BP，(2,0,0)BC，可取(0,3,1)m，设平面 DPC 的一个法向量为n，则00n DPn DC，(2,1,3)DP ，(0,2,0)DC，可取=(3,0,2)n，于是10cos,10m m ，故二面角 BPCD的余弦值为1010.（10 分）17、（文科）解：（1）圆C 的方程228120 xyy.（4
7、分）（2）过圆心C 作CDAB，则根据题意和圆的性质，得22222|42|,1|21|2,2,aCDaCDDAACDAAB解得7a 或1a .故所求直线方程为7140 xy或20 xy.（10 分）318、（1）设椭圆半焦距为c.根据题意得，椭圆离心率32e，即32ca，所以222112baceaa.因为直线l 过椭圆C 的上顶点和右顶点，所以设直线l 的方程为1xyab，即0bxayab.又由点O 到直线l 的距离为 2 55，得222 55abab.联立解得2a，1b .所以椭圆C 的方程为2214xy.（4 分）（2）依题意可设直线 AB 的方程为3xmy，11,A x y，22,B x
8、y.联立221,43,xyxmy 得224650mymy.所以222364 5 416800mmm ，所以25m.所以12264myym，12254y ym，（6 分）则121222464xxm yym，221212122364394mx xm y ym yym.假设存在定点(,0)Q t（0t），使得直线 AQ，BQ 的斜率之积为非零常数，所以121200AQBQyykkxtxt1221212y yx xt xxt22222544362444mtmttm2225436244tmtt.（8 分）要使AQBQkk为非零常数，当且仅当2240,362440,ttt解得2t（负值舍去）.当2t 时，常数为553648 164.所以 x 轴的正半轴上存在定点(2,0)Q，使得直线 AQ，BQ 的斜率之积为常数 54.（10 分）
