1、专题强化训练(二)圆锥曲线与方程(教师用书独具)(建议用时：60分钟)一、选择题1已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为 ()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线C依题意，得|F1F2|10当a3时，|PF1|PF2|2a6b0)，则c又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x213若双曲线1(a0，b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e()A B2 C D3A由题意知1，即1，e212，即e4直线y与双曲线y21交点的个数是()A0 B1 C2 D3
2、B双曲线的渐近线方程为yx，则直线y与双曲线的一条渐近线平行，所以直线与双曲线只有一个交点5若直线mxny4和圆O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A2 B1 C0 D0或1A由题意，得2，所以m2n24，则2m2，2n1)，则右焦点F(，0)，由题设，知3，解得a23，故所求椭圆的方程为y21(2)设点P为弦MN的中点，由得(3k21)x26mkx3(m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以0，即m2m2，解得0m0，解得m，故所求m的取值范围是10已知椭圆C经过点A，两个焦点为(1，0)，(1,0)(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点
3、，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值解(1)由题意，c1，设椭圆的方程为1因为A在椭圆上，所以1，解得b23或b2(舍去)所以椭圆的方程为1(2)证明：设直线AE的方程为yk(x1)，代入1，得(34k2)x24k(32k)x4120，设E(xE，yE)，F(xF，yF)，所以xE，yEkxEk又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以k代k，可得xF，yFkxFk所以直线EF的斜率kEF即直线EF的斜率为定值，其值为1设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A B1C D2D由题意得点P的坐标为(1
4、,2)把点P的坐标代入y(k0)得k122，故选D2已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FBl1且交l2于点B，过点B作BAl2且交l1于点A若AFx轴，则双曲线C的离心率为()A B C D2B如图，延长AF交l2于A1，则易得|OA|OA1|在OAA1中，F为AA1的中点，而BFOA，所以B为OA1的中点又ABOA1，于是OAA1中边OA1上的高线与中线重合，从而OAA1为等边三角形，所以边OA(即直线l1)与x轴的夹角为30，所以e3与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为_1法一：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)又点(3，2)在双曲线上，故1又a2b
5、216420，得a212，b28，则双曲线的标准方程为1法二：设双曲线的标准方程为1(4kb0)的离心率为，且过点A(2,1)(1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值解(1)由题设得1，解得a26，b23所以C的方程为1(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为ykxm，代入1，得(12k2)x24kmx2m260于是x1x2，x1x2由AMAN知0，故(x12)(x22)(y11)(y21)0，整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240将代入上式可得(k21)(kmk2)(m1)240整理得(2k3m1)(2km1)0因为A(2,1)不在直线MN上，所以2km10，故2k3m10，k1，mk于是MN的方程为yk(k1)所以直线MN过点P若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，y1)由0得(x12)(x12)(y11)(y11)0又1，可得3x8x140解得x12(舍去)，x1此时直线MN过点P令Q为AP的中点，即Q若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边，故|DQ|AP|若D与P重合，则|DQ|AP|综上，存在点Q，使得|DQ|为定值