1、抛物线的简单几何性质基础全面练(20分钟35分)1(2021天水高二检测)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8【解析】选A.由抛物线C：y2x可得p，准线方程为x，因为A(x0，y0)是C上一点，AFx0，x00.所以x0x0x0，解得x01.2设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A(6，) B6，)C(3，) D3，)【解析】选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以3，即p6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，).3已知动点M的坐标满
2、足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆【解析】选C.方程5|3x4y12|可化为，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x4y120的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线4已知F是抛物线x22y的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到x轴的距离为_【解析】因为|AF|BF|6，由抛物线的定义可得|AD|BE|6，又线段AB的中点到抛物线准线y的距离为(|AD|BE|)3，所以线段AB的中点到x轴的距离为.答案：5已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|
3、_【解析】抛物线C：y28x的焦点F(2，0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：2，|FN|2|FM|26.答案：66抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程【解析】当抛物线的焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为y22px(p0)，焦点坐标为.因为直线过点且倾斜角为135，所以直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p8.由消去y，得x23px0.所以x1x23p.由得p2，所以所求抛物线方程为y24x.当抛物线的焦点
4、在x轴负半轴上时，同理可求得抛物线方程为y24x.综上，所求抛物线的方程为y24x或y24x.综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，4，则AB中点C的横坐标是()A2 B C D【解析】选B.设A，B，C的横坐标为x0，则x0，因为AB是抛物线y22x的一条焦点弦，所以x1x2px1x214，所以x1x23，故x0.2若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A B C D【解析】选A.线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.3已知抛物
5、线y22px(p0)的焦点F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2【解析】选C.由抛物线定义知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，所以|FP1|FP3|2|FP2|.4设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为抛物线上不同的三点，点F是ABC的重心，O为坐标原点，OFA，OFB，OFC的面积分别为S1，S2，S3，则SSS()A9 B6 C3 D2【解析】选C.设A，B，C三点的坐标分别为(x1，
6、y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，因为抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，所以S1|y1|，S2|y2|，S3|y3|，所以SSS(yyy)x1x2x3，因为点F是ABC的重心，所以x1x2x33，所以SSS3.5抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是()A B C D3【解析】选A.设抛物线yx2上一点M为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值为.二、填空题(每小题5分，共15分)6已知圆x2y26x70与抛物线y22px(p0)的准线相切，则p_【解析】x2y26x70，所以2y216，圆心为，半径为4，抛物线准线为x，由圆与直线相切可知1
7、，所以p2.答案：27如图：已知P为抛物线y24x上的动点，过P分别作y轴与直线xy40的垂线，垂足分别为A，B，则|PA|PB|的最小值为_.【解析】抛物线的准线方程是x1，又根据抛物线的几何性质知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以|PA|PB|PF|PB|1，|PF|PB|的最小值就是点F到直线xy40的距离，所以点F到直线的距离d，即|PA|PB|的最小值是1.答案：18已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，)或(1，)，设抛物线方
8、程为y22px或y22px(p0)，则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.答案：y23x或y23x三、解答题(每小题10分，共20分)9设直线y2xb与抛物线y24x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，求b的值【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，得4x24(b1)xb20.由0，得b，则x1x21b，x1x2，所以|x1x2|.所以|AB|x1x2|3，所以12b9，即b4.10点M(m，4)(m0)为抛物线x22py(p0)上一点，F为其焦点，已知|FM|5.(1)求m与p的值(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求FMN的面积【解析】(1)由抛物线定义
9、知，|FM|45，所以p2.所以抛物线的方程为x24y，又由M(m，4)在抛物线上，所以m4.故p2，m4.(2)设过M点的切线方程为y4k(x4)，代入抛物线方程消去y得，x24kx16k160，其判别式16k264(k1)0，所以k2，切线方程为y2x4，切线与y轴的交点为N(0，4)，抛物线的焦点F(0，1)，所以SFMN|FN|m5410.创新迁移练1(2021兰州高二检测)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A m B mC m D m【解析】选D.
10、以桥顶为坐标原点O，桥形的对称轴为y轴，过O的垂线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，结合题意可知，该抛物线x22py经过点，则3610p，解得p，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p.2如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|.(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径【解析】(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)，所以点C到准线l的距离d2，又|CO|.所以|MN|222.(2)设C，则圆C的方程为(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.
